(同步辅导)高中数学《简单线性规划的应用》导学案 北师大版必修5

第10课时

简单线性规划的应用



1
.
了解线性规划的实际意义,能把实际问题转化成线性规划问题
.

2
.
掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题
.



上一课时我们共同学习了简单线性规划的基本概念,了解了图解 法的步骤等,线性规划
是一种重要的数学工具,是函数、不等式、解析几何等知识的综合交汇点,地位重 要,这一讲
我们将共同探究线性规划的综合应用
.


问题1:用

的方法解决实际问题中的最值问题是线性规划的实际应
用
.

问题2:线性规划常见的具体问题
(1)物资调配问题;(2)产品安排问题;(3)下料问 题;(4)利润问题;(5)饲料、营养等问题
.

问题3:解线性规划应用题的步骤:
(1)列表转化为线性规划问题;(2)设出相关变量, 列出线性约束条件对应的不等式(组),
写出

;(3)正确画出可行域 ,求出目标函数的最值及相应的变量值;(4)写出实
际答案
.

问题4:线性规划的整数解问题:
线性规划实际应用中常常碰到的实际问题是一些整数解问题 ,这要求在解题时取值应该
找到符合条件的整数点,即

,不是整点应该找出

旁边的整点
.

1
.
某班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大小彩球装点联欢晚会的会 场,
根据需要,大球数不少于10个,小球数不少于20个,请你给出几种不同的购买方案?



2
.
某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3000 元、2000 元
.
甲、乙产品都
需要在
A
、
B
两种设备上加工,在每台
A
、
B
设备上加工 1 件甲产品所需工时分别为1 h、
2 h,加工 1 件乙产品所需工时分别为 2 h、1 h,
A
、
B
两种设备每月有效使用工时数分别为
400 h 和 500 h
.
如何安排生产可使收入最大?

3
.
某企业生产A
、
B
两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表:

产品品种
A
产品
B
产品
劳动力
(个)
3
10
煤(吨) 电(千瓦)
9
4
4
5

已知生产
A
产品每吨的利润是7万 元,生产
B
产品每吨的利润是12万元,现因条件限制,该企
业仅有劳动力300个, 煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业生产
A
、
B
两种产
品各多少吨,才能获得最大利润?




4
.
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐
.
已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合
物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个
单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的
碳水化合 物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用
分别是2
.
5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多
少个单位 的午餐和晚餐?








下料问题
某车间有一批长250 cm的坯料,现因产品需要,要将它截成长为130 cm和110 cm两种
不同木料,生产任务规定:长130 cm木料100根,长110 cm木料150根,问如何开料,使总的
耗坯数最少?





物资调配问题
某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t支援物资的任务
.
该公司有8辆载
重6 t的
A
型卡车与4辆载重为10 t的
B
型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车 每天往返的次数
为
A
型卡车4次,
B
型卡车3次;每辆卡车每天往返 的成本费为
A
型卡车320元,
B
型卡车504

元< br>.
请为公司安排一下,应如何调配车辆,才能使公司所花的成本费最低?


产品安排问题
预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子,并希望桌椅的总数 尽可能多,但
椅子数不能少于桌子数,且不多于桌子数的1
.
5倍
.
问:桌、椅各买多少才合适?









要将两种大小不同的钢板截成
A
、
B
、
C
三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢
板的块数如下表所示:

规格类
型
A
规格
B
规格
C
规格
钢板类型

第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3


今需要
A
、
B
、
C
三种规 格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可
得所需三种规格成品,且使所用钢板张 数最少?








有 粮食和石油两种物资,可用轮船与飞机两种方式运输,每天每艘轮船和每架飞机的运
输效果见表
.

方式效果种类 轮船运输量t 飞机运输量t
粮食 300 150
石油 250 100


现在要在一天内运输至少2000 t粮食和1500 t石油,需至少安排多少艘轮船和多
少架飞机?

投资生产
A
产品时,每生产100吨需要资金2 00万元,需场地200平方米,可获利润300
万元;投资生产
B
产品时,每生产1 00吨需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200
万元
.
现某单位可 使用资金1400万元,场地900平方米,问:应作怎样的组合投资,可使获利最
大?










1
.
在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇
.
现有4 辆甲型货车和8
辆乙型货车可供使用
.
每辆甲型货车运输费用为400元,可装洗衣机 20台;每辆乙型货车运输
费用为300元,可装洗衣机10台
.
若每辆车至多运一次 ,则该厂所花的最少运输费用为
(

)
.

A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元
2
.< br>某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗
A
原料1千克、
B< br>原料2千克;
生产乙产品1桶需耗
A
原料2千克、
B
原料1千 克
.
每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品
的利润是400元
.
公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗
A
,
B
原料都不超过12千克 ,
通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是
(
)
.

