全国数学联赛金牌教练高中奥数辅导第四讲常见的初等函数二次函数

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全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
兰州一中数学组

第四讲 常见的初等函数、二次函数

知识、方法、技能

常函数y=c，幂函数y=x (α∈Q),指数函 数y=a
x
,对数函数y=log
a
x,三角函数（y=sinx,
y=cosx , y=tanx等），反三角函数（y=arcsinx, y=arccosx , y=arctanx等）是数学中最为基本的
函数，我们把它们统称为基本初等函数.
学习中 应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性
质，并能利用这些性质快 捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时，若绘出各基
本初等函数的草图，往往能“一目了 然”地获得问题的结果.
绘制幂函数y=x
α
(α=
α
m
,
m、n是互质的整数)草图的一般步骤是：
n
(1)根据指数α的大小判断函数图象在第一象限的情形如图 I-1-4-1.








(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况
①m,n均为奇数时，y=x
α
为奇函数，图象在一、三象限内关于原点中心对称.
②m为偶数，n为奇数时Y=x
α
为偶函数，图象在一、二象限内关于y轴对称.
③m为奇数，n 为偶数时，y=x
α
既不是奇函数也不是偶函数，函数只在第一象限有
图像.
常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的，我们
称之为初等函数.其 中二次函数和形如y=x+
1

k
的分式函数在高考和竞赛中具有尤为
x

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重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式、值域的有关方 法，并会用这些方
法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况；会利用函数y=x+
出一 些分式函数的值域.

k
的性质求
x
赛题精讲
例1 3个幂函数y=
x,y?x
和y=
x
的图象如图I—1—4—2：试写出各个 函数的图
象的对应编号.







【思路分析】3个函数的定义域、值域、单调性都相同，具有类似的草图，仅从草图已
无法区分 这三者了.只能更为“精细”地考察和函数值的大小，不妨取x=2试一试.
t
【略解】当x=2时，3个函数值分别为
2,2,2
.因为 y=
2
为增函数，
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
135
??,所以2
2
?24
?2
6
.而图中
,x=2时，图象①的对应点纵坐标最大，图象③的对 应
246
点纵坐标最小，所以y=
13
5
x,y?x和y?x
对应的图象依次为③，②，①.
1
2
3
4
5
6
【评述】一般地，当α越大大时，幂函数图像在x>1对应的部分越“高”.此外，本题方
法也可应用于 辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象.
例2 比较下列各题中两个值的大小：
（ 1）
(?2)
2
3
?
3
5
与?(3)
；
4
5
?
3
5
（2）
(?3.14)与(?
?
);

（4）log
2
3与.
3
2
3
2
3
（3）
(?
?
)与(?
?
)

?
3
【思路分析】（1）中两数有相同的指数－，故可将这两者看做同一函数
y?x
5
的两
5
个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小.
2

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【略解】（1）因为y?x
?
3
5
是（－∞，0）上的减函数，又
?2??3,所以
(?2)
?
3
5
?(?3)
2
3
?
3
5
.
2
3
2
3
（2）因为
y?x是(??,0)上的减函数又?3.14??
?
,所以(?3.14)?(?
?
);

24
x
（3）因为y=
?
是(??,?? )上的增函数,又(?
?
)?
?
,?,所以(?
?
)
3
?
?
5

35
（4）因为y=log
2
x是（0，+∞）上的增函数，又3<，所以log
2
3<.
例3 求下列函数的定义域：
（1）
y?log
a
log
a
lo g
a
x(a?0,a?1);

（2）
y?
3
2< br>3
2
3
24
13x?2
9?()
x
?log
0.1
.

