高中数学必备必考公式大全

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高考数学必备必考公式大全
一、 集合
1.并集的运算
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
2. 并集的运算性质
(1) A∪A=A
(2)A∪?=A
(3)A∪B=B∪A
(4) A∪B=A?B?A
3. 交集的运算
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
4. 交集的运算性质
(1)A∩A=A
(2)A∩?=?
(3)A∩B=B∩A
(4)A∩B=A?A?B
5. 补集的运算
?
U
A={x|x∈U,且x?A}
6. 补集的运算性质
(1) ?
U
(?
U
A)=A
(2) ?
U
U=?,?
U
?=U
(3)A∪(?
U
A)=U,A∩(?
U
A)=?

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(4) ?
U
(A∩B)=( ?
U
A)∪(?
U
B), ?
U
(A∪B)=( ?
U
A)∩(?
U
B)
二、 函数与导数公式
1. 有理数指数幂的运算性质
（1）a
r
a
s
=a
r+s
(a>0,r,s∈Q)
（2）

=a
r-s
(a>0,r,s∈Q)



（3 ）(a
r
)
s
=a
rs
(a>0,r,s∈Q)
（4）(ab)
r
=a
r
b
r
(a>0,b>0,r∈Q)
2.对数运算公式
（1）对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
log
a
(M·N)=log
a
M+log
a
N;
log
a
=log
a
M-log
a
N;


log
a
M
n
=nlog
a
M(n∈R)
（2）对数恒等式
a
logaN
=N(a>0,且a≠1,N>0)
（3）对数运算的换底公式
log
a
b=






(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)
（4）换底公式的变形
log
a
b·log
b
a=1,即 log
a
b=
lo







b
=log
a
b









n

log
N
M==

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（5）换底公式的推广
log
a
b·log
b
c·log
c
d=log
a
d
3.

求导公式及运算法则
(1)基本初等函数的导数公式
a.若f(x)=c(c为常数),则f '(x)=0.
b.若f(x)=x
n
(n∈Q
*
),则f '(x)=nx
n-1
.
c.若f(x)=sin x,则f '(x)=cos x.
d.若f(x)=cos x,则f '(x)=-sin x.
e.若f(x)=a
x
,则f '(x)=a
x
ln a.
f.若f(x)=e
x
,则f '(x)=e
x
.
g.若f(x)=log
a
x,则f '(x)=




.
h.若f(x)=ln x,则f '(x)=.
（2）导数运算法则
a.[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g'(x)
b.[f(x)·g(x)]'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
c.[
( )
( )
]'=
( ) ( )- ( ) ( )
( )

(g(x)≠0)
（3）复合函数的导数(理) < br>设y=f(u),u=φ(x),则y'
x
=y'
u
u'
x< br>或记作f '[φ(x)]=f '(u)φ'(x).
特别地，[f(ax+b)] '=a f' (ax+b).
4.定积分的运算性质（理）
（1）
?
a
kf(x)dx=k
?
a
f(x)dx(k为常数)
(2)
bb
?
b
a
[f(x)±g(x)]dx=
?
a
f(x )dx±
?
a
g(x)dx
bb

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(3)
?
a
f(x)dx=-
?
b
f(x)dx
(4）
?
a
f(x)dx=
?
a
f(x)dx+< br>?
b
f(x)dx(a三、三角函数
1. 同角关系：
(1)平方关系:sin
2
α+cos
2
α=1.
(2)商的关系:


cbc
ba
=tan α(α≠+kπ,k∈Z).


2. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
a?2k?1,b?2k,k?Z

f(a
f(b
π
?< br>?
)?g(
?
)

2
π
?
?
)?f(
?
)

2
3. 两角和差公式：
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β
(2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β
( 3)tan(α±β)=
tan
?
?tan
?
(α,β,α±β≠< br>
+kπ,k∈Z)

1tan
?
tan
?

