高中数学新定义题

…
…
…
线
…
…
…
…
○…
…
…
…

…
…
…
线
……
…
…
○
…
…
…
…


新定义题

第I卷（选择题)

一、单选题
1．定义 一种新运算：
a?b?
?
?
a,(a?b)
2
，已知函数< br>f(x)??2
x
，若函数
x
?
b,(a?b)
g( x)?f(x)?k
恰有两个零点，则实数
k
的取值范围为 （ ）
……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外 内
……
……
……
……
○○
……
……
……< br>……
A．（0,1） B．
(1,2]

C．
[2,??)
D．
(2,??)

?
?
2
x
(x?0)
【解析】试题分析：由题可知，
f(x)?
2
x
?
2
x
?2
?
?
(0?x?1)
，画出图像如图，当函
?
x
?
?
2
x
(x?1)
数
g(x)?f(x)?k
恰有两个零点，即函数
f (x)?k
有两个交点时，实数
k
的取值范围
为
(2,??)
；

2．设函数
y?f(x)
在
(??,??)
内有定 义，对于给定的正数
K
，定义函数
f)?
?
?
f(x),f (x)?K
，取函数
?
K,f(x)?K
f(x)?2
?|x|1
K
(x
，当
K?
2
时，函数
f
K< br>(x)
的单调
递增区间为（ ）
A．
(??,0)
B．
(0,??)
C．
(??,?1)
D．
(1,??)

【解析】试题分析：依题意可知，当
f(x)?2
?|x|
，
K?
1
2
时
?
?
?|x| ?|x|
1
?
2
?|x|
,|x
?
(
1< br>)
x
,x?1
f(x)?
?
?
2,2?
|? 1
?
2
1
?
?
?
?
1
,|x|? 1
?
?
2
K
?
2
x
,x??1

?
?
?
2
,2
?|x|
?
1
?< br>2
?
2
?
?
1
?
?
2
,? 1?x?1
根据指数函数的图象与性质可知，函数
f
K
(x)
的单调 递增区间为
(??,?1)
，故选C.
试卷第1页，总18页

…
…
…
线
…
…
…
…
○
……
…
…


考点：1.函数的新定义问题；2.分段函数；3.函数的单调性；4.指数函数的图象与性质. 3．设函数
f
?
x
?
的定义域为
D
，若满足： ①
f
?
x
?
在
D
内是单调函数； ②存在
?
a,b
?
?D

(b?a)
,使得
f
?
x
?
在
?
a,b
?
上的值域为?
a,b
?
，那么就称
y?f
?
x
?
是定义
域为
D
的“成功函数”.若函数
g
?
x
?< br>?log
a
a
2x
?t(a?0,a?1)
是定义域为
R
的“成功
函数”，则
t
的取值范围为 ( )
A．
?
??,
??
?
?
1
??
1
??
1
??
1
?
B． C． D．
,10,
??????
0,
?

4
?
44
?????
4
?
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

【解析】试 题分析：无论
0?a?1
，还是
a?1
，都有
g
?
x
?
是增函数， 故
g
?
a
?
?a
， < br>g
?
b
?
?b
，所以方程
g
?
x< br>?
?x
有两个根，即
a
x
?a
2x
?t有两个根，设
m?a
x
，则直
线
y?t
与函数
y??m
2
?m(m?0)
有两个交点，
画出这两个图象可以看出
t
的取值范围是
?
?
0,
1
?
?
?
4
?
，显然此时函数定义域为
R
.
4．定义：对于一个定义域为 的函数



，若存在两条距离为 的直线

和


，使得 时，恒有







，则称



在 内有一个
宽度为 的通道。下列函数：
①








；②





；
③












；④








.
其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为
A
．
①② B
．
②③ C
．
②④ D
．
②③④ 【答案】
D
【解析】②③可由作图所得，④作图可知有一个宽度为1的通道，由定义可知比
1
大的通道都存在.
5．如果定义在R上的函数
f(x)
满足：对于任意
x
1
?x
2
，都有
x
1
f (x
1
)?x
2
f(x
2
)
?xx
31
f(
2
)?x
2
f(x
1
)
，则称
f(x)
为“
H
函数”．给出下列函数：①
y??x?x?1
；
②
y?3x?2(sinx?cosx)
；③
y?e
x
?1
；④
f
?
x
?
?
?
?
ln| x|x?0
?
0x?0
，其中“
H
函
数”的个数是（ ）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1

【解析】 试题分析：：∵对于任意给定的不等实数
x
1
,x
2
，不等式
x
1
f(x
1
)?x
2
f(x
2
)?x
1
f(x
2
)?x
2
f(x
1
)
恒成立，
∴不等式等价为
?
x
1
?x
2
?
?
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?
?0
恒成立，即函数f（x）是定义在R上的
试卷第2页，总18页
……
○

…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
…
※
※
…
…
在
※
…
…
※
…
装
要
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
…
○
※
○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…


增函数．
①
y??x?x?1
；
y??3x?1
，则函数在定义域上不单调．②
3
'2
y?3x?2(sinx?cosx)
；y'=3-2（cosx+sinx）=3-2
2
sin（x+
递增，满足条件．③
y?e?1
为增函数，满足条件 ．
④
f
?
x
?
?
?
x
?
）＞0，函数单调
4
?
ln|x|x?0
，当x＞0时，函数单调递增，当 x＜0时，函数单调递减，
x?0
?
0
不满足条件．综上满足“H函数”的函 数为②③，
……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……< br>……
……
○○
……
……
……
……
6．设函数 的定义域为R,若存在常数M>0，使 对 一切实数x均成 立，
则称 为“倍约束函数”，现给出下列函数：① ：②

