高中数学必修三概率知识框架-高中数学去不等式的绝对值
高三数学辅助角公式在高考三角题中的应用
柳毓
对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：
y=asinx=bcosx
?a
2
?b
2
(sinx·
a
a
a?b<
br>与
22
?cosx·
b
a?b
22
b
a?b
22
)
。
a
a?b
22
由于上式中的
a
?b
22
的平方和为1，故可记=cosθ，
b
a?b
22
=sinθ，则
y?a
2
?b
2
(sinxcos??cosxs
in?)
?a
2
?b
2
sin(x??)。
由此我们得到结
论：
asinx+bcosx=
a
2
?b
2
s
in(x?
?
)
，（*）其中θ由
a
a?b
22
?
cos
?
,
b
a?b
22
?sin
?
来<
br>确定。
通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为
y
=Asin(
?x??
)+k的形式。
下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。
一. 求周期
例1 （2020年上海卷选）求函数
y?2cos(x?
期。
解：
?
)cos(x?)?3sin2x
的最小正周
44
?
??
y?2cos(x?)sin(x?)?3sin2x
44
?
?sin(
2x?)?3sin2x
2
?3sin2x?cos2x
?
?2sin(2x
?)
6
所以函数y的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin(
?x??
)+k的形式，是求周期的主要途径。
二. 求最值
例2.
（2020年北京市）已知函数f(x)=cos
4
x-2sinxcosx-
sin
4
x。若
x?[0,
最大值和最小值。
?
2
]
，求f(x)的
解：f(x)=(cos
2
x+sin<
br>2
x)(cos
2
x-sin
2
x)-sin2x=cos2
x-sin2x=
?2sin(2x?
由
0≤x≤
?
4
)<
br>。
?
2
??
?
4
≤2x?
?
4<
br>≤
3
?
。
4
当
2x?
时
sin(
2x?
?
4
??
?
4
，即x=0时，
sin(2x
?
?
4
)
最小值
?
2
??
3
；当
2x??，即x?
?
2
428
?
4
)
取最
大值1。
从而f(x)在
[0,
三. 求单调区间
?
2
]
上的最大值是1，最小值是
?2
。
例3. （2020年江西省）已知向量
→?(2cos
a
xx
?
x
?
,tan(?))，→?(2sin(?)
，
22424
b
x
?
tan(?))
，令
f(x)?→?→
，求函数f(x)在[
0，π]上的单调区间。
a
b
24
解：
f(x)?→·→
a
b
xx?x?x?
sin(?)?tan(?)tan(?)
22
42424
xx
1?tantan?1
x2x2x
2
·
2<
br>?22cos(sin?cos)?
xx
22222
1?tan1?tan22
xxx
?2sincos?2cos
2
?1
22
2
?sinx?cosx
?22cos
?
?2sin(x?)。
4<
br>先由
0≤x≤
?
?
反之再由
?
4
≤x?≤
?
4
≤
5
?
。
4
?
4<
br>≤x?
?
4
?
2
?0≤x≤
?
4
；
?
2
≤x?
?
4
≤
5
??
?≤x
≤
?
。
44
所以f(x)在
[0，
?
]
上单调递增，在
[，
?
]
上单调递减。
4
4
?<
br>评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归
结为三角式的
变形问题。而化为y=Asin(ωx+
?
)+k的形式，是求单调区间的通法。
四. 求值域
例4. 求函数
f(x)?cos(
6k?16k?
1
?
?
?2x)?cos(
?
?2x)?23sin(?2x)
333
(x?R,k?Z)
的值域。
解：
f
(x)?cos(2k??
?
?2x)?cos(2k??
?
?2x)?23
sin(
?
?2x)
333
?2cos(
?
3<
br>?2x)?23sin(
?
3
?2x)
?4[sin(
?3
?2x)cos
?
6
?cos(
??
3
?2
x)sin
6
]
?4sin(2x?
?
2
)。
所以
函数f(x)的值域是[-4，4]。
五. 画图象
例5. （2020年
新课程）已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数y=f(x)在区间
[?<
br>?
2
，
上的图象。
解：
y?f(x)?2sin
2
x?2sinxcosx
?1?cos2x?sin2x
?1?2sin(2x?