A.1800元 B.2400元 C.2800元 D.3100元
3
.
某实验室需购某处化工原料106千克,现在市场上该原料有两 种包装,一种是每袋35千克,
价格为140元;另一种是每袋24千克,价格是120元
.< br>在满足需要的条件下,最少需花费

元
.

4
.
要将甲、乙两种长短不同的钢管截成
A
、
B
、
C
三种规格,两种钢管可同时截得三种规格的
钢管的根数如下表所示:

规格类
型
A
规格
B
规格
C
规格
钢管类型

甲种钢管 2 1 4
乙种钢管 2 3 1


今需
A
、
B
、
C
三种规格的钢管各1 3、16、18根,问各截这两种钢管多少根可得所需
三种规格钢管,且使所用钢管根数最少?

1
.
(2013年·山东卷)在平面直角坐标系
xOy
中,
M
为不等式组
一动点,则直线
OM
斜率的最小值为(

)
.

A
.
2 B
.
1 C
.-
D
.-

考题变式(我来改编):


2
.
(2013年·广西卷)记不等式组
公共点,则
a
的取 值范围是
.

考题变式(我来改编):


所 表示的平面区域为
D.
若直线
y=a
(
x+
1)与
D
有
所表示的区域上




第10课时

前
n
项和
S
n
的求法
知识体系梳理

问题1:(1)
q=
1或
q
≠1

(2)
① ②n
2
③n
(
n+
1)
问题3:(1)
-
(2)(
-
)
(3)(
-
)

(4)(
-
)
问题4:(
-
基础学习交流
)

(
-
)
1
.
C

对
n
赋值验证,只有C正确
.

2
.
C
∵a
n
=
3
.
2
-n-
2
n+
1
=-
,
∴S
n
=
1
-==
,解得
n=
2013
.

由题意得

a
n
=
1
+
2
+2
2
+
?
+
2
n-
1
=
2< br>-n-
2
.

n+
1
=
2
n
-
1,
∴S
n
=
(2
1
-
1)
+
(2
2
-
1)
+
(2
3
-
1)
+
?
+
(2
n
-
1)
=
(21
+
2
2
+
?
+
2
n
)-n=-n=
4
.
解:(1)当
n
为奇数时,
Sn
=
(
a
1
+a
3
+a
5
+
?
+a
n
)
+
(
a
2
+a
4
+a
6
+
?
+a
n-
1
)
=+=
·2
n+
2
+-.

(2)当
n< br>为偶数时,
S
n
=
(
a
1
+a
3< br>+a
5
+
?
+a
n-
1
)
+
(
a
2
+a
4
+a
6
+
?
+a
n
)
=+=
·2
n+
1
++-.

重点难点探究
探究一:【解析】
S
n
=++++
?
++

=
(
++
?
+
)
+
(
++
?< br>+
)
=+=
(1
-
)
.

【小结 】若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,
则求和时可用分组转化法 ,分别求和而后相加减
.

探究二:【解析】(1)设
bn
=
,
b
1
==
2
.

∴b
n
-b
n-
1
=-=
(
a
n
-< br>2
a
n-
1
+
1)
=
(2
n-
1
+
1)
=
1
.

∴
数列{}是首项为2,公差为1的等差数列
.

(2)由(1)知 ,
=
2
+
(
n-
1)
×
1,
∴ a
n
-
1
=
(
n+
1)·2
n
,
∴S
n
=
2·2
1
+
3·2
2
+
?
+n
·2
n-
1
+
(
n+
1) ·2
n
,
①

∴
2
S
n
=2·2
2
+
3·2
3
+
?
+n
·2< br>n
+
(
n+
1)·2
n+
1
,
②

①-②
,得
-S
n
=
4
+
( 2
2
+
2
3
+
?
+
2
n
)
-
(
n+
1)·2
n+
1
,
∴Sn
=-
4
-
4(2
n-
1
-
1)+
(
n+
1)·2
n+
1
,
∴S
n
=n
·2
n+
1
.

【小 结】根据题中条件,利用等差数列的定义来判断数列的属性并求出通项公式,这一方
法必须掌握,错位相 减法求和方法是数列求和的常用方法
.

探究三:【解析】(1)令
n=1,得
a
1
=
2
a
1
-
1,由此得< br>a
1
=
1
.

因为
S
n
=
2
a
n
-n
,所以
S
n+
1
=< br>2
a
n+
1
-
(
n+
1),两式相减得S
n+
1
-S
n
=
2
a
n+
1
-
(
n+
1)
-
2
a
n
+n< br>,即
a
n+
1
=
2
a
n
+
1,
所以
a
n+
1
+
1
=
2
a
n
+
1
+
1
=
2(
a
n
+
1),即
=
2,
故数列{
a
n
+
1} 是首项为
a
1
+
1
=
2,公比为2的等比数列,
所以
a
n
+
1
=
2·2
=
2,
故数列{
a
n
}的通项公式是
a
n
=
2< br>-
1
.