：
③ ；④




⑤ 是定义在实数集R上的奇函数，且
对一切



均有







,其中是“倍约束函数”的有( )
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

【解析】试题分析：解：①对于函数 ，存在 ，使 对 一切实
数x均成 立，所以该函数是“倍约束函数”；
②对于函数

，当 时， ，故不存在常数M>0，使 对
一切实数x均成 立，所以该函数不是“倍约束函数”；
③对于函数 ，当 时， ，故不存在常数M>0，使
对 一切实数x均成 立，所以该函数不是“倍约束函数”；
④对于函数




，因为当 时， ；
当 时，
















，所以存在常数



，使
对 一切实数x均成 立, 所以该函数是“倍约束函数”；
⑤由题设 是定义在实数集R上的奇函数， ，所以在








中令



，于是有 ，即存在常数 ，使 对
一切实数x均成 立, 所以该函数是“倍约束函数”；
综上可知
“
倍约束函数
”
的有①④⑤
共三个，所以应选
C
．

考点：
1
、新 定义；
2
、赋值法；
3
、基本初等函数的性质．



试卷第3页，总18页

…
…
…
线…
…
…
…
○
…
…
…
…


第II卷（非选择题)

二、填空题
7．若定义在区间 上的函数 同时满足条件：（1） 在 上是单调函数；（2）
存在区间



，使得函数 在区间



上的值域为



，则称函数
为区间 上的闭函数，下列说法正确的是______。
①函数




在定义域 上是闭函数；②函数 不是 上的闭

函数；③若一个函数是定义域 上的闭函数，则满足定义中条件（2）的区间



是唯
…
…
…
线
…
……
…
○
…
…
…
…

一的；④函数

是 上的闭函数，且满足定义中的条件（2）的区间



为




【答案】
②④
【详解】 ①不是闭函数，如取
x
1
=2
，
x
2
=3
，则
f
（
x
2
）
-f
（
x
1）
=



，
如取
x
1
=



，
x
2
=


，而
f
（
x
2
）
-f
（
x
1
）
=

>0,
故
f
（
x
）在



上不是单调函数
，
也
不是闭函数，故①不正确；

② 在 上是单调递增函数，若存在b>a,f（a）=2a+1，有f(b)=2b+1>2a+1，
即值 域为[2a+1,2b+1]，若满足闭函数条件，则a=2a+1，b=2b+1，解得a=b= -1，
与b>a不符，故②不是闭函数，②正确；
③如y=x，在R上是单调递增函数，y= x在[1,5]的值域为[1,5],在[2,3]上的值域为
[2,3]，故在R上是闭函数，且存在 两个



，故③不正确；
④根据闭函数的概念，易知

是 上的闭函数，




＝


＝

∵y= -x
3
是[a，b]上的减函数，则




＝


＝


，解得a= -1，b=1，故④正确.

故答案为②④
.
8．设函数 的定义域为D，若存在非零实数 使得对于任意 ，有 ，
且 ，则称 为M上的 高调函数。
如果定义域为 的函数

为 上的 高调函数，那么实数 的取值
范围是 。
如果定义域为R的函数 是奇函数，当 时，



，且 为R
上的4高调函数，那么实数 的取值范围是 。
【解析】根据题意可知在
[
﹣
1
，
+
∞）上的任意
x
（设
x
＝
x+m
）有
y
≥﹣
1
恒成立，推断
出
m
≥﹣
1
﹣
x
恒成立，进而根据
x
的范围可推知﹣
1
﹣
x
最大为
0
，判断 出
m
的范围，进
试卷第4页，总18页
……
○

…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○○
……
……
……
……
内外
……
……< br>……
……
○○
……
……
……
……

…
…
…
线
…
…
…
…
○
……
…
…

…
…
…
线
…
……
…
○
…
…
…
…


而根据
f
（
x+m
）≥
f
（
x
），求得（
x+m
）
2
≥
x
2
，化简求得
m
≥﹣< br>2x
恒成立，进而根据
x
fx
）的范围确定﹣
2x
的 范围，进而求得
m
的范围．定义域为
R
的函数（是奇函数，当
x≥
0
时，
f
（
x
）＝
|x
﹣
a
2
|
﹣
a
2
，画出函数图象，可得
4
≥
3a
2
﹣（﹣
a
2
）得﹣
1
≤
a
≤
1
9
．定义区间长度为，已知函数
的定义域与值域都是
长度时的值为
___________.
，则区间取最大
……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……
……
……
○○
… …
……
……
……
【解析】试题分析：因为的定义域为
{x|x0},
所以
。函数在区间
上单调递增，则，所以
所以，因为
m,n
同号，所以
。
，
n-m
取最大值为
，此时。

10 ．设函数
f
?
x
?
的定义域为
D
，若函数
y?f
?
x
?
满足下列两个条件，则称
y?f
?
x
?
在定义域
D
上是闭函数.①
y?f
?
x
?
在
D
上是单调函数；②存在区间
?
a,b
?
?D
，使
f
?
x
?
在
?
a,b
?上值域为
?
a,b
?
.如果函数
f
?
x
?
?2x?1?k
为闭函数，则
k
的取值范围
是________ __.
【解析】若函数
f
?
x
?
?2x?1?k
为闭函数，则存在区间
?
a,b
?
，
在区间
?
a ,b
?
上，函数
f
?
x
?
的值域为
?a,b
?
，
即
{
a?2a?1?k
b?2b?1?k

，∴
a
，
b
是方程
x?2x?1?k
的两个实数根，
试卷第5页，总18页

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…


即
a
， b
是方程
x
2
?
?
2k?2
?
x?k
2
?1?0
?
x??
2
?
?
1
?

