高三数学：转化与化归思想辅导教案

转化与化归思想辅导教案

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教学课题


性别
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转化与化归思想
年级 高三 学科 数学
课时：3课时

第（ ）次课
共（ ）次课
教学目标 进一步加强转化思想的应用，将转化的思想进行深层次的理解
教学重点
与难点

一、知识点讲解
转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通 过变换使之转
化，进而使问题得到解决的一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 ，
将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问
题 .转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数
与不等式、函数 与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互
化等，消去法、换元法、数形 结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、
不等式之间进行等价转化，在复习过程中应 注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合
性.
转化与化归思想的原则
(1) 熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，
以便于我们运用熟 知的知识、经验和问题来解决.
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解 决，达到解决复杂问题
的目的，或获得某种解题的启示和依据.
(3)和谐统一原则：转化问 题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐
统一的形式；或者转化命题，使其推演有 利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应 想到问题的反面，设法从问题的反面去
探讨，使问题获得解决.
二、考题型精析
1

题型一 正难则反的转化
例1 已知集合A＝{x∈R|x
2
－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x< 0}，若A∩B≠?，求实数m
的取值范围.



















点评 本题中，A∩B≠?，所以A是方程x
2< br>－4mx＋2m＋6＝0①的实数解组成的非空集合，
并且方程①的根有三种情况：(1)两负根 ；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根.分别求解
比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采 取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求
出全集U，然后求①的两根均为非负时m的取值范围，最 后利用“补集思想”求解，这就
是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”.
?
m
?
变式训练1 若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x
3
＋
?
2
＋2
?
x
2
－2x在区间(t, 3)上总不为单调函
??
数，则实数m的取值范围是__________.


2

题型二 函数、方程、不等式之间的转化
1
?
a4
??
42
?
例2 已知函数f(x)＝< br>3
x
3
＋
?
2
－
3
?
x< br>2
＋
?
3
－
3
a
?
x(01
，x
2
，
????
x
3
∈[1,2]，都有f(x
1
)＋f(x
2
)>f(x
3
)恒成立，求实数a的取值范围.












点评 解决方程、不等式 的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，
因此借助于函数、方程、不等式进行转 化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转
化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.
变式训练2设函数f(x)＝e
2x
－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
2
(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln
a
.









3

题型三 主与次的转化
例3 已知函数f(x)＝x
3
＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－
1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________.
点评 主与次的转化法
合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元 ，起到了化繁为简的
作用.在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看 成常数.
显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a的一次函数小于0恒成 立
的问题.
变式训练3 设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1－ax－x2
)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]
恒成立，则x的取值范围为________ ______.
题型四 以换元为手段的转化与化归
53
π
例4 是否存在实数a，使得函数y＝sinx＋acos x＋
8
a－
2
在闭区间 [0，
2
]上的最大值是1？
2
若存在，则求出对应的a的值；若不存在，则 说明理由.












点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况.
本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos x＝t，转化为关于t的二次函数
a
2
a
2
51
问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y＝－ (t－
2
)＋
4
＋
8
a－
2
，0≤t≤1 的最值问
题，然后分类讨论解决问题.
变式训练4 若关于x的方程9
x
＋ (4＋a)·3
x
＋4＝0有解，则实数a的取值范围是
____________.

4

三、高考题型精练
1.已知a＝log
2
3＋log
2
3 ，b＝log
2
9－log
2
3，c＝log
3
2，则a， b，c的大小关系是( )
A.a＝bC.aB.a＝b>c
D.a>b>c
2.下列关于函数f(x)＝(2x－x
2
)e
x
的判断正确的是( )
①f(x)>0的解集是{x|0没有最大值.
A.①②③
C.①③
3.若01
2
<1，则( )

2
－ex
1
>ln x
2
－ln x
1


1
－ex
2
2
－ln x
1

C.x
2
ex
1
>x
1
ex
2

D.x
2
ex
1
1
ex
2

4.设a，b∈R，a
2
＋2b
2
＝6，则a＋2b的最小值为( )
A.－22
C.－23
53
B.－
3

7
D.－
2

B.②
D.③
x
2y
2
→
·
→
5.过双曲线
a
2
－b
2
＝1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R、Q两点，则PRPQ的值为( )
A.a
2

C.2ab
B.b
2

D.a
2
＋b
2

π
??
6.设P为曲线C：y＝x
2
＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线 倾斜角的取值范围为
?
0，
4
?
，
??
则点P横坐 标的取值范围为( )
1
??
A.
?
－1，－
2
?

??
C.[0,1]
B.[－1,0]
?
1
?
D.
?
2
，1
?

??
x
2
y
2
7.P为双曲线
9
－
16
＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)
2
＋y
2
＝4和圆( x－5)
2
＋y
2
＝1上
的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A.6 B.7
5

C.8 D.9
8.设a∈R，若函数y＝e
x
＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
A.a<－1
1
C.a>－
e

B.a>－1
1
D.a<－
e

a
1
＋a
3
＋ a
9
9.已知等差数列{a
n
}的公差d≠0，且a
1
、a
3
、a
9
成等比数列，则的值是________.
a
2
＋a
4
＋a
10
8
10.已知一个 几何体的三视图如图所示，如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中
点，Q为顶点，则在几何 体侧面上，从P点到Q点的最短路径的长为________.

14
11.f(x )＝
3
x
3
－x，x
1
，x
2
∈[－1, 1]时，求证：|f(x
1
)－f(x
2
)|≤
3
.











6

1
12.已知函数f(x)＝eln x，g(x)＝
e
f(x)－(x＋1).(e＝2.718……)
(1)求函数g(x)的极大值；
111
(2)求证：1＋
2
＋< br>3
＋…＋
n
>ln(n＋1)(n∈N
*
).





























7

8