(2) 由(1)得,
b
n
=n
n-
1
n
===-
,
所以
T
n< br>=b
1
+b
2
+
?
+b
n
=
(
-
)
+
(
-
)
+
?
+
(
-
)
=
1
-.

【小结】要掌握裂项相消法的本质:裂项是为了消去相同项
.

思维拓展应用
应用一:(1)
∵a
n
=
1
+
2
+
3
+
?
+n=n
(
n+
1)
=n+n
,
2

∴S
n
=
(1
2
+
2< br>2
+
?
+n
2
)
+
(1
+
2
+
?
+n
)
=×n
(
n+
1)(2< br>n+
1)
+n
(
n+
1)
=n
(
n+
1)(
n+
2)
.

(2)先对通项求和
a
n
=
1
+++
?
+=
2
-
,
∴S
n
=
(2
+
2
+
?
+
2)
-
(1
+++
?
+< br>)
=
2
n-
(1
+++
?
+
)
=
2
n-
2
+.

应用二:(1)
∵b
n+
1
-b
n
=-

=-=
1,
又
b
1
=
0,
∴
{
b
n
}是首项为0,公差为1的等差数列,
∴b
n
=n-
1,
∴a
n
=
(
n-
1)·3
n
+
2
n
.

(2)设
T
n
=
0· 3
+
1·3
+
?
+
(
n-
1)·3,则
3
T
n
=
0·3
+
1·3
+
?< br>+
(
n-
1)·3
.

23
12
n
n+
1
∴-
2
T
n
=
3
2
+
?
+
3
n
-
(
n-
1)·3
n+
1

=-
(
n-
1)·3
n+
1
,
∴T
n
=+=
,
∴S
n
=T
n
+
(2
+
2
2
+
?
+
2
n
)
=.

应用三:(1)
=
(
-
),
∴S
n
=
(1
-+-+-+
??
+-+-
)
=
(1
+--
)
=.

(2)
=
(
-
)
∴S
n
=
[(
-
)
+
(
-
)
+
(
-
)
+
?
+
(
基础智能检测
1
.
A

-
)]
=
(
-
)
=.

∵an
=
(
-
1)
n
(3
n-
2),∴a
1
+a
2
+
?
+a
10
=-1
+
4
-
7
+
10
-
?
-< br>25
+
28
=
(
-
1
+
4)
+
(
-
7
+
10)
+
?
+
(< br>-
25
+
28)
=
3
×
5
=
15
.

2
.
C
a
2
=
2< br>a
1
=
2,
a
3
=a
2
+
1
=
3,
a
4
=
2
a
3
=
6,
a
5
=a
4
+
1
=
7,
a
6
=
2
a
5
=
14,所以
S
6< br>=
1
+
2
+
3
+
6
+
7< br>+
14
=
33
.

3
.
2
-
2

n+
1
∵a
n+
1
-a
n
=
2
n
,
∴a
n
=
(
a
n
-a
n-
1
)
+
(
a
n-
1
-a
n-
2
)
+
?
+
(
a
2
-a
1
)
+a
1
=
2
n-
1
+
2
n-
2
+
?< br>+
2
2
+
2
+
2
=+
2
=
2
n
-
2
+
2
=
2
n
,
∴
S
n
==
2
n+
1
-
2
.

4
.
解:
∵a
n
===
2(
-
),
∴S
n
=
2[(1
-
)
+(
-
)
+
?
+
(
-
全新视角拓展
)]
=
2(1
-
)
=.

1
.< br>1
-
2
+
3
-
4
+
?
+< br>(
-
1)
n=
(
-
1)
2222
n +
12
n+
1

设等式右边的数的绝对值构成数列{
an
},
∵a
2
-a
1
=
2,
a
3
-a
2
=
3,
a
4
-a
3
=
4,?,
a
n
-a
n-
1
=n
,以上所有 等
式相加可得
a
n
-a
1
=
2
+
3
+
4
+
?
+n
,即
a
n
=1
+
2
+
3
+
?
+n=
,再观察各式 的符号可知第
n
个等式
为:1
-
2
+
3
-
4
+
?
+
(
-
1)
n=
(
-
1)
2222
n+
12
n+
1
.
< /p>

2
.
解:(1)由
-
(2
n-
1)< br>a
n
-
2
n=
0,得(
a
n
-2
n
)(
a
n
+
1)
=
0
.

由于{
a
n
}是正项数列,所以
a
n
=
2
n.

(2)由
a
n
=
2
n< br>,
b
n
=
,
则
b
n
==
(
-
),
T
n
=
(1
-+-+
?
+-+-

)
=
(1
-
)
=.