,x?k
?
的两个不相等的实数根，
2
?
2?
??
?
?2k?2?4k?1?0
??
??
??当
k??
1
时，
{f
2
?
1
?11
2
???2k?2?k?1?0

??
??
24 2
??
2k?21
??
22
解得
?1?k??
1< br>；
2
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

??
?
?
1
?
2k?2
?
?
2
??
?4
?
k
2
?1
?
?0
当
k??
22
2
时，
{f
?
k
?
?k?
?
2k?2
?< br>?k?k?1?0

2k?2
2
?k
解得
k
无解．综上，可得
?1?k??
1
2
．
11．设函数
f (x)
的定义域为
D
，如果
?x?D
，存在唯一的
y?D< br>，使
f(x)?f(y)
2
?C
（
C
为常数）成立。 则称函数
f(x)
在
D
上的“均值”为
C
。已知
四 个函数：
①
y?x
3
(x?R)
；②
y?(
1< br>2
)
x
(x?R)
；③
y?lnx(x?(0,??))；④
y?2sinx?1(x?R).
上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为１的 函数
是 ．（填入所有满足条件函数的序号）
解：①对于函数
y?x
3
，定义域为
R
，设
x?R
，由
x
3
?y
3
2
?1
，得
y
3
?2?x
3
，
所以
y?
32?x
3
?R
，所以函数
y?x
3
是定义域上的“均值 ”为１的函数；
?
1
?
x
?
y
②对于函数
y?
?
?
1
?
?
?
2
?
??
?
1
x
?
?
?
2
?
? ，定义域为
R
，设
x?R
,由
?
2
?
2
?1,
得：
?
yx
?
1
?
?
2
?
?
?2?
?
?< br>1
?
?
2
?
?
，
?2y
当
x??2
时 ，
2?
?
?
1< br>?
?
2
?
?
??2
，不存在实数
y
的值，使
?
?
1
?
?
2
?
?
??2
，所以该函
数不是定义域上均值为1的函数；
③对于函数
y?lnx
，定义域是
?
0,??
?
，设
lnx?lny
2
?1
，得
lny?2ln?x
，
试卷第6页，总18页
……
○

…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
…
※
※
…
…
在
※
…
…
※
…
装
要
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
…
○
※
○
……
……
……
……
内外
……
……
……
… …
○○
……
……
……
……

…
……
线
…
…
…
…
○
…
…
……

…
…
…
线
…
…
…
…○
…
…
…
…


则
y?e
2?lnx
?R
，所以该函数是定义域上的均值为1的函数；
④对于函数
y?2sinx?1
，定义域为
R
，设
x?R
,由
2sinx?1?2siny?1
?1
，
2
得
siny??sinx
，因为
?sinx?[?1,1]
所以存在实数
y
，使得
sin y??sinx
成立，
所以函数
y?2sinx?1
在其定义域上是均值为1 的函数.
12
．函数的定义域为，若且时总有
是单函数．下列命题：

，则称
为单函数，例如
:
函数
……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
…………
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
①
函数是单函数；
②
指数函数是单函数；

③
若为单函数，且，则；

④
在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；

⑤
若为单函数，则函数在定义域上具有单调性。

其中的真命题是
______
．（写出所有真命题的编号）

【解析 】试题分析：这类问题，就是要读懂新定义的知识，能用我们已学的知识理解新
知识，并加以应用
.
如
①
中


，但

，故不是单
函数；
②
指数函数是单调函数，









，是单函数，
②
正确；
③
若为单函数，则命题
“
且，则
”
与命
题
“
若且时总有
”
是互为逆否命题，同为真，
③
正 确；
对
④
来讲，根据单调函数的定义，