32x?1
【略解】（1）据题意有log
a< br>log
a
x>0.
①a>1时，上式等价于log
a
x>1,即x>a.
②0a
x<1,即1>x>a .
所以，当a>1时，函数定义域为（a,+∞）；而当02
?
1
x
1
?
3
?
()?(),1
?
1
x
1
x
3
?
3
?3
3
9?()?0,
()?9
?
?
?
3x?2
??
3
即
?
3
即
?
?0,
（2 ）据题意有
?
3x?2
2x?1
3x?2
?
log?0.< br>?
0??1.
?
0.1
?
?
?
3x?22x?1
?
2x?1
?
?
2x?1
?1?0.
?
2
?
x??
?
3
?
21
?
解得
?
x?或x??,
32
?
?
1
?
?
2
?x?3.
?
2
即?x?3.
3
2
所以函数定 义域为(,3].

3
【评述】解指数、对数不等式时，要注意比较底数a与1的大小 ，从而确定去掉指数、
对数符号后不等号是否改向.
例4 解方程：
3

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xx
（1）
(3?22)?(3?22)?34;

6
（2）
x
x
?144.(x?0)

【略解】（1）因为
(3?22)(3?22)?1,
所以原方程等价于
( 3?22)
x
?
1
(3?22)
x
?34.
1
令(3?22)
x
?t,则t??34.
t
(2)x
x
?144
6
t?17?122.
即x
6x
?144
6
6
x??2.
(x
6
)
x
?12
12
6

(x
x
)
6
?144
6
6< br>令y=x
6
,显然y>1,则f(x)=y
y
是y的增函数.
所以y
y
=12
12
只有惟一解y=12. 即原方程有解
x?
6
12.

例5 比较下列各组数的大小 ：
（1）sin48°, cos313°；
（2）cos96°, sin96°, tan69°.
【思路分析】 比较两数大小的一种方法是将两数看成同一函数的两个函数值，然后利
用函数单调性来比较；另一种方法是寻找某个中介量（如0，1）等.
【略解】（1）cos 313°=cos(360°－47°)=cos47°=sin43°所以cos313°（2）因为钝角的余弦小于0，正弦大于0，所以cos96°<0, 0又tan69°>tan45°=1所以cos96°例6 已知x∈[0，π]，比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小.
【略解】
cos(sinx)?sin(
?
2
?sinx)

当x?[0,
?
]时,
?
2
?1?
?
2< br>?sinx?
?
2
,?1?cosx?1.
又因为sinx?cosx ?2?
所以cosx?
?
2
,且y?sint是[?
??
, ]上的增函数,
22

?
2
?sinx.
所以sin(co sx)?sin(?sinx)
2
即sin(cosx)?cos(sinx).
4
?

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例7 已知
0?b?1,0?
?
?
?
4
，比较下列三数的大小：
x?(sin
?
)
log
b
sin
?
,y ?(cos
?
)log
b
cos
?
,z?(sin
?
)
log
b
cos
?
.
?0?sin
?
?
2
?cos
?
?1.又0?b?1,
2
?(si n
?
)
log
b
sin
?
?(sin
?< br>)
log
b
cos
?

[解]
?
0 ?
?
?
?
4
?log
b
sin
?
?log
b
cos
?
?0
即x?z.
?log
b< br>cos
?
?0,
又sin
?
?cos
?
..
即z?y.
?f(t)?t
log
b
cos
?
是( 0,??)上的增函数.
?(sin
?
)
log
b
cos< br>?
?(cos
?
)
log
b
cos
?
?x?z?y.
例8 求下列函数的最小正周期：
（1）y=tanx－cotx;
（2）y=sin(cosx);
（3）y=cos(sinx).

