高中数学选修4-4经典综合试题(含详细答案)

.. . .. . .
高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案）

一、选择题：本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1． 曲线
?
?
x??2?5t
?
y?1?2t
(t为参数)与坐标轴的交点是（ ）．
A．
(0,
2
)、(
1
,0)
B．
(0,
1
)、(
1
,0)
C．
(0,?4)、(8,0)
D．
(0,
5
52529)、(8,0)
2．把方程
xy?1
化为以
t
参数的参数方程是 （ ）．
?
1
?
x?sint
?
x
?x?tant
A．
?
?
x?t
2
?cost
B．
?
C．
?
D．
?
?
1
?
1
?
y?t
?
2
?
?
y?< br>1
?
sint
?
?
y?
1?
cost
?
?
y?

tant
3．若直线的参数方程为
?
?
x?1?2t
?
y?2?3t
(t为参数)
，则直线的斜率为（ ）．
A．
2
3
B．
?
2
3
C．
33
2
D．
?
2

4．点
(1,2)
在圆
?
?< br>x??1?8cos
?
8sin
?
的（ ）．
?
y?
A．部 B．外部 C．圆上 D．与
θ
的值有关
?
5．参数方程为
?
1
?x?t?
t
(t为参数)
表示的曲线是（ ）．
?
?
y?2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
6．两圆
?
?
x??3?2cos
?
?
x?3cos
?4?2sin
?
与
?
?
的位置关系是（ ）．
?
y
?
y?3sin
?
A．切 B．外切 C．相离 D．含
7．与参数方程为
?< br>?
?
x?t
(
t为参数
)
等价的普通方程为（ ）．
?
?
y?21?t
A．
x
2
?
y< br>2
y
2
4
?1
B．
x
2
?
4
?1(0?x?1)

y2
C．
x
2
?
4
?1(0?y?2)
D ．
x?
y
2
2
4
?1(0?x?1,0?y?2)

S. . . . . ..

.. . .. . .
8．曲线
?
?
x?5cos
?
?
(?
?
?
?
)
的长度是（ ）．
?
y?5sin
?
3
5
?
10
?
D．
3
3
A．
5
?
B．
10
?
C．
22
9．点
P(x,y)
是椭圆
2x?3y?12
上的一个动点，则
x?2y
的最大值为（ ）．
A．
22
B．
23
C．
11
D．
22

1
?
x?1 ?t
?
2
?
10．直线
?
(t为参数)
和圆
x
2
?y
2
?16
交于
A,B
两点，
?
y??33?
3
t
?
?2
则
AB
的中点 坐标为（ ）．
A．
(3,?3)
B．
(?3,3)
C．
(3,?3)
D．
(3,?3)

?
x?4t
2
11．若点
P( 3,m)
在以点
F
为焦点的抛物线
?
(t为参数)
上，则< br>|PF|
等于（ ）．
?
y?4t
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

12．直线
?
?
x??2?t
(t为参数)
被圆
( x?3)
2
?(y?1)
2
?25
所截得的弦长为（ ）．
?
y?1?t
1
C．
82
D．
93?43

4
A．
98
B．
40
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． < br>t?t
?
?
x?e?e
(
t为参数
)
的普通 方程为__________________．
13．参数方程
?
t?t
?
?
y?2(e?e)
?
?
x??2?2t
(t为参数)< br>上与点
A(?2,3)
的距离等于
2
的点的坐标是_______．
14．直线
?
?
?
y?3?2t
15．直线
??
x?tcos
?
?
x?4?2cos
?
与圆
?
相切，则
?
?
_______________．
?
y ?tsin
?
?
y?2sin
?
22
16．设
y? tx(t为参数)
，则圆
x?y?4y?0
的参数方程为_____________ _______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
求直线
l
1
:
?
?
?
x?1?t
(t为参数)
和直线
l
2
:x?y? 23?0
的交点
P
的坐标，及点
P

?
?
y??5?3t
与
Q(1,?5)
的距离．
S. . . . . ..