时一定有





（或





），
故时总有，因此
④
正确；
⑤
若为单函数，但函数在
定义域上不具有单调性，如



是单函数，不是单调函数
.
故正确的有
②③④
．

13．若函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ； ②对于定
义域上的任意

，


，当



时，恒有









，则称函数 为“理想函数”.
给出下列四个函数中： ①









，② ， ③



，④









，
能被称为“理想函数”的有
_____________
（填相应的序号）.
【解析】由题意，性质①反映了函数




为定义域上的奇函数，性质②反映了函数




为
定义域上的单调递减函数，
试卷第7页，总18页

…< br>…
…
线
…
…
…
…
○
…
…< br>…
…


①中，函数





为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，所以不正
确； ②中，函数





为定义域上的偶函数，所以不正确；
③中，函数



















的定义域为 ，由于

为单调增函数，所
以函数







为定义域上的增函数，所以不正确；



④中，函数




的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域

上为减函数，所以为理想函数，综上，答案为④．
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

14．对于函数
y?f(x)
的定义域为D,如果存在区间
[m,n]?D
同时满足下列条件:
①
f(x)
在[m,n]是单调的;②当定义域为[m,n]时,
f(x)
的值域也是[m,n],则称区间
[m,n]是该函数的“H区间”.若函数
f(x) ?
?
?
alnx?x(x?0)
?
?x?a(x?0)
存在 “H区间”,则正数
a
的取值范围是____________.
【解析】试题分析 ：当
x?0
时，
f(x)?alnx?x
，
f'(x)?
a a?x
x
?1?
x
，
f'(x)?0
，
得
a?x
x
?0
，得
0?x?a
，此时函数
f(x)
为单调递增，当
x?n
时，取得最大值，当
x?m
时，取得最小值，即
?
?
alnn?n?n
?m?m
，即方程
alnx?x?x
有两解，即方程
?
alnm
a?
2x
lnx
有两解，作出
y?
2x2x
lnx
的图像，由图像及函数的导数可知，当
x?1< br>时，
y?
lnx
在
x?e
时取得最小值
2e
，在
x?a
时，
2a
lna
，故方程
a?
2xlnx
有两解，
a?
2a
lna
，即
a?e
2
，故
a
的取值范围为
(2e,e
2
]
；
当
x?a
时，函数
f(x)
为单调递减，则当
x?m
时，取 得最大值，当
x?n
时，取得最
小值，即
?
?
alnm?m ?n
，两式相减得，
alnm?alnn?0
，即
m?n
，不符合；
?
alnn?n?m
当
x?0
时，函数
f(x)
为 单调递减，则当
x?m
时，取得最大值，当
x?n
时，取得最
小值， 即
?
?
?
?m?a?n
，两式相减可以得到
?m??n?1
，回带到方程组的第一个
?
?
?n?a?m
式子得到
1?? n?a?n
，整理得到
1??n?n?a
，由图像可知，方程有两个解，
则< br>a?(
3
,1]
综上所述，正数
a
的取值范围是
(< br>3
44
,1](2e,e
2
]
．
15．已知函数 ，对函数 ，定义 关于 的“对称函数”
为函数 .即 满足对任意 ，两点 关于点
试卷第8页，总18页
……
○

…
※
○< br>※
…
…
题
※
…
…
※
…
答< br>…
※
…
订
※
内
订
…
※
…< br>…
※
线
…
…
※
…
※
…
订< br>…
○
※
※
○
…
装
…
※
…< br>※
…
…
在
※
…
…
※
装
要< br>…
※
装
…
※
不
…
…
※
…< br>…
※
请
…
…
※
※
…
○○
… …
……
……
……
内外
……
……
……
……< br>○○
……
……
……
……

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…


对称.若 是

关于 的对称函数，且
恒成立，则实数 的取值范围是__________．
【解析】由
“
对称函数
”
的定义及中点坐标公式得


所以，




恒成立即





，


，


恒成立，亦即直线


位于半圆


的上方
.
在同一坐标系内，画出直线

切时，

及半圆


（如图所示），当直线与半圆相


解得




，故答案为



.
……
○

_
_
○_
…
_
_
…
_
…
_
_
_…
…
_
_
…
：
…
号
…
订考
_
订
_
…
_
_
_
…
…_
_
_
…
…
_
_
_
…
…：
级
…
○
班
_
○
…
_
__
…
_
…
_
_
…
_
…
__
_
…
…
：
名
…
装
姓
装_
…
_
_
…
_
…
_
_
_…
…
_
_
_
…
…
_
:
校…
○
学
○
……
……
……
……
外内……
……
……
……
○○
……
……
……
……



三、解答题
16．对于定义域为
I的函数
y?f
?
x
?
，如果存在区间
?
m,n
?
?I
，同时满足：
①
f
?
x
?
在
?
m,n
?
内是单调函数；②当定义域是
?
m,n?
，
f
?
x
?
值域也是
?
m,n?
，则称
?
m,n
?
是函数
y?f
?
x
?
的“好区间”.
（1）设
g
?
x
?
?log
x
a
?
a
x
?2a
?
?log< br>a
?
a3?a
?
（其中
a?0
且
a?1），判断
g
?
x
?
是否
存在“好区间”，并说明理由；
2
（2）已知函数
P
?
x
?
?
?
t?t
?
x?1
t
2
x
?
t?R,t?0
?
有“好区间”
?
m,n
?
，当
t
变化时，求n?m
的最大值.
【答案】（1）
g
?
x
?
不存在“好区间”；（2）
n?m
的最大值为
23
3
.
试 题解析：（1）由
?
?
x
?
a?2a?0
?
?0< br>?a
x
?3a
. 2分
?
a< br>x
?3a
①当
a?1
时，
x?log
a
(3 a)
，此时定义域
D?(log
a
(3a),??)
，
?x
1
,x
2
?D
，
x
1
?x
2，
a
x
1
?a
x
2
，
?0?ax
1
?2a?a
x
2
?2a
，
0?a
x
1
?3a?a
x
2
?3a
，
?log
a
(a
x
1
?2a)?log
a
(a
x
2
?2a)
，
log
1
x
2
a
(a
x
?3a)?log
a
(a?3a)
，
?g(x
1
)?g(x
2
)
，
?g(x)
在
D?(log
a
(3a),??)
内是增函数； 4分
②当
0 ?a?1
时，
x?log
a
(3a)
，此时定义域
D?(? ?,log
a
(3a))
，
同理可证
g(x)
在
D?(??,log
a
(3a))
内是增函数； 6分
试卷第9页，总18页