s in
2
x?cos
2
x?cos2x
???2ctg2x.
【略解】（1）因为
tanx?cotx?
1
sinxcosx
sin2x< br>2
所以函数y=tanx－cotx的最小正周期T=
?
.
2
（2）因为sin(cos(x+2π))=sin(cosx)，所以2π是函数y=sin(cosx)的 周期.设最小正周期为
T，若0特别地，令x=0, sin(cosT)=sinl.
而另一方面，0sin(cosT)=sin l矛盾，所以假设不成立.
综上，函数y=sin(cosx) 的最小正周期为2π.
（ 3）因为cos(sin(π+x))=cos(－sinx)=cos(sinx),所以π是函数y=cos (sinx)的周期，仿（2）
可证函数y=cos(sinx)的最小正周期为π.
【评述 】（1）求函数最小正周期时，应尽量将函数化简.（2）对于由两个函数f(x)和g(x)
复合而成 的函数f(g(x)),如果g(x)是周期函数，且其最小正周期为T
1
，那么，f(g(x ))也是周期
函数，且T
1
仍是f(g(x))的一个周期，但未必是它的最小正周期 .
例9 判断下列函数的周期性，若是周期函数，试求出其最小正周期.
（1）y=2sin
5
x+3cos6x；
2
（2）y=sinπx+cos2x .
5

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【略解】（1）y=2sin
小公倍数4π是y=2 sin
54
?
4
?
x和y=3cos6x的最小正周期分别是
?
和,因此
?
，的最
2535
3
5
x+3co s6x的周期.可以证明4π也是它的最小正周期.
2
2
（2）y=sinπx和c ox2x的周期分别为2和π，因为不是有理数，所以2和π没有最
?
小公倍数（此处倍数应为 整数倍），可以证明y=sinπx+cos2x 不是周期函数.
【证明】假设T是函数y=sinπx+cos2x的周期.则
sinπ(x+T)+cos2(x+T)=sinπx+cos2x.
sinπ(x+T)－sinπx=cos2x－cos2(x+T),
?
?
Tcos(πx+T)=2sinTsin(2x+T), (*)
22
??
令x=0, 得2cosTsinT=2sin
2
T.
22
?
?
即sinTcosT=sin
2
T ①
22
??
而令x=－2, 化简得 sinTcosT=sinTsin(T+4).②
22
?
?
令x=－2, 得sinTcosT=sinTsin(T－4) ③
22
2sin
由②－③得 sinTsin(T+4)－sinTsin(T－4)=0,
即2sinTcosTsin4=0, sin2T=0,
T=
k
?
,k?Z
④
2< br>但显然④不适合①，矛盾，所以假设不成立.函数y=sinπx+cos2x不是周期函数.
【评述】一般地，周期函数f(x)和g(x)的最小正周期分别为T
1
和T
2
，若T
1
T
2
?
θ，则
函数f(x)+g(x)不是周期 函数，若T
1
T
2
∈θ，则f(x)+g(x)是周期函数.

针对性训练题
1．已知
f(x)?asinx?b
3
x?4,(a ,b?
R）且f(lglog
3
10)=5，则f(lglg3)的值是 .
2．设a、b满足2a
2
+6b
2
=3，证明函数f(x)=a x+b在[－1，1]上的满足|f(x)|≤
2
.
3．已知方程x
2+2mx+2m
2
－3=0,有一根比2大，另一根比2小，求m的取值范围.
4．关于x的实系数二次方程x
2
+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：
（1）如果|α|<2, |β|<2，那么2|a|<4+b,且|b|<4.
（2）如果2|α|<4+b, 且|b|<4，那么|α|<2, |β|<2.
6

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5．若a<0，求证：方程
111
???0

2
xx?a
x?a
（1）有两个异号实根；
（2）正根必小于－
22
a，负根必大于－a
2
.
33
1
x的解的个数是 .
2
6．已知f(x)=|1－2x|, x∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=
7．已知集合A={(x, y)||x|+|y|=a,a>0}, B={(x, y)||xy|+1=|x|+|y|}, A∩B是平面上正八边形的
顶点构成的集合，则a的值为 .
8 ．函数
f(x)?x
4
?3x
2
?6x?13?x
4
?x
2
?1
的最大值为 .
9．函数
f(x)? ax?1?1?x
2
是[0,??)
上的单调函数，求a的取值范围.
10 ．关于x的方程(a
2
－1)x
2
－2(5a+1)x+24=0有两个不等 的负整数根，求a.

7