.. . .. . .
18．（本小题满分12分）
过点
P(
10
,0)
作倾斜 角为
?
的直线与曲线
x
2
?12y
2
?1
交于点
M,N
，
2
求
|PM|?|PN|
的值及相应的
?
的值．
19．（本小题满分12分）
已知
?ABC
中，
A(?2,0), B(0,2),C(cos
?
,?1?sin
?
)
(
?为变数)，
求
?ABC
面积的最大值．
20．（本小题满分12分） 已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
（1 ）写出直线
l
的参数方程．
（2）设
l
与圆
x?y?4
相交与两点
A,B
，求点
P
到
A,B
两点的 距离之积．
21．（本小题满分12分）
22
?
6
，

1
t
?
?t
x?(e?e)cos
?
?
?
2
分别在下列两种情况下，把参数方程
?
化为普通方程：
1
?
y?(e
t
?e
?t
)sin
?
?
? 2
（1）
?
为参数，
t
为常数；（2）
t
为参数，
?
为常数．
22．（本小题满分12分）
已知直线
l
过 定点
P(?3,?)
与圆
C
：
?
3
2
?< br>x?5cos
?
(
?
为参数)
相交于
A
、< br>B
两点．
?
y?5sin
?
求：（1）若
|AB| ?8
，求直线
l
的方程；
（2）若点
P(?3,?)
为弦
AB
的中点，求弦
AB
的方程．
答案与解析：
3
2
211
，而
y?1?2t
，即
y?
，得与
y< br>轴的交点为
(0,)
；
555
111
当y?0
时，
t?
，而
x??2?5t
，即
x?
，得与
x
轴的交点为
(,0)
．
222
1．B 当
x?0
时，
t?
2．D
xy?1
，
x
取非零实数，而A，B，C中的
x
的围有各自的限制．
3．D
k?
y?2?3t3
???
．
x?12t2
22
4．A ∵点
(1,2)
到圆心
( ?1,0)
的距离为
(1?1)?2?22?8
(圆半径)
∴点
(1,2)
在圆的部．
5．D
y?2
表示一条 平行于
x
轴的直线，而
x?2,或x??2
，所以表示两条射线．
S. . . . . ..

.. . .. . .
6．B 两圆的圆心距为
(?3?0)
2
?(4?0)
2
?5
，两圆 半径的和也是
5
，因此两圆外切．
y
2
y
2
22
?1?t?1?x,x??1,而t?0,0?1?t?1,得0?y?2
．
7．D
x?t,
44
2
8．D 曲线是圆
x?y?25
的一 段圆弧，它所对圆心角为
?
?
所以曲线的长度为
22
?
3< br>?
2
?
．
3
10
?
．
3
x
2
y
2
??1
，设
P(6cos
?
, 2sin
?
)
，
9．D 椭圆为
64
x?2y?6 cos
?
?4sin
?
?22sin(
?
?
?)?22
．
10．D
(1?
1
2
3
2
t?t
t)?(?33?t)?16
，得
t
2
?8t?8? 0
，
t
1
?t
2
?8,
12
?4
，
22
2
1
?
x?1??4
?
?
2??
x?3
中点为
?
．
?
??
y??3
?
y??33?
3
?4
?
?
?2
11．C 抛物线为
y?4x
，准线为
x??1
，
|PF|
为
P(3,m)
到准线
x??1
的距离，即为
4< br>．
2
?
2
x??2?2t?
?
x??2?t
?
?
x??2?t
?
2
12．C
?
，把直线
?

