高中数学试题及答案

高中数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符
合题目要求的.
1、已知集合；,则中所含元素的个数为
（ ）

2、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，
事先已了解 到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力
情况差异不大，在下面的 抽样方法中，最合理的抽样方法是 （ ）
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
3、设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是
（ ）
（A）是偶函数 （B）是奇函数
（C）是奇函数 （D）是奇函数
4、直线L过点P(－1,2)，且与以A( －2，－3)，B(4,0)为端点的线段相交，则L的斜率的
取值范围是 ( )
∪(0,5]
?
π
?
∪[5，＋∞) ∪
?
，5
?

?
2
?
5、如果执行右边的程序框图，输入正整数和实数，输出，则（ ）
为的和
为的算术平均数
和分别是中最大的数和最小的数
和分别是中最小的数和最大的数
6、设等差数列的前项和为，则 ( )
B.4



7.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M,N两点,且M,N关于直线x+2y= 0对称,则实
数k+m= ( )
B.1
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A． B．
C． D．







（第8题） （第9题）

9、如图，有 一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，
再向容器内注水，当球面 恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体
积为 （ ）
A. B. C. D.
2048
?
cm
3

3
10、如图的矩形长为5、 宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆
数为138颗，则我们可以估计出阴 影部分的面积为( )

C. 10 D．不能估计
11、已知函数，若||≥，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12、阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数x，符号[x] 表示“不超过x的最大
整数”，在数轴上，当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x 左侧的第一个整
数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯(Gauss)函数如[-2]=-2，[ ]=- 2，[]=2,则的
值为 ( )
A、0 B、-2 C、-1 D、l
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。
（13）已知向量夹角为 ，且；则
(14) 设满足约束条件：；则的取值范围为
（15）已知，，为圆上的三点，若，则与的夹角为___________．
（16）已知，，分别为三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为_____________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17． （本小题满分8分）高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分
别为,,.
(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；
(2)求射击一次，至少命中8环的概率；
(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．

18、（本小题满分8分）已知分别为三个内角的对边，
（1）求 （2）若，的面积为；求。

19、（本小题满分8分）已知数列的前项和为，，，，其中为常数．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．




































20、（本小题满分8分）定义在实数集R上的函数y= f（x）是偶函数，当x≥0时，.
（Ⅰ）求f（x）在R上的表达式；

（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调递增区间（不必证明）.






































21、（本小题满分10分）已知圆 C的圆心在直线y=x+1上,且过点A(1,3)与直线x+2y-7=0
相切.
(1)求圆C的方程.
(2)设直线l:ax-y-2=0(a>0)与圆C相交于A,B两点,求实数a的取值范围.

22、（本小题满分10分）已知△
BCD
中，∠< br>BCD
=90°，
BC
=
CD
=1，
AB
⊥ 平面
BCD
，
∠
ADB
=60°，
E、F
分别是
AC、AD
上的动点，且
AEAF
??
?
(0?
?
?1).

ACAD

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面
BEF
⊥平面
ABC
；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面
BEF
⊥平面
ACD
？






































答案
一、选择题：DCBCC CBAAA DC
二．填空题：13. 14. 15.

90?
16.
3

17．解 设事件“射击一次，命中
i
环”为事件
A
i
(0≤
i
≤10，且
i
∈N)，且
A
i
两两互斥．由
题意知
P
(
A
10
)＝，
P
(
A
9
)＝，
P
(
A
8
)＝.
(1)记“射击一次，命中10环或9环”的事件为
A
，那么
P
(
A
)＝
P
(
A
10
)＋
P
(
A9
)＝＋＝.
(2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为
B
，那么
P
(
B
)＝
P
(
A
10
)＋P
(
A
9
)＋
P
(
A
8
)＝ ＋＋＝.
(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的事件为
C
，则
C与
A
是对立事件，∴
P
(
C
)＝1－
P
(
A
)
＝1－＝.
18.（1）由正弦定理得：


（2）

解得：
19.解：（Ⅰ）由题设，，．
两式相减得 ．
由于，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
令，解得．
故，由此可得
是首项为，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，．
所以，．
因此存在，使得为等差数列．
20.解：（Ⅰ）设x＜0，则- x＞0，

∵f（x）是偶函数， ∴f（-x）=f（x）
∴x＜0时，
∴
（2）
f
(x)=-4x
2
-8x-3=-4(x-1)
2
+1
f
(x)最大值是1
f
(x)单调增区间为（-∞，-1），（0,1）
21.【解析】(1)设圆心坐标为(a,a+1),则由题意得,
=
解得:a=0,所以圆心坐标为(0,1),半径r==
,
,所以圆C的方程为x2+(y-1)2=5.
(2)把直线ax-y-2=0,即y=ax -2代入圆的方程,消去y整理,得(a2+1)x2-6ax+4=0.由于直线
ax-y-2=0交 圆C于A,B两点,
故Δ=36a2-16(a2+1)>0.
即5a2-4>0,由于a>0,解得a>
所以实数a的取值范围是(
.
,+∞).
22、证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，

∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.
又
?
AE
?
AF
?
?
(0?
?
?1),
ACAD
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF
?
平面B EF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴
BD?2,AB?2tan60
?
?6,

7
AC7
2
?AC?AB
2
?BC
2
?7 ,
由AB=AE·AC 得
AE?
6
,?
?
?
AE
?
6
,

故当
?
?

6
时，平面BEF⊥平面ACD.
7