高中数学必修1说课稿-高中数学1 代表
高等数学公式
高等数学公式
导数公式:
(tgx)
?
?sec
x
(ctgx)
?
??cscx
(secx)
?
?secx
?tgx
(cscx)
?
??cscx?ctgx
(a
x
)
?
?a
x
lna
(log
a
x)
?
?
1
xlna
2
2
(arcsinx)
?
?1
1?x
2
1
(arccosx)
?
??
1?
x
2
1
(arctgx)
?
?
1?x
2
1
(arcctgx)
?
??
1?x
2
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
?
tgxdx??lncosx?C
?
c
tgxdx?lnsinx?C
?
secxdx?lnsecx?tgx?C
?
cscxdx?lncscx?ctgx?C
dx1x
?arctg?C
?
a
2
?x
2
aa
dx1x?a
?ln
?
x
2
?a
2
2ax?a
?C
dx1a?x
?ln?
a
2
?x
2
2aa?x
?C
dxx
?arcsin?C
?
a
2
?x
2
a
?
2
n
dx
2
?
cos
2
x
?
?secxdx?tgx?C
dx
2
?
sin
2
x
?
?
cscxdx??ctgx?C
?
secx?tgxdx?secx?
C
?
cscx?ctgxdx??cscx?C
a
x
?
ad
x?
lna
?C
x
?
shxdx?chx?C
?
c
hxdx?shx?C
?
dx
x
2
?a
2
?ln(
x?x
2
?a
2
)?C
?
2
I
n
?
?
sinxdx?
?
cos
n
xdx?
00n?1
I
n?2
n
?
?
?
x
2
a
2
2
x?adx?x?a?ln(x?x
2
?a
2)?C
22
x
2
a
2
222
x?adx?x?
a?lnx?x
2
?a
2
?C
22
xa
2
x
2222
a?xdx?a?x?arcsin?C
22a
22
2u
1?u
2
x2du
sinx?, cosx?, u?tg, dx?
21?u
2
1?u
2
1?u
2
1 12
高等数学公式
一些初等函数:
两个重要极限:
e
x
?e
?x
双曲正弦:shx?
2e
x
?e
?x
双曲余弦:chx?
2
shxe
x
?e
?x
双曲正切:thx??
chx
e
x
?e
?x
arshx?ln(x?x
2
?1)
archx??ln(x?
x
2
?1)
11?x
arthx?ln
21?x
三角函数公
式:
·诱导公式:
函数
角A
-α
90°-α
90°+α
180°-α
180°+α
270°-α
270°+α
360°-α
360°+α
sinx
lim?1
x?0
x
1
lim(1?)
x
?e?2.7045...
x??
x
sin cos tg
-tgα
ctgα
ctg
-ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
-sinα cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-sinα -ctgα -tgα
-cosα -tgα
-sinα -cosα tgα
-cosα -sinα ctgα
-cosα
sinα
-sinα cosα
sinα cosα
-tgα
tgα
-ctgα -tgα
·和差角公式:
·和差化积公式:
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
s
in
?
tg
?
?tg
?
tg(
?
?
?
)?
1?tg
?
?tg
?
ctg
?
?
ctg
?
?1
ctg(
?
?
?
)?
ctg
?
?ctg
?
sin
?
?sin
??2sin
?
?
?
22
?
?
??
?<
br>?
sin
?
?sin
?
?2cossin
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
??2coscos
22
?
?
??
?
?
cos<
br>?
?cos
?
?2sinsin
22
cos
?
?
?
2 12
高等数学公式
·倍角公式:
sin2
?
?2sin
?
c
os
?
cos2
?
?2cos
2
?
?1?1?2s
in
2
?
?cos
2
?
?sin
2
?ctg
2
?
?1
ctg2
?
?
2ctg
?
2tg
?
tg2
?
?
1?tg
2
?<
br>
·半角公式:
sin3
?
?3sin
?
?4si
n
3
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3c
os
?
3tg
?
?tg
3
?
tg3
??
1?3tg
2
?
sin
tg
?
2
?
?
??
1?cos
??
1?cos
?
cos??
222
1?cos
?
1?cos
?
sin<
br>??
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
?
? ctg????
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
21?cos
?
sin
?