?
4
)。
由
条件
?
?
5
?
2
≤x≤
?
2
??
4
≤2x?
?
3
?
4
≤
4
。
列表如下
2x?
?
?
?
3
?
4
?
5
?
4
?
?
0
?
2
2
4
x
?
?
?
?
2
?
3
?
8
?
?
?
8
3
8
8
2
y
2 1
1?2
1
1?2
2
描点连线，图象略。
六. 图象对称问题
例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的
图象关于直线x=
?
?
8
对称，那么a=( )
（A）
2
（B）
?2
（C）1 （D）-1
解：可化为
y?1?a
2
sin(2x?
?
)。
知
x??
?
8
时，y取得最值
±1?a
2
，即
?
2
]
sin2(?)?acos2(?)?±1?a
2
88
2
?(?1?a)?±1?a
2
2
1
?(?1?a)
2
?1?a
2
2
?a
2
?2a?
1?0
?a??1选（D）。
七. 图象变换
例7（2000年全国）已知函数
y?
??
13
该函数的图象可由
cos
2
?sinxcosx?1,x?R。
22
y?sinx(x
?R)
的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：
y?
13
(1?cos2x)?sin2x?1
44
1
??
5
(sin2xcos?cos2xsin)?
26641
?
5
?sin(2x?)?。
264
?
可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换：
（1）向左平移
?
?
，得到y=sin(x+)的图象；
6
6
1?
倍，纵坐标不变，得y=
sin(2x?)
26
（2）将（
1）中所得图象上各点横坐标变为原来的
的图象；
（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的
的图象；
（4）将（3）中所得
图象向上平移
11?
倍，横坐标不变，得y=sin(2x+)
22
6
51?5
个单位长度，得到y=sin(2x+)+的图象。
42
6
4<
br>13
cos
2
x?sinxcosx?1
的图象。
22
综上，依次经过四步变换，可得y=
八. 求值
例8. 已
知函数f(x)=
?3sin
2
x
+sinxcosx。设α∈（0，π），
f(
的值。
解：f(x)=
?
3
?
1
)=
?
，求sinα
2
42
31
(1?cos2x)?sin2x
22
?3
=sin
(2x?)?
。
32
313
??
)=sin(
??
)
?
，
??
242
3
2
?1
得sin(
??
)=
。
34
??4?
又α∈（0，π）
????(,)
。
333
?31
而sin
?＞
，
324
??
故α+
?(,?)
，则
32
15
?
cos(α+)=
?
。
4
3
??
sinα=sin[
(??)?
]
33
????
=sin
(??)cos?cos(??)sin
3333
11153
=
??(?
)?
4242
1?35
=。
8
评注：化为一种角的一次式
形式，可使三角式明晰规范。在求sinα时，巧用凑角法：
????
α=（α+）-，并且判
断出α+的范围，进而求出cos(α+)的确切值，使整个求值
3333
过程方向明确，计算
简捷。
九. 求系数
由f(
例9. （2020年重庆）若函数f(x
)=
1?cos2xxx
?asincos(??)
的最大值为2，试确
?<
br>22
4sin(?x)
2
定常数a的值。
2cos
2
xx
x
解：f(x)=
?asincos
4cosx2
2
1a
=
cosx?sinx
22
1a
2
?sin(x??)
， =
44
其中角
?
由sin
?
=
1
1?a
2
,cos??
a
1?a
2
来确定。
1a
2
由已知有
??4
，解得a=
?15
。
44
十. 解三角不等式
例10. （2020年全国Ⅲ）已知函数
f(x)=sin
2
x+sin2x，x
?[0,2?]
，求使f(x)为正
值的x
的集合。
解：f(x)=1-cos2x+sin2x
=1+
2sin(2x?)
。
?
4
?2
由f(x
)＞0，有sin
(
2x-
＞)?,
42
则得2kπ-<
br>＜2x?＜2k??
故kπ＜x＜kπ+
?
4
?
4
5
?
，
4
3?
(k?Z)
。
4
再由x
?
[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是
?
3?7?
。
?
x0＜x＜，或?＜x＜
44
?