高中数学阿式圆-有关高中数学的游戏
、
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的
四
个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 设P＝{y |
y＝－x
2
＋1，x∈R}，Q＝{y | y＝2
x
，x∈R}，则
(A) P
?
Q (B) Q
?
P
(C)
C
R
P?
Q (D) Q
?
C
R
P
(2)
已知i是虚数单位，则
(A)
1?2i
3?i
2
(B)
1?i
3+i
2
＝
(C) 3－i (D)
3＋i
(3) 若某程序框图如图所示，则输出的p的值是
(A) 21
(B) 26 (C) 30 (D) 55
(4) 若a，b都是实数，
则“a
－
b＞0”是“a
2
－
b
2
＞0”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D)
既不充分也不必要条件
(5) 已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线
(A) 只有一条，不在平面α内 (B) 有无数条，不一定在平面α内
(C)
只有一条，且在平面α内 (D) 有无数条，一定在平面α内
?
x?2y?4?0,
?
(6)
若实数x，y满足不等式组
?
2x?y?3?0,
则x＋y的最小值是
?
x?y?0,
?
(A)
4
3
(B) 3 (C) 4 (D) 6
(7) 若(1＋2
x)
5
＝a
0
＋a
1
x＋a
2
x
2
＋a
3
x
3
＋a
4
x
4
＋a<
br>5
x
5
，则a
0
＋a
1
＋a
3＋a
5
＝
(A) 122 (B) 123
(C) 243 (D) 244
(8) 袋中共有8个球，其中3个红球、2个
白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红
球的概率是
(A)
9
14
(B)
37
56
(C)
39
56
(D)
5
7
BC
的值是 (9)
如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则
AO
·
(A) －8 (B)
－1 (C) 1 (D) 8
uuur
uuur
(10) 如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O
1
(0，0)，O
2
(2，0)，O
3
(4，0)，O
4<
br>(0，2)，
O
5
(2，2)，O
6
(4，2)．记集合M＝
{⊙O
i
｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何
一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称 (A，B)
为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B) 和 (B，A)
为不同的有序集合对)，那么M中
“有序集合对”(A，B) 的个数是
(A) 50 (B) 54 (C) 58
(D) 60
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
(11)
若函数f(x)＝
x?1
，则f(x)的定义域是 ．
(12)
若sin α＋cos α＝
2
1
2
，则sin 2α＝ ．
(13) 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，
则此几何体的体积是
cm
3
．
(14) 设随机变量X的分布列如下：
X
P
0
0.1
5
α
10
β
20
0.2
若数学期望E (X)＝10，则方差D (X)＝ ．
(15) 设S
n
是数列{a
n
}的前n项和，已知a
1<
br>＝1，a
n
＝－S
n
?
S
n
－
1
(n≥2)，则S
n
＝ ．
(16) 若点P在曲
线C
1
：
x
2
16
?
y
2
9?1
上，点Q在曲线C
2
：(x－5)
2
＋y
2
＝1上，点R在曲线C
3
：(x＋5)
2
＋y
2
＝1上，
则 | PQ |－| PR | 的最大值是 ．
AB
中点．点D，E(17) 已知圆心角为120°
的扇形AOB半径为
1
，C为
?
别在半径OA，OB上．若CD
2
＋CE
2
＋DE
2
＝
围是 ．
分
范
5
2
，则OD＋OE的取值
三、解答题：本大
题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(18)
(本题满分14分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
tan
(A＋B)＝2．(Ⅰ) 求sin C的值；(Ⅱ) 当a＝1，c＝
5
时，求b的值．
(19) (本题满分14分)
设等差数列{a
n
}的首项a
1
为a，前n项和为S
n
．
(Ⅰ) 若S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，求数列
{a
n
}的通项公式；
(Ⅱ) 证明：
?
n∈N*, S
n
，S
n
＋
1
，S
n
＋
2
不构成
等比数列．
(20) (本题满分15分)
四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，
∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足
(Ⅰ)
求证：FG∥平面PDC；
(Ⅱ) 求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为
PF
PB
＝
CG
CE
＝λ∈(0，1)．
2
3
．
(21) (本题满分15分) 如图，椭圆C:
x
2
＋3y
2
＝3b
2
(
b
＞0).
(Ⅰ) 求椭圆C的离心率；
(Ⅱ) 若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且 | AB | ＝
3
，
求△AOB面积的最大值.
(22) (本题满分14分) 设函数f (x)＝ln
x＋
(Ⅰ) 求实数a的取值范围；
(Ⅱ)
若x
1
∈(0，1)，x
2
∈(1，＋
?