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…


?
g(m)?m

?g(x)
存在“好区间”
?
m ,n
?
??m,n?D(m?n)
，
?
?
g(n)?n?
关于
x
的方程
f(x)?x
在定义域
D
内有 两个不等的实数根.
即
(a?2a)(a?3a)?a
在定义域
D
内有两个不等的实数根.(*)
设
t?a
x
，则(*)
?
(t?2a)(t?3a)?t
，
即
t?(5a?1)t?6a?0
在(3a,??)
内有两个不等的实数根，
22
xxx
…
……
线
…
…
…
…
○
…
…
……

?
?
a?0,a?1,
??(5a?1)
2
?24a
2
?
设
p(t)?t
2
?(5a?1)t?6a
2
，则
?
?
0
?
5a?1
3a,
无解.
?
?
2
?
?
?
p(3a)?9a
2
?(5a?1)3a?6a
2
?0
所以函数
g
?
x
?
不存在“好区间”. 8分
2
（2）由 题设，函数
P
?
x
?
?
?
t?t
?
x?1
t
2
x
?
t?R,t?0
?
有“好区间”
?
m,n
?
，
?[m,n]?(??,0)
或
[ m,n]?(0,??)
，函数
P
?
x
?
?
t?1
t
?
1
t
2
x
在
?
m,n
?
上单调递增，
?
?
?
p(m)?m
，所以
m, n
是方程
p(x)?x
，即方程
?
p(n)?n
t
2
x
2
?
?
t
2
?t
?
x?1? 0
有同号的相
异实数根. 12分
mn?
1
t
2
?0
，
m,n
同号，
???(t
2
?t)
2
?4t
2
?0?t?1
或
t??3
.
?n?m?(n? m)
2
?4mn??3(
1
t
?
1
3
)< br>2
?
4
3
,
t?(??,?3)(1,??)
.
当
t?3
，
n?m
取得最大值
23
3
. 16分
17．（本小题满分12分）
若函数
f(x)
满足下列两个性质：
①
f(x)
在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在
f(x )
的定义域内存在某个区间使得
f(x)
在
[a,b]
上的值域是< br>[
1
a,
1
22
b]
．则我们称
f(x)< br>为“内含函数”．
（1）判断函数
f(x)?x
是否为“内含函数”？若是， 求出a、b，若不是，说明理由；
（2）若函数
f(x)?x?1?t
是“内含函数” ，求实数t的取值范围．
试卷第10页，总18页
……
○

…< br>※
○
※
…
…
题
※
…
…
※< br>…
答
…
※
…
订
※
内
订
…< br>※
…
…
※
线
…
…
※
…
※< br>…
订
…
○
※
※
○
…
装
…< br>…
※
※
…
…
在
※
…
…
※< br>…
装
要
※
装
…
※
不
…
…< br>※
…
…
※
请
…
…
※
…
○< br>※
○
……
……
……
……
内外
……
… …
……
……
○○
……
……
……
……

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…


【答案】（1）
y?
试题解析：（1）
y?
x
是内含函数，且
a?0,b?4
（2）
0?t?
x
的定义域为?
0,??
?
，所以
y?
1

2
x< br>在
?
0,??
?
上是单调函数，
1
?
a?a
?
?
a?0
?
2
??
y?x
设在
?
a,b
?
上的值域是
a,b
，由
?
解得
?
，所以
y?x
是
??
?
b?4
?
b?< br>1
b
?
?2
内含函数，且
a?0,b?4

……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……
……< br>……
○○
……
……
……
……
（2）设
g?
x
?
?x?1?t
，则
g
?
x
?< br>是定义在
?
1,??
?
上的增函数
g
?
x< br>?
是内含函数
?
存在区间
?
a,b
?
??
1,??
?
，满足
g
?
a
?
?1
2
a,g
?
b
?
?
1
2
b

即方程
g(x)?
1
2
x
在
[1,?? )
内有两个不等实根．
方程
x?1?t?
1
2
x
在
[1,??)
内有两个不等实根，令
x?1?m
则其化为:
m? t?
1
2
(1?m
2
)
即
m
2
? 2m?(1?2t)?0
有两个非负的不等实根．
?
??0
从而有:
?
?
x0?0?t?
1
1
?x
2
?
；
?
?
x
1
x
2
2
?0
18．设定 义在 上的函数 满足：对于任意的

、

，当



时，都有




. （1）若

，求 的取值范围；
（2）若 为周期函数，证明： 是常值函数；
（3）设 恒大于零， 是定义在 上、恒大于零的周期函数， 是 的最大值.
函数 . 证明：“ 是周期函数”的充要条件是“ 是常值函数”.
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（
1
）解：由
f
（
x
1
）≤
f
（
x
2
），得
f
（
x
1
）﹣
f
（
x
2
）＝
a
（
x
1
3
﹣
x
2
3
）≤
0，
∵
x
1
＜
x
2
，∴
x
1
3
﹣
x
2
3
＜
0
，得
a
≥
0
．故
a
的范围是
[0
，
+
∞）； < br>（
2
）证明：若
f
（
x
）是周期函数，记其周期为< br>T
k
，任取
x
0

R
，则有
f< br>（
x
0
）＝
f
（
x
0
+T
k
），
由题意，对任意
x

[x
0
，
x
0
+T
k
]
，
f
（
x
0
）≤
f
（
x
）≤
f
（
x
0
+T< br>k
），∴
f
（
x
0
）＝
f
（
x
）＝
f
（
x
0
+T
k
）． 又∵f
（
x
0
）＝
f
（
x
0
+n T
k
），
n