1?cos
?
abc???2R
·余弦定理:
c
2
?a
2
?b<
br>2
?2abcosC
sinAsinBsinC
?
2
·正弦定理:
·反三角函数性质:
arcsinx?
?
2
?arccosx arct
gx?
?
2
?arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
(uv)
(n)k(n?k)
(k)
?
?
C
n
uv
k?0
n
?u
(n)
v?nu
(n?1)
v
?
?
n(n?1)
(n?2)
n(n?1)?(n?k?1)
(n?k)(k)
uv
??
???uv???uv
(n)
2!k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:f(b)?f(a)?f
?
(
?
)(b?a)
f
(b)?f(a)f
?
(
?
)
柯西中值定理:?
F(b)?
F(a)F
?
(
?
)
曲率:
当F(x)?x时
,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式:ds?1?y
?
2
dx
,其中y
?
?tg
?
平均曲率:K?
?
?
.??
:从M点到M
?
点,切线斜率的倾角变化量;?s:MM
?
弧
长。
?s
y
??
?
?
d
?
M点
的曲率:K?lim??.
?s?0
?sds
(1?y
?
2
)
3
1
.
a
3 12
直线:K?0;
半径为a的圆:K?
高等数学公式
定积分的近似计算:
b
矩形法:
?
f(x)?a
b
b?a
(y
0
?y
1
???y
n
?1
)
n
b?a1
[(y
0
?y
n
)?y
1
???y
n?1
]
n2
b?a
[(y
0
?y
n
)?2(y
2
?y
4
???y
n?
2
)?4(y
1
?y
3
???y
n?1
)]
3n
梯形法:
?
f(x)?
a
b
抛物线法:<
br>?
f(x)?
a
定积分应用相关公式:
功:W?F?s
水压
力:F?p?A
mm
引力:F?k
1
2
2
,k为引力系数<
br>
r
b
1
函数的平均值:y?f(x)dx
?
b?a
a
1
均方根:f
2
(t)dt
?
b?a
a
空间解析几何和向量代数:
b
空间2点的距离:d?M
1
M
2
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
向量在轴上的投影:Prj
u
AB?AB?cos
?
,
?
是AB与u轴的夹角。
????
Prj
u
(a
1
?
a
2
)?Prja
1
?Prja
2
?
?
?
?
a?b?a?bcos
?
?a
x
b
x
?
a
y
b
y
?a
z
b
z
,是一个数量,两向量之间的夹角:cos
?
?
i
?
??
c?a?b?
a
x
b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
bz
a
x
?a
y
?a
z
?b
x
?b
y
?b
z
222222
k
??
?
??
?
a
z
,c?a?bsin
?
.例:线速度:v?w?r.
b
z
a
y
b
y
c
y
a
z
?
?
?
b
z
?a?b?ccos
?
,
?<
br>为锐角时,
c
z
a
x
??
????
向量的混合积:[abc]?(a?b)?c?b
x
c
x
代表平行六面体的
体积。
4 12
高等数学公式
?
1、点法式:A(x?x
0
)?B(y?y
0)?C(z?z
0
)?0,其中n?{A,B,C},M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)
2、一般方程:Ax?By?Cz?D?
0
xyz
3、截距世方程:???1
abc
平面外任意一点到该平面的距离:
d?
Ax
0
?By
0
?Cz
0
?D
A2
?B
2
?C
2
平面的方程:
?
x?x
0
?mt
x?xy?y
0
z?z
0
?
?
空间直线的方程:
0
???t,其中s?{m,n,p};参数方程:
?
y?
y
0
?nt
mnp
?
z?z?pt
0
?
二
次曲面:
x
2
y
2
z
2
1、椭球面:
2<
br>?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
2、抛物面:??z(,p,q同号)
2p2q
3、双曲面:
x
2
y
2
z
2
单叶双曲面:
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
z
2<
br>双叶双曲面:
2
?
2
?
2
?(马鞍面)1
a
bc
多元函数微分法及应用
全微分:dz?
?z?z?u?u
?u
dx?dy du?dx?dy?dz
?x?y?x?y?z
全微分的近似计
算:?z?dz?f
x
(x,y)?x?f
y
(x,y)?y
多元复
合函数的求导法:
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t)] ???? dt?u?t?v?t
?z?z?u?z?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]
? ???