)．求证：f
(x
2
)－f (x
1
)＞e＋2－
注：e是自然对数的底数．
a
x?1
在 (0，
1
e
) 内有极值．
1
e
．
台州中学2011学年高三第一学期第三次统练理科数学答案
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
(18) (Ⅰ) 解：由题设得tan
C＝－2，从而sin
C＝
(Ⅱ) 解：由正弦定理及sin
C＝
25
． ………6分
5
25
2
得sin A＝，
5
5
105?5
sinB
再由正弦定理b＝．
…………14分
?c
＝
5
sinC
n(n?1)
(19)
(Ⅰ)
解：设等差数列{a
n
}的公差为d，则S
n
＝na＋
d
，
2
(2) 当d＝2a时，a
n
＝(2n－1)a．
…………6分
2
(Ⅱ) 证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，S
m
，S
m
＋
1
，S
m
＋
2
构成
等比数列，即
S
m?1
?S
m
?S
m?2
．因此a
2
＋mad＋
1
m(m＋1)d
2
＝0，
①
2
综上所述，对任意正整数n，S
n
，S
n
＋
1
，S
n
＋
2
都不构成等比数列． …………14分
(20) 方法一：
(Ⅰ)
证明：如图以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，其中K为BC的中点，
不妨设PA＝2，则
A(0,0,0)
，
P(0,0,2)
， B(3,?1,0)
，
C(3,1,0)
，
E(0,2,0)
，
D(0,4,0)
．
由
PFCG
??
?
，得 <
br>PBCE
F(3
?
,?
?
,2?2
?
)，
G(3?3
?
,1?
?
,0)
，
uuur
FG?(?23
?
?3,1?2
?
,?2?2
?
)
，
uur
设平面
PCD
的法向量
n
0
=
(x，y，z)，则
uuruuuruuruuur
n
0
?PC?0
，
n
0
?PD?0
，
?
?
3x?y?2z?0,
得
?
0?x?4y
?2z?0,
?
?
uur
可取
n
0
=(
3
，1，2)，于是
设平面
FCD
的法向量
n
1
?
(x
1
,y
1
,z
1
)
，则
n
1
?FC?0
，
n
1
?CD?0
，
所以
8
?
2
?14
?
?5?0
，解得
?
?
故
?
?
uuruuruuuruuruuur
15
或
?<
br>?
(舍去)，
24
P
F
M
B
A
G
E
Q
D
1
．
…………15分
2
方法二：
(Ⅰ) 证明：延长
BG
交
CD
于
Q
，连
PQ
，
BE
．
N
C
（第20题）
得平行四边形
BEDC
，则
BE
CQ
，
所以
CG:GE?QG:GB
．
又
PF:FB?CG:GE
，则
QG:GB?PF:FB
，
所以
FG
PQ
．
则
FN?CD
，
?FNM
为二面角
F?CD?G
的平面角．
FMFB
??1?<
br>?
，不妨设
PA?2
，则
FM?2(1?
?
)?BM
，
MN?2?
?
，
PAPB
1
FM22(1?
?
)
由
tan?FNM?
得
?
，即
?
?
．
…………15分
2
MN32?
?
x
2
y
2
222
(21) (Ⅰ)解：由x＋3y＝3b得
??1
，
3b
2b
2
(Ⅱ)解：设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，△ABO的面积为S．
如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的
坐标为(
3313
3
，)，此时S＝
??3
＝；
22
22
4
即 (1＋3k
2
)x
2
＋6
kmx＋3m
2
－3＝0，又Δ＝36k
2
m
2
－4(1＋
3k
2
) (3m
2
－3)＞0，
3m
2
?3
6km
所以
x
1
＋x
2
＝－，x
1
x
2
＝， 1?3k
2
1?3k
2
(1?3k
2
)
2|m|
结合①，②得m＝(1＋3k)－．又原点O到直线AB的距离为，
2
4
(1?k
2
)
1?k
22
3
1?3k
2
3
3
2
＝－
?
(－2)＋≤，
44
16
1?k2
33
3
3
1?3k
2
故S≤．当且仅当＝2，即k＝
±1时上式取等号．又＞，故S ＝．
max
222
1?k
2
4
…………15分
2
由
f
?
(x)?0
在
(0,)
内有解．令
g(x)?x?(a?2)x?1?(x?
?
)(x?
?
)
，
1
e
不妨设
0?
?
?
解得
a?e?
111a?2
，则
?
?e
，所以
g(0)?1?0
，
g()?
2
??1?0
，
eeee
1
?2
．
…………6分
e
a
由
x
1
?(0,1)
，得f(x
1
)?f(
?
)?ln
?
?
，
?
?1
a
由
x
2
?(1,??)
得
f(
x
2
)?f(
?
)?ln
?
?
,
??1
1
记
h(
?
)?2ln
?
?
?<
br>?
， (
?
?e
)，
?
21
则
h
?
(
?
)??1?
2
?0
，
h(
?
)
在(０，＋∞)上单调递增，
??
所以
f(x
2)?f(x
1
)
?h(
?
)?h(e)?2?e?
1<
br>． …………14分
e