Z
，并且
…∪
[x
0
﹣
3T
k
，
x
0
﹣
2T
k< br>]
∪
[x
0
﹣
2T
k
，
x
0
﹣
T
k
]
∪
[x
0
﹣
T
k
，
x
0
]
∪
[x
0
，
x0
+T
k
]
∪
[x
0
+T
k
，
x
0
+2T
k
]
∪…＝
R
，∴对任意< br>x

R
，
f
（
x
）＝
f
（
x
0
）＝
C
，为常数；
（
3
）证明：充 分性：若
f
（
x
）是常值函数，记
f
（
x
）＝
c
1
，设
g
（
x
）的一个周期为
试卷 第11页，总18页

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…


T
g
，则
h
（
x
）＝
c
1
?< br>g
（
x
），则对任意
x
0

R
，
h
（
x
0
+T
g
）＝
c
1
?
g
（
x
0
+T
g
）＝
c
1< br>?
g
（
x
0
）＝
h
（
x
0
），故
h
（
x
）是周期函数；
必要性：若
h（
x
）是周期函数，记其一个周期为
T
h
．
若存在< br>x
1
，
x
2
，使得
f
（
x
1
）＞
0
，且
f
（
x
2
）＜
0< br>，则由题意可知，
x
1
＞
x
2
，那么必然存在正整 数
N
1
，使得
x
2
+N
1
T
k< br>＞
x
1
，
∴
f
（
x
2
+ N
1
T
k
）＞
f
（
x
1
）＞0
，且
h
（
x
2
+N
1
T
k
）＝
h
（
x
2
）．
又
h
（x
2
）＝
g
（
x
2
）
f
（< br>x
2
）＜
0
，而
hx+NTgx+NTfx+NT0hx
），矛盾．
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

（
21
k
）＝（
21
k
）（
21k
）＞≠（
2
综上，
f
（
x
）＞
0< br>恒成立．
由
f
（
x
）＞
0
恒成立，任取< br>x
0

A
，则必存在
N
2

N，使得
x
0
﹣
N
2
T
h
≤
x
0
﹣
T
g
，
即
[x
0
﹣
T
g
，
x
0
]

[x
0
﹣N
2
T
h
，
x
0
]
，
∵… ∪
[x
0
﹣
3T
k
，
x
0
﹣2T
k
]
∪
[x
0
﹣
2T
k
，
x
0
﹣
T
k
]
∪
[x
0
﹣
T
k
，
x
0
]
∪
[x
0，
x
0
+T
k
]
∪
[x
0
+ T
k
，
x
0
+2T
k
]
∪…＝
R
，
∴…∪
[x
0
﹣
2N
2
T
h
，
x
0
﹣
N
2
T
h
]
∪
[x
0
﹣
N
2
T
h
，
x
0
]
∪
[x
0
，
x
0
+N
2T
h
]
∪
[x
0
+N
2
T
h
，
x
0
+2N
2
T
h
]
∪…＝
R
．
h
（
x
0
）＝
g
（
x
0
）?
f
（
x
0
）＝
h
（
x
0
﹣
N
2
T
h
）＝
g（
x
0
﹣
N
2
T
h
）?
f< br>（
x
0
﹣
N
2
T
h
），
∵
g
（
x
0
）＝
M
≥
g
（
x
0
﹣
N
2
T
h
）＞
0
，f
（
x
0
）≥
f
（
x
0
﹣< br>N
2
T
h
）＞
0
．
因此若
h（
x
0
）＝
h
（
x
0
﹣
N< br>2
T
h
），必有
g
（
x
0
）＝M
＝
g
（
x
0
﹣
N
2
Th
），且
f
（
x
0
）＝
f
（
x
0
﹣
N
2
T
h
）＝
c
．而由（
2
）证明可知，对任意
x

R
，
f
（x
）＝
f
（
x
0
）＝
C
，为常数．
综上，必要性得证．
19．定义：如果函数 在定义域内给定区间



上存在






，满足












，则称函数 是



上的“平均值函数”，

是它的均值点.
（1）

是否是 -
，
上的“平均值函数”，如果是请找出它的均值点；如果不是，
请说明理由；
（2）现有函数

是 -
，
上的平均值函数，则求实数 的取值范围.
【答案】（1）它的均值点为 ；（2）

.
【详解】（1）










，
又由于

的解有且只有

，所以

是



上
的“平均值函数”，且它的均值点为

；
（2）因为函数

是 -
，
上的平均值函数，所以









，
即关于 的方程

在



内有实数根，即


在



内有实数根，
试卷第12页，总18页
……
○

…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○○
……
……
……
… …
内外
……
……
……
……
○○
……
……< br>……
……

…
…
…
线
…
……
…
○
…
…
…
…

…
……
线
…
…
…
…
○
…
…
……


令





，则







，
当



，即 时，函数 在



有一个零点，满足条件；




当



，即 时，方程

根为
，满足条件；


当



，即

时，要使得方程

在



内有实数根，
则
，
且函数的对称轴在



上，即







，解得


； 综上：

.