?x?u?x?v?x
当u?u(x,y),v?v(x,y)时,
?u
?u?v?v
du?dx?dy dv?dx?dy
?x?y?x?y
隐函数的
求导公式:
F
x
FF
dydyd
2
y??
隐函数F
(x,y)?0, ??,
2
?(?
x
)+(?
x
)
?
dxF
y
?xF
y
?yF
y
dx
dx<
br>F
y
F
?z?z
隐函数F(x,y,z)?0, ??
x, ??
?xF
z
?yF
z
5 12
高等数学公式
?F
?
F(x,y,u,v)?0
?(F,G)
?u
隐函数方程组: J??
?
?G
G(x,y,u,v)?0
?(
u,v)
?
?u
?u1?(F,G)?v1?(F,G)
??? ??
?
?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)
?u1?(F,G)?v1?(F,G)
?
?? ???
?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)
微分法在几何上的应用:
?F
?v
?
F
u
?G
G
u
?v
F
v
G
v
?
x?
?
(t)
x?
xy?y
0
z?z
0
?
空间曲线
?
y?
?
(t)在点M(x
0
,y
0
,z
0
)处的切线方程
:
0
??
??
?
(t)
?
(t)
?
?
(t
0
)
00
?
z?
?
(t)
?
在点M处的法平面方程:
?
?
(t
0
)(x?x
0
)?
?
?
(t
0
)(y?y
0
)?<
br>?
?
(t
0
)(z?z
0
)?0
?
?
F
y
F
z
F
z
F
x
F
x
?
F(x,y,z)?0
若空间曲线方程为:,则切向量T?{,,
?GGG
x
GG
G(x,y,z)?0
?
yz
zx
?
曲面F(x,y,z)?0上一点M(x
0
,y
0
,z
0
),则:
?
1、过此点的法向量:n?{F
x
(x
0,y
0
,z
0
),F
y
(x
0
,y<
br>0
,z
0
),F
z
(x
0
,y
0<
br>,z
0
)}
x?x
0
y?y
0
z?z
0
3、过此点的法线方程:??
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
,y
0
,
z
0
)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
方向导数与梯度:
F
y
G
y
}
2、过
此点的切平面方程:F
x
(x
0
,y
0
,z
0)(x?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)(y?y
0
)?F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)(z?z
0
)?0
?f?f?f
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:?cos
?
?sin
?
?l?x?y
其中
?
为x轴到方向l的转角。
?f
?
?f
?
i?j
?x?y
??
?f
?
?
它与方向导数的关系是:?gradf(x,y)?e,其中e?cos
?
?i?s
in
?
?j,为l方向上的
?l
单位向量。
?f
?是gra
df(x,y)在l上的投影。
?l
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gra
df(x,y)?
多元函数的极值及其求法:
设f
x
(x
0
,y
0
)?f
y
(x
0
,y
0
)?0,
令:f
xx
(x
0
,y
0
)?A, f
xy
(x
0
,y
0
)?B, f
yy
(x
0
,y
0
)?C
?
?
A?0,(x
0
,y
0
)为极大值
2
AC?B?0时,
?
?
?
A?0,(
x
0
,y
0
)为极小值
?
?
2
则:值?
AC?B?0时, 无极
?
AC?B
2
?0时,
不确定
?
?
?
6 12
高等数学公式
重积分及其应用:
??
f(x,y)dxdy?
??
f(rcos
?
,rsin
?
)rdrd
?
DD
?
曲面z?f(x,y)的面积A?
??
D
?
?z
?
?
?z
?
1?
??
?
?
?
?y
?
?
dxdy
?x
??
??
2
2
平面薄片
的重心:x?
M
x
?
M
??
x
?
(x,y
)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
D, y?
M
y
M
?
??
y
?
(x,
y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
D<
br>
平面薄片的转动惯量:对于x轴I
x
?
??
y
2<
br>?
(x,y)d
?
, 对于y轴I
y
?
??
x
2
?
(x,y)d
?
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点
M(0,0,a),(a?0)的引力:F?{F
x
,F
y
,F
z<
br>},其中:
F
x
?f
??
D
?
(x,y)x
d
?