4.二倍角公式：
(1)sin 2α=2sin αcos α
(2)cos 2α=cos
2α-sin
2
α=2cos
2
α-1=1-2sin
2
α
(3)tan 2α=

-



4. 降幂公式（二倍角余弦变形）：
(1)sin
α=
2
2
-



(2)cos
α=

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5. 半角公式：


-
(1)sin=±






(2)cos=±


-
=(3)tan=±

=
-


7. 万能公式
(1)sin θ=








(2)cos θ=
(3)tan θ=






-




-




8. 扇形的弧长公式和面积公式
(1)l=|α|r
(2)S
扇形=
lr=
|α|r
2
(其中l为弧长,r为圆的半径,α为圆心角的弧度 数)


四、解三角形
1.正弦定理



=

=

=2R(R为△ABC外接圆的半径)
【变式】

①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
②a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C
③




=

=

=


④sin A=,sin B=,sin C=
2.余弦定理

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a=b+c-2bccos A; cos A=
b=c+a-2cacos B; cos B=
222
222
222




-








-



c=a+b-2abcos C. cos C=
3.三角形面积公式




-
（1）S=
ah
a
=bh
b
=ch
c
(ha
,h
b
,h
c
分别表示a,b,c边上的高)





（2）S=
absin C=bcsin A=casin B


（3）S
△
ABC
=r(a+b+c)(r为三角形内切圆的半径


（4） S=


(R为三角形ABC外接圆的半径)
（5）S=2R
2
sin Asin Bsin C(R为三角形ABC外接圆的半径)
4.四边形面积公式
S=l
1
l
2
sin θ(l
1
,l
2
为对角线长,θ为对角线夹角)


五、数列的基本公式
(n?1)
?
S
1
a
n?
?
,n?N*

S?S(n?1)
n?1
?
n
1.等差数列：
(1) 通 项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d?a
n
?a< br>m
?(n?m)d

(2) 等差中项公式：
2a
n?1?a
n
?a
n?2
?2a
n
?a
n?m
?a
n?m

(3) 前n项和公式：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)dn(n?1)dd
2d
?na
1
??na
n
??n?(a
1
?)n

22222
(4)
S
2n?1
?(2n?1)a
n?1

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2.等比数列：
(5) 通项公式：
a
n
?a
1
q
n?1
?a
n
?a
m
q
n?m

(6) 等差中项公式：
a
n
2
?1
?a
n
a
n?2
?a
n
2
?a
n?m
a
n?m

(7) 前n项和公式：
S
n?1
?a
1
?qS
n
Sn
?na
1
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
S
n
???
1?q1?q
a
n
(1?
1
)
a
1
a
1
qn
q
n
??
1
1?q1?q
1?
q

3.特殊数列：
n(n?1)
2
i?1
n
n(n?1)( 2n?1)
2222
i?1?2?...?n?
?
6
i?1
?
i?1?2?...?n?
n

n(n?1)(n?2)
3
?
i(i?1)?1?2?2?3?...?n?(n?1)?
i?1
n
1 11
??
n(n?1)nn?1

1
a
n
?n(n ?1)?[n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)]
3
a
n
?< br>六、 不等式
1. 均值不等式：
a?b
?ab(一正、二定、三相等)

2
2.常用的基本不等式:
①a
2
+b
2
≥2ab(a,b∈R).

2




②ab≤()
≤
(a,b∈R).

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③







≥

≥

≥

(a,b>0).



④ +
≥2(a,b同号且不为0).


3.柯西不等式：
22
(a
1
2
?a
2
)(b
1
2
?b
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
)
2
当且仅当
a
1
a
2
?
或
a
1
? a
2
?0或b
1
?b
2
?0
时
b
1
b
2
等号成立
4.平算几调不等式：
2a?ba
2< br>?
?b
2
?ab?(a,b?R
?
11
22
)

a
?
b
七、立体几何
1..空间几何体的表面积公式
几何
表面积
体
棱柱 S
棱柱
=2S
底面
+S
侧面

棱锥 S
棱锥
=S
底面
+S
侧面

棱台 S
棱台
=S
上底
+S
下底
+S
侧面

S
圆柱
=2πrl+2πr
2

圆柱
(r为底面半径,l为母线
长)
圆锥 S
圆锥
=πrl+πr
2

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(r为底面半径,l为母线
长)
S
圆台
=π(r+r')l+πr
2
+πr'
2

圆台
(r,r'为底面半径,l为母线
长)
球体 S
球
=4πR
2
(R为球的半径)

2. 空间几何体的体积公式
几何
体
V
棱柱
体积
棱柱
=Sh(S为底面积,h为
高)
V
棱锥
=

Sh(S

为底面积,h为
棱锥
高)
V
棱台
=

h(S+


+S')