……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外 内
……
……
……
……
○○
……
……
……< br>……
20
．若函数
y=f(x)
对定义域内的每一个值
x1< br>，在其定义域内都存在唯一的
x2
，使
f(x1)f(x2)=1
成立 ，则称该函数为
“
依赖函数
”．
(1)
判断函数
g(x )=2x
是否为
“
依赖函数
”
，并说明理由；
(2) < br>若函数
f(x)=(x–1)2
在定义域
[m，n](m>1)
上为< br>“
依赖函数
”
，求实数
m、n
乘积
mn
的< br>取值范围；
(3) 已知函数f(x)=(x–a)2 (a<
4
3
)在定义域[
4
3
，4]上为“依赖函数”．若存在实数x?[
4
3
，
4]，使得对任意的t?R，有不等式f(x)≥–t2+(s–t)x+4都成立，求实数 s的最大值．
【答案】（1）g(x)=2x是“依赖函数”（2）
mn?
?
4,??
?
（3）
1
4

试题解析：
(1) < br>对于函数
g(x)=2x
的定义域
R
内任意的
x1
， 取
x2= –x1
，则
g(x1)g(x2)=1，
且由
g(x) =2x
在
R
上单调递增，可知
x2
的取值唯一，
故
g(x)=2x
是
“
依赖函数
”；
(2)
因为
m>1，f(x)=(x–1)2
在
[m，n]
递增，故
f(m)f(n)=1
，即
(m–1)2(n–1)2=1，
由n>m>1，得(m–1) (n–1) =1，故
n?
m
m?1
，
由
n>m>1
，得
1从而
mn?
m
2
m?1
?m?1?
1
m?1
?2
在
m?
?
1,2
?
上单调递减，故
mn?
?
4,???
，
(3) 因
a?
4
2
3
，故
f
?
x
?
?
?
x?a
?
在
??
4
?
?
3
,4
?
?
上单调递增，
从而
f
?
?
4
?
?
3
?
?
?f
?
4
?
?1
，即
?
?
4< br>?
2
2
?
4
?
?
3
?a
?
?
?
4?a
?
?1
，进而
?
?
3
?a
?
?
?
4?a
?
?1
，
解得
a?1
或
a?
13
3
(舍)，
从而，存在
x?
?
4
?
3
4
?
2
?
,
?
?
，使得对任意的t∈R，有不等式
?
x?1
?
??t
2
?
?
s?t
?
x?4
都试卷第13页，总18页

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…


2
成立，即
t?xt?x?
?
s?2
?
x?3?0
恒成立，由
??x
2
?4
?

x
?
?< br>?
s?2
?
x?3
?
?
?0
，
22
得
4
?
s?2
?
x?3x?12
，由
x?
?
,4
?
，可得
4
?
s?2
?
? 3x?
，
3
x
??
2
?
4
?
1 2
又
y?3x?
12
?
4
?
在
x?
?
,4
?
单调递增，故当
x?4
时，
x
?3
?
12
??
3x?
??
?9
，
x
?
max
?
从而
4
?
s?2
?
? 9
，解得
s?
11
，故实数
s
的最大值为．
44
21．若函数
f(x)
在
x?
?
a,b
?
时，函数值y的取值区间恰为[
11
,
]，就称区间
?
a,b
?
为
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

ba
f(x)
的一个“倒 域区间”．定义在
?
?2,2
?
上的奇函数
g(x)
，当< br>x?
?
0,2
?
时，
g(x)??x
2
?2 x
．
（Ⅰ）求
g(x)
的解析式；
（Ⅱ）求函数
g(x )
在
?
1,2
?
内的“倒域区间”；
（Ⅲ）若函数
g(x)
在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数
y
=
h(x)的图像，
是否存在实数
m
，使集合
{
?
x,y
?
y?h
?
x
?
}{
?
x,y
?
y?x
2
?m}
恰含有2个元素．
【答案】（Ⅰ）
g
?< br>x
?
?
?
?
?
?x
2
?2x,x?
?
0,2
?
?
1?5
?
?
?
x< br>2
?2x,x?
?
?2,0
?
（Ⅱ）
?
1,
?
2
?
（Ⅲ）
m??2

?
【解析】试题 解析：（Ⅰ）当
x?
?
?2,0
?
时，
g
?
x
?
??g
?
?x
?
??
?
2
?
?
?
?x
?
?2
?
?x
?
?< br>?
?x
2
?2x

g
?
x
??
?
?
?
?x
2
?2x,x?
?
0, 2
?

?
?
x
2
?2x,x?
?
?2,0
?
（Ⅱ）设1≤
a
＜
b
≤2，∵
g?
x
?
在
x?
?
1,2
?
上递减，
?
1
?g
?
b??b
2
?2b
∴
?
?
?
?
b
?
1
整理得
?g
?
a
?
??a
2
?
?
a
?2a
?< br>?
?
a?1
?
?
a
2
?a?1
?< br>?0
?
a?1
?
，解得
?
?
b?b?1?
?0
?
1?5
．
?
?
b?1
?< br>?
2
?
?
b?
2
∴
g
?
x
?
在
?
1,2
?
内的“倒域区间”为
?
?
1,
1?5
?
?
2
?
．
?
试卷第14页，总18页
……
○

…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
…
※
※
…
…
在
※
…
…
※
…
装
要
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
…
○
※
○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……