(x?y?a)
222
2
, F
y
?f??
3
D
?
(x,y)yd
?
(x?y?a)
222
2
, F
z
??fa
??
3
D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
22
3
2
2柱面坐标和球面坐标:
?
x?rcos
?
?
柱面坐标:f(x
,y,z)dxdydz?
???
F(r,
?
,z)rdrd
?dz,
?
y?rsin
?
,
???
??
?
z?z
?
其中:F(r,
?
,z)?f(rcos
?,rsin
?
,z)
?
x?rsin
?
cos
?
?
2
球面坐标:
?
y?rsin
?
sin
?
, dv?rd
?
?rsin
?
?d
?
?d
r?rsin
?
drd
?
d
?
?
z?rcos?
?
2
?
?
r(
?
,
?<
br>)
2
F(r,
?
,
?
)rsin
?
dr
?
0
???
?
f(x,y,z)dxdydz?
???
F(r,
?
,
?
)rsin
?
drd
?<
br>d
?
?
?
d
?
?
d
?
?0
0
2
重心:x?
1
M
???
x
?
dv,
y?
?
?
1
M
???
y
?
dv, z
?
?
?
1
M
???
z
?
dv, 其中M
?x?
???
?
dv
??
?
转动惯量:I
x
?
???
(y
2
?z
2
)
?
dv,
I
y
?
???
(x
2
?z
2
)
?
dv, I
z
?
???
(x
2
?y
2<
br>)
?
dv
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
?
x?
?
(t)
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:, (<
br>?
?t?
?
),则:
?
?
y?
?
(
t)
?
L
?
x?t
22
??
f(x,y)ds?<
br>?
f[
?
(t),
?
(t)]
?
(t)?<
br>?
(t)dt (
?
?
?
) 特殊情况:
??
y?
?
(t)
?
?
7 12
高等数学公式
第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):
?
x?
?
(
t)
设L的参数方程为,则:
?
y?
?
(t)
?
?
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
?
?
{P[
?<
br>(t),
?
(t)]
?
?
(t)?Q[
?
(
t),
?
(t)]
?
?
(t)}dt
L
两类曲线积
分之间的关系:
?
Pdx?Qdy?
L
?
(Pcos
??Qcos
?
)ds,其中
?
和
?
分别为
L<
br>L上积分起止点处切向量的方向角。
?Q?P?Q?P
格林公式:(?)dxdy??
Pdx?Qdy格林公式:(?)dxdy?
????
?x?y?x?y
DLD
?Q?P
当P??y,Q?x,即:??2时,得到D的面积:A?
?x?y
·平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
2、P(x,y),
Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
·二元函数
的全微分求积:
?Q?P
在=时,Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:
?x?y
(x,y)
?
Pdx?Qdy
L
??
dx
dy?
2
?
xdy?ydx
DL
1
?Q?P
=。注
意奇点,如(0,0),应
?x?y
u(x,y)?
(x
0
,y
0
)
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy,通常设x
0<
br>?y
0
?0。
曲面积分:
22
对面积的曲面积分:
??
f(x,y,z)ds?
??
f[x,y,z(x,y)]1?z
x(x,y)?z
y
(x,y)dxdy
?D
xy
对坐标的曲面积
分:
??
P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
,其中:
?
号;
??
R(x,y,z)dxdy??
??
R
[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正
?D
xy
号;<
br>??
P(x,y,z)dydz??
??
P[x(y,z),y,z]dydz
,取曲面的前侧时取正
?D
yz
号。
??
Q(x,y,z)dzdx
??
??
Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正
?D
z
x
两类曲面积分之间的关系:
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
?
?
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
??
高斯公式:
???
(
?
?P?Q?R
??)
dv?
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
?x?y?z
??
高斯公式的物理意义——通量与散度:
?
?P?Q?R
?
散度:
div
?
???,即:单位体积内所产生的流体质量,若div
?
?0,则为
消失...
?x?y?z
?
?
通量:
??
A?nds???
A
n
ds?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds,
?
因此,高斯公式又可写成:di
vA
???
dv?
??
A
n
ds
??
??
?
8 12
高等数学公式
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
??
(
?<
br>?R?Q?P?R?Q?P
?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy?
?