(S,S'为底面积,h为高)
V
圆柱
=πr
2
棱台
h(r为底面半径,h
圆柱
为高)
2
圆锥 V
圆锥
=

πr
h(r为底面半径,h

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为高)
22
V
圆台
=

πh(r
+rr'+r')

圆台
(r,r'为底面半径,h为高)
3
球体 V
球
=

πR
(R为球的半径)



八、解析几何公式
1. 两点间距离公式 :
|AB|?(x
1
?x
2
)2
?(y
1
?y
2
)
2

2. 斜率公式:
k?tan
?
?
y
1
?y
2

x
1
?x
2
|Ax
0
?By
0
? C|
A?B
22
3. 点到直线的距离公式：
d?
4. 平行线间的距离公式：
d?

|C
1
?C
2
|
A?B
22

5. 两直线间的夹角公式：
tan
?
?
k
1
?k
2
π
,
?
?[0,]

1?k
1
k
2
2
|a?b|

|a||b|
6. 两异面直线的夹角公式：
cos
?
?cos?a,b??
7. 向量夹角公式：
cos?a,b??
a?b

|a||b|
8. 线面夹角公式：
sin
?
?cos?AO,n?，n为平面
?
的法向量

9. 点到平面的距离公式：
d?
AOn
n

10. 二面角的公式：
cos
?
?cos?m,n?,m,n分别是面?
,
?
的法向量

九、概率与统计公式

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1.平均数： =(x
1
+x
2
+…+x
n
)


2.标准差：s=

(

- )

=

(

- )

(

- )

… (

- )








3.方差：s
2
=[(x
1
- )
2
+(x
2
- )
2
+…+(x
n
- )
2
].


方差越小,这组数据越集中在平均数附近;
方差越大,这组数据大部分偏离平均数.
4.利用最小二乘法求回归直线方程






(

)(

)








,


(

)










＾


,
这样,回归直线的斜率为
,截距为 ,即回归直线方程为 = x+ .
5.样本相关系数的计算公式
r=





＾＾

＾
(

-
)(

-
)








(

-
)

(

-
)


6.古典概型的概率公式
P(A)=
事件 包含的基本事件的个数

基本事件的总数

=
7.几何概型的概率公式
P(A)=
构成事件 的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

8. 互斥事件的概率
P
?
AB
?
?P(A)?P(B)

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9. 对立事件的概率
P(A)=1?P(B)

10. 数学期望公式（理）E(ξ)=x
1
p
1
+x
2
p
2
+…+x
n< br>p
n

11.方差公式（理）D(ξ)=(x
1
-E(ξ))
2
·p
1
+(x
2
-E(ξ))
2
·p< br>2
+…+(x
n
-E(ξ))
2
·p
n

标准差σ(ξ)=

( )
12.独立事件同时发生的概率计算公式（理）P(AB)=P(A)P(B)
13.n次独立重复试验的概率计算公式（
P
n
(k)=


p
k
(1-p)
n-k
(k=0,1,2,…,n)
14.条件概率公式（理）P(B|A)=
( )
( )

15.二项分布的期望公式
E
?
X
?
?np
16.二项分布的方差公式
D
?
X
?
?np
?
1?p
?

十、计数原理公式
1.排列数公式



=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=

( - )
(m≤n,m,n∈N
*
)



=n!=n(n-1)(n-2)…2·1(n∈N
*
)
2. 组合数公式



=



( - )…( - )



=

=
( - )
(m≤n,n,m∈N
*
)
规定


=1.
3. 二项式定理
(a+b)
n
=


a
n
+


a
n-1
b
1
+…+


a
n-k
b
k
+…+


b
n
( n∈N
*
)
4. 二项展开式的通项公式
理）

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n-k
T
k+1
=

ab

十一、复数公式
1.复数模的运算性质
设z
1
,z
2
∈C,有
(1)||z
1
|-|z
2
||≤|z
1
±z
2
|≤|z
1
|+|z
2
|
(2)|z
1
+z
2
|
2
+|z
1
-z
2
|
2
=2|z
1
|
2
+2|z
2
|
2

(3)|z
1
·z
2
|=|z
1
|·|z
2
|
(4)|

|=









(z
2
≠0)
(5)|z
n
|=|z|
n
(n∈N
*
)
2.复数的加法
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
3.复数的减法
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
4.复数的乘法
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi
2
=(ac- bd)+(ad+bc)i
5. 复数的除法
(a+bi)÷(c+di)=







+

-




i(c+di≠0)