?
?
y?1?t
y?1? t
?
?
?
y?1?2t?
2
?
?2
代入< br>(x?3)?(y?1)?25
，得
(?5?t)?(2?t)?25,t?7t?2? 0
，
22222
|t
1
?t
2
|?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?4 1
，弦长为
2|t
1
?t
2
|?82
．
y
?
?
x?e
t
?e
?t
x??2e
t< br>?
yy
xy
??
2
??(x?)(x?)?4
．
??1,(x?2)

?
y
13．
?
t?t< br>22
416
?
?e?e
?
x?
y
?2e?t
?2
?
?2
22
14．
(?3,4)
,或
(?1,2)

(?2t)?(2t)?(2),t?
2222
12
,t??
．
22
15．
5
?
?
22
，或 直线为
y?xtan
?
，圆为
(x?4)?y?4
，作出图形，相切时，
6
6
S. . . . . ..

.. . .. . .
易知倾斜角为
5
?
?
，或．
6
6
4t< br>?
x?
?
4t
?
1?t
2
22
x? (tx)?4tx?0
16．
?

，当时，，或
；
x ?
y?0
x?0
2
2
1?t
4t
?
y?< br>?
1?t
2
?
4t
?
x?
?
4t< br>2
?
1?t
2
而
y?tx
，即
y?
，得
?
．
2
21?t
?
y?
4t
?
1?t
2
?
?< br>?
x?1?t
17．解：将
?
，代入
x?y?23?0
，得
t?23
，
?
?
y??5?3t
得
P(1 ?23,1)
，而
Q(1,?5)
，
得
|PQ|?(23)?6?43
．
22
?
10
?tcos
?
?
x?
18．解：设直线为
?
(t为参数)< br>，代入曲线
2
?
y?tsin
?
?
并整理得
(1?sin
?
)t?(10cos
?
)t?
22
3?0
，
2
3
2
则
|PM|?|PN|?|t
1
t
2
|?
，
2
1?sin
?
所以当< br>sin
?
?1
时，即
?
?
2
?
2< br>，
|PM|?|PN|
的最小值为
3
?
，此时
??
．
42
19．解：设
C
点的坐标为
(x,y)，则
?
22
?
x?cos
?
，
y??1?s in
?
?
即
x?(y?1)?1
为以
(0,?1)
为圆心，以
1
为半径的圆．
∵
A(?2,0),B(0,2)
，
∴
|AB|?4?4?22
，
且
AB
的方程为
xy
??
1
，
?22
即
x?y?2?0
，
S. . . . . ..

.. . .. . .
则圆心< br>(0,?1)
到直线
AB
的距离为
|?(?1)?2|
12
?(?1)
2
?
3
2
2
．
∴点< br>C
到直线
AB
的最大距离为
1?
3
2
2，
∴
S
?ABC
的最大值是
1
2
?22?( 1?
3
2
2)?3?2
．
?
?
?
20 ．解：（1）直线的参数方程为
?
?
x?1?tcos
?
x?1?< br>3
t
?
6
，即
?
2
，
?
?
y?1?tsin
?
?
y?1?
1
?
?
6
?
?2
t
?
?
（2）把直线
?x?1?
3
?
2
t
，代入
x
2
?y< br>2
?
4
，
?
?
?
y?1?
12
t
得
(1?
3
2
t)
2
?(1?< br>1
2
t)
2
?4,t
2
?(3?1)t?2?0，
t
1
t
2
??2
，则点
P
到A,B
两点的距离之积为
2
．
21．解：（1）当
t?0时，
y?0,x?cos
?
，即
x?1,且y?0
；
当
t?0
时，
cos
?
?
x
1
,sin< br>?
?
y
1
，
2
(e
t
?e
?t
)
2
(e
t
?e
?t
)
而
x
2
?y
2
?1
，
即
x
2< br>y
2
1
?
1
?1
；
4
(e
t
?e
?t
)
2
4
(e
t
?e
?t
)
2
（2）当
?
?k
?
,k?Z
时，
y?0
，
x??
1
2
(e
t
?e
?t
)
，即
x?1,且y?0
；
当
?
?k
?
?
?
2
,
k?Z
时，
x?0
，
y??
1
2
(e
t
?e
?t
)
，即
x?0
；
?
e
t?t
2x
当
?
?k
?
2
,
k?Z
时，得
?
?
?e?< br>?
cos
?
?
?
e
t
?e
?t2y
，
?
?
sin
?
S. . . . . ..