……
…
线
…
…
…
…
○
…
……
…

…
…
…
线
…
…
……
○
…
…
…
…


（Ⅲ）∵
g
?
x
?
在
x?
?
a,b
?
时 ，函数值y的取值区间恰为
?
,
?
，其中
a?b,a,b?0

ba
?
11
?
??
?
a?b
?
∴
?
11
，∴
a,b
同号．只考虑0＜
a
＜
b
≤2或－2≤
a
＜
b
＜0
?
??
ba
当0＜
a
＜
b
≤2时，根据
g(x)< br>的图像知，
g(x)
最大值为1，
1
?1,a?
?
1 ,2
?
，
a
?
1+5
?
∴1≤
a
＜
b
≤2，由（Ⅱ）知
g(x)
在
?
1,2
?< br>内的“倒域区间”为
?
1,
?
；
2
……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
…………
……
○○
……
……
……
……
??
当－2≤
a
＜
b
＜0时间，
g(x)
最小值为-1，
1
b
??1,b?
?
?2,?1
?
，
∴
?2?a?b??1
，同理知
g
?
x
?
在
??2,?1
?
内的“倒域区间”为
?
?
?1?5
2,?1
?
?
．
??
?
?
?x
2?2x,x?
?
?
1,
1?5
?
h
?
x
?
?
?
2
?
?
??

?
?
x
2
?2x,x?
?
1?5
?
?< br>?
?,?1
?
2
?
?
依题意：抛物线与函数
h
?
x
?
的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在
第 三象限．因此，
m
应当使方程
x
2
?m??x
2
? 2x
，在
?
?
1,
1?5
?
?
2
?
内恰有一个实数根，
?
并且使方程
x
2
?m??x
2
?2x
，在
?
?
?1?5
2
,?1
?
?
内恰有一个实数
??
由方程
2x?2x
2
?m
在
?
?
1,
1?5
?
?
2
?内恰有一根知
?2?m?0
；
?
由方程
x
2
?m??x
2
?2x
在
?
?
?1?5
2
, ?1
?
?
内恰有一根知
?1?5?m??2
，
??
综上：
m
＝－2．
22．记函数 的定义域为D. 如果存在实数 、 使得 对任意
满足 且 的x恒成立，则称 为 函数.
（1）设函数


，试判断 是否为 函数，并说明理由；
（2）设函数




，其中常数 ，证明： 是 函数；
（3）若 是定义在 上的 函数，且函数 的图象关于直线 （m为常数）对
称，试判断 是否为周期函数？并证明你的结论.
试卷第15页，总18页

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…


【答案】(1) 是 函数(2)见解析(3) 函数 为周期函数
解析：（1）
是 函数


理由如下：
的定义域为 ，


只需证明存在实数 ， 使得 对任意 恒成立.
由 ，得



，即

.
所以



对任意 恒成立. 即
从而存在 ，使 对任意 恒成立.

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

所以


是 函数.
（2）记 的定义域为 ，只需证明存在实数 ， 使得当 且 时，
恒成立，即








恒成立.
所以







，
化简得，







.
所以 ,



. 因为 ，可得


，

,
即存在实数 ， 满足条件，从而




是 函数.
（3）函数 的图象关于直线 （ 为常数）对称，
所以 （1），
又因为 （2），
所以当 时，
由（1）
由（2） （3）
所以
（取 由（3）得）
再利用（3）式， .
所以 为周期函数，其一个周期为 .
当 时，即 ，又 ，
所以


为常数. 所以函数 为常数函数，



， 是一个周期函数.
综上，函数 为周期函数
23
．定义在定义域内的函数，若对任意的都有
试卷第16页，总18页
……
○

…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○○
……
……
……
… …
内外
……
……
……
……
○○
……
……< br>……
……

…
…
…
线
……
…
…
○
…
…
…
…

……
…
线
…
…
…
…
○
…
……
…


，则称函数
,
（
果不是，请说明理由
.
【答案】函数【解析】因为
为
“
妈祖函数
”
，否则称
“
非妈 祖函数
”.
试问函数
)
是否为
“
妈祖函数
”
？如果是，请给出证明；如
,
（
，

)
是
“
妈祖函数
”.

……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……
……
……
○○
… …
……
……
……
是
“
妈祖函数
”.
（2
分）

24．定义：若对定义域内任意x，都有 （a为正常数），则称函数 为
“a距”增函数．
（1）若

， (0， )，试判断 是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若




， R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若






， (﹣1， )，其中k R，且为“2距”增函数，求 的最
小值．

【答案】（1）见解析； （2） ； （3）









.
【解析】（1）任意

,





,
因为 , , 所以

，所以 ，即 是“1距”增函数。
（2）





























.
因为



是“ 距”增函数，所以








恒成立，
因为 ,所以






在 上恒成立，
所以






，解得

，因为 ,所以 .
（3）因为






， ，且为“2距”增函数，
试卷第17页，总18页

…
…
…
线
…
…
…
…
○< br>…
…
…
…


所以 时，







恒成立，即 时，



所以














，












恒成立，
当 时，



，即 恒成立，
所以 , 得
当 时，



- ，得 恒成立，
所以





,得 ,综上所述，得 .
又














，因为 ,所以



，
…
…
…
线
…
……
…
○
…
…
…
…

当 时，若



，











取最小值为 ；
当 时，若





，











取最小值.
因为

在R上是单调递增函数，
所以当 ，



的最小值为 ；当 时 的最小值为




，
即










.


试卷第18页，总18页
……
○

…< br>※
○
※
…
…
题
※
…
…
※< br>…
答
…
※
…
订
※
内
订
…< br>※
…
…
※
线
…
…
※
…
※< br>…
订
…
○
※
※
○
…
装
…< br>※
…
※
…
…
在
※
…
…
※< br>装
要
…
※
装
…
※
不
…
…< br>※
…
…
※
请
…
…
※
※
…< br>○○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……