Pdx?Qdy?Rdz
?y?z?z?x?x?y
?
dzdx
?
?y
Q
dxdycos
?
??
?
??
?z?x?
RP
cos
?
?
?y
Q
cos
?<
br>?
?z
R
dydz
?
上式左端又可写成:
??
?x
?
P
?R?Q?P?R?Q?P
空间曲线积分与路径无关的
条件:?, ?, ?
?y?z?z?x?x?y
ijk
?
???
旋
度:rotA?
?x?y?z
PQR
??
?
向量场A沿有向闭曲线?
的环流量:
?
Pdx?Qdy?Rdz?
?
A?tds
??
常数项级数:
1?q
n
等比数列:1?q?q???q?
1?q
(
n?1)n
等差数列:1?2?3???n?
2
111
调和级数:
1?????是发散的
23n
2n?1
级数审敛法:
1、正项级数的审敛法
——根植审敛法(柯西判别法):
?
?
?1时,级数收敛
?
设:?
?lim
n
u
n
,则
?
?
?1时,
级数发散
n??
?
?
?1时,不确定
?
2、比值审敛法:<
br>?
?
?1时,级数收敛
U
n?1
?
设:
?<
br>?lim,则
?
?
?1时,级数发散
n??
U
n?
?
?1时,不确定
?
3、定义法:
s
n
?u
1
?u
2
???u
n
;lims
n
存在,
则收敛;否则发散。
n??
交错级数u
1
?u
2
?u
3
?u
4
??(或?u
1
?u
2
?u
3
??,u
n
?0)的审敛法——莱布尼兹定理:
?
?
u
n
?u
n?1
如果交错级数满足s?u
1
,其余项r
n
的绝对值r
n
?u
n?1
。
?
limu?0
,那么级数收敛且其和
n
?
?
n??
绝对收
敛与条件收敛:
9 12
高等数学公式
(1)u
1
?u
2
???u
n
??
,其中u
n
为任意实数;
(2)u
1
?u
2
?u<
br>3
???u
n
??
如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收
敛级数;
如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。
1(?1)
n
调和级数:
?
n
发散,而
?
n
收敛;<
br>1
级数:
?
n
2
收敛;
p?1时发散
1
p级数:
?
n
p
p?1时收敛
幂级数:
1
x?1时,收敛于
1?x
1?x?x
2
?x
3
?
??x
n
??
x?1时,发散
对于级数(3)a
0
?a
1
x ?a
2
x
2
???a
n
x
n
??,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全
x?R时收敛
数轴上都收敛,则必存在
R,使x?R时发散,其中R称为收敛半径。
x?R时不定
1
?
?
0时,R?
求收敛半径的方法:设lim
n??
a
n?1
?
?
,其中a
n
,a
n?1
是(3)的系数,则
?
?
0时,R???
a
n
?
???时,R?0
?
函数展开成幂级
数:
f
??
(x
0
)f
(n)
(x
0<
br>)
2
函数展开成泰勒级数:f(x)?f(x
0
)(x?x
0
)?(x?x
0
)???(x?x
0
)
n
??2!n!
f
(n?1)
(
?
)
余项:Rn
?(x?x
0
)
n?1
,f(x)可以展开成泰勒级数的充要
条件是:limR
n
?0
n??
(n?1)!
f
??
(0)
2
f
(n)
(0)
n
x
0
?0时
即为麦克劳林公式:f(x)?f(0)?f
?
(0)x?x???x??
2!n!<
br>一些函数展开成幂级数:
m(m?1)
2
m(m?1)?(m?n?1)n
x???x?? (?1?x?1)
2!n!
352n?1xxx
sinx?x?????(?1)
n?1
?? (???x???)<
br>3!5!(2n?1)!
(1?x)
m
?1?mx?
欧拉公式: ?
e
ix
?e
?ix
cosx?
?
?
2
e
ix
?cosx?isinx 或
?
ix?ix
?
sinx?
e?e
?
2
?
三角级数:
10 12
高等数学公式
?
a
0
?
?
(a
n
cos
nx?b
n
sinnx)
2
n?1n?1
其中,a
0
?aA
0
,a
n
?A
n
sin
?
n,b
n
?A
n
cos
?
n
,
?
t?x。
f(t)?A
0
?