.. . .. . .
2x2y
?
t
2e??
?
2x2y2x2y
?
cos
?
sin
?
t?t
即
?
，得
2e?2e?(?) (?)
，
cos
?
sin
?
cos
?
s in
?
?
?t
2x2y
?
?
2e?
cos
?
?
sin
?
x
2
即
cos
2< br>?
?
y
2
sin
2
?
?1
． 22．解：（1）由圆
C
的参数方程
?
?
x?5cos
?
?5sin
?
?x
2
?y
2
?25
，
?
y
?
设直线
l
的参数方程为①
?
x?? 3?tcos
?
?
(t为参数)
，
?
?
y??3
2
?tsin
?

将参数方程①代入圆的方程
x
2
?y
2
?25
< br>得
4t
2
?12(2cos
?
?sin
?
) t?55?0
，
∴△
?16[9(2cos
?
?sin
?
)
2
?55]?0
，
所以方程有两相异实数根
t
1
、
t
2
，
∴
|AB|?|t
1
?t
2
2
|?9(2cos
?
?sin
?
)?55?8
，
化简有
3cos
2< br>?
?4sin
?
cos
?
?0
，
解之cos
?
?0
或
tan
?
??
3
4< br>，
从而求出直线
l
的方程为
x?3?0
或
3x?4 y?15?0
．
（2）若
P
为
AB
的中点，所以
t
1
?t
2
?0
，
由（1）知
2cos
?
?sin
?
?0
，得
tan
?
??2
，
故所求弦
AB
的方程为
4x?2y?15?0(x
2
?y< br>2
?25)
．

备用题：
1．已知点
P(x?3?8cos
?
0
,y
0
)
在圆
?
?
x
上，则
?
y??2?8sin
?
x
0
、
y
0
的取值围是（
S. . . .
）．
. ..

.. . .. . .
A．
?3?x
0
?3,?2?y
0
?2

B．
3?x
0
?8,?2?y
0
?8

C．
?5?x
0
?11,?10?y
0
?6

D．以上都不对
1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C．
2．直线
?
A．
?
x?1?2t
(t为参数)
被圆
x
2< br>?y
2
?9
截得的弦长为（ ）．
?
y?2?t
129
129
B．
5
D．
10

5
C．55
55
2
?
x?1?2t
5
，把直线
?代入
1
?
y?2?t
5
?
x?1?5t?
?
x?1?2t
?
?
2．B
?
?
?
?
y?2?t
?
y?1?5t?
?
?
x
2
? y
2
?9
得
(1?2t)
2
?(2?t)
2
?9,5t
2
?8t?4?0
，
81612
12
|t< br>1
?t
2
|?(t
1
?t
2
)
2< br>?4t
1
t
2
?(?)
2
??
，弦长为5|t
1
?t
2
|?5
．
555
5
?
x?2pt
2
(t为参数,p为正常数)
上的两点
M,N
对应的参数分别为
t
1
和t
2,
，
3．已知曲线
?
?
y?2pt
且t
1
?t
2
?0
，那么< br>|MN|?
_______________．
3．
4p|t
1
|
显然线段
MN
垂直于抛物 线的对称轴，即
x
轴，
|MN|?2p|t
1
?t
2
|?2p|2t
1
|
．
4．参数方程
?
?
x? cos
?
(sin
?
?cos
?
)
(
?< br>为参数)
表示什么曲线？
y?sin
?
(sin
?
?cos
?
)
?
y
2
11
y
2
, cos
?
?
4．解：显然
?
tan
?
，则
2
?1?
，
y
2
xcos
2
?
x
?1
2
x

x?cos
2
?
?si n
?
cos
?
?sin2
?
?cos
2
?
??
2
1
2
12tan
?
2
?cos?
，
2
21?tan
?
yy
?1
2
yy
11
x
?
x
x(1?)??1
，
即
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