?
A
n
sin(n<
br>?
t?
?
n
)?
?
正交性:1,sinx
,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[?
?,
?
]
上的积分=0。
傅立叶级数:
?
a
0
f(x)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinn
x),周期?2
?
2
n?1
?
?
1
f(x)cos
nxdx (n?0,1,2?)
?
a
n
?
?
?
?
?
?
其中
?
?
?
b?
1
f(
x)sinnxdx (n?1,2,3?)
?
n
?
?
?
?
?
11
?
2
1?
2
?
2
??
?
8
35
111
?
2
?????
24<
br>2
2
4
2
6
2
正弦级数:a
n
?0
,b
n
?
余弦级数:b
n
?0,a
n
?
1
11
?
2
1?
2
?
2
?
2
???
(相加)
6
234
111
?
2
1?
2
?<
br>2
?
2
???(相减)
12
234
2
?
?
2
?
f(x)sinnxdx n?1,2,3?
0 f(x)?
?
b
n
sinnx是奇函数
f(x)?
a
0
?
?
a
n
cosnx是偶函数
2
?<
br>?
?
f(x)cosnxdx n?0,1,2?
0
周期为
2l
的周期函数的傅立叶级数:
?
a
0
n
?
xn
?
x
f(x)??
?
(a
n
cos?b
n
sin),周期?2l
2ll
n?1
l
?
1n
?<
br>x
dx (n?0,1,2?)
?
a
n
?
?f(x)cos
ll
?
?l
其中
?
l
?
b?
1
f(x)sin
n
?
x
dx (n?1,2,
3?)
?
n
l
?
l
?l
?
微分方程的相关概念:
一阶微分方程:y
?
?f(x,y) 或 P(x,
y)dx?Q(x,y)dy?0
可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x
)dx的形式,解法:
?
g(y)dy?
?
f(x)dx 得:G(y)?
F(x)?C称为隐式通解。
齐次方程:一阶微分方程可以写成
dyy
?f(x,y)
?
?
(x,y),即写成的函数,解法:
dxx
ydydududxduy<
br>设u?,则?u?x,u??
?
(u),??分离变量,积分后将代替u,
xd
xdxdxx
?
(u)?ux
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
dy
1、一阶线性微分方程:?P(x)y?Q(x)
dx
?P(x)dx
当Q(x)?0时,为齐次方程,y?Ce
?
P(x)dx?P(x)dx
dx?C)e
?
当Q(x)?0时,为非齐次方程,y?
(
?
Q(x)e
?
dy
2、贝努力方程:?P(x)y?Q(x)y
n
,(n?0,1)
dx
11 12
高等数学公式
全微分方程:
如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程,即:
?u?u
du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,其中:?P(x,y),?Q(
x,y)
?x?y
?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:
f(x)?0时为齐次
d
2
ydy
?P(x)?Q(x)
y?f(x),
2
dx
dx
f(x)?0时为非齐次
二阶常系数齐次
线性微分方程及其解法:
(*)y
??
?py
?
?qy?0,其中
p,q为常数;
求解步骤:
1、写出特征方程:(?)r
2
?pr?q?0,
其中r
2
,r的系数及常数项恰好是(*)式中y
??
,y
?
,y的系数;
2、求出(?)式的两个根r
1
,r
2
3、根据r<
br>1
,r
2
的不同情况,按下表写出(*)式的通解:
r
1
,r
2
的形式
两个不相等实根
(p?4q?0)
两个相等实根
(p?4q?0)
一对共轭复根
(p?4q?0)
2
2
2
(*)式的通解
y?c
1
e
r<
br>1
x
?c
2
e
r
2
x
y?(c
1
?c
2
x)e
r
1
x
y?e
?
x
(c
1
cos
?
x?c
2
sin
?
x)
r
1
?
?
?
i
?
,r
2
?
?
?i
?
4q?p
2
p
?
??,
?
?
22
二阶常系数非齐
次线性微分方程
y
??
?py
?
?qy?f(x),p,q为常数
f(x)?e
?
x
P
m
(x)型,
?
为常
数;
f(x)?e
?
x
[P
l
(x)cos
?x?P
n
(x)sin
?
x]型
12 12