江苏 高中数学精品课程 教案-高中数学教材 方差
高中数学竞赛培优专题辅导-平面向量
一、基础知识
定义1
既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线
段的长度表示向量的模。向量的符号用
两个大写字母上面加箭头，或一个小写字
母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示
向量的模，模为零的
向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
定义2
方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量
与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1
向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加
法和减法都满足交换律和结合律。
定理2 非零向量a,
b共线的充要条件是存在实数
?
?
0，使得a=
?
b.
f
定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a,
b不共线，则对同一平
面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a,
b称为一组
基底。
定义3
向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单
位向量i,
j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,
y，
使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。
定义4
向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为
?
，则a,
b的数量积记
作a·b=|a|·|b|cos
?
=|a|·|b|cos
?
叫做b在
a上的投影（注：投影可能为负值）。
定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x
1
, y
1
),
b=(x
2
, y
2
)，
1．a+b=(x
1
+x
2
,
y
1
+y
2
),
a-b=(x
1
-x
2
,
y
1
-y
2
)，
2．λa=(λx
1
,
λy
1
), a·(b+c)=a·b+a·c，
3．a·b=x
1
x
2
+y
1
y
2
, cos(a, b)=
x<
br>1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(a,
b
?
0),
4. ab
?
x
1
y
2=x
2
y
1
,
a
?
b
?
x1x2+y
1
y
2
=0.
定义5 若点P是直线P
1
P
2
上异于p
1
，p
2
的一点，则存在唯一实数λ，使
P
1
P?
?
PP
2
，λ叫P分
P
1
P
2
所成的比，若O为平面内任
意一点，则
OP?
OP
1
?
?
OP
2
。由
此可得若P
1
，P，P
2
的坐标分别为(x
1
,
y
1
), (x, y), (x
2
,
1?
?
?
x
1
?
?
x
2
x?
?x?x
1
y?y
1
?
1?
?
y
2)，则
?
.
?
??.
x
2
?xy< br>2
?y
?
y?
y
1
?
?
y
2
?
1?
?
?
定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)
的方向，平移|a|=
h
2
?k
2
个单位得到图形
F'
，这一过程叫做平移。设 p(x, y)
?
x'?x?h
是F上任意一点，平移到
F'
上对应 的点为
p'(x',y')
，则
?
称为平移公式。
?
y'?y?k
定理5 对于任意向量a=(x
1
, y
1
), b=(x
2
, y
2
), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|
≤|a|+|b|.
22
22
【证明】 因为|a|
2
·|b|
2
- |a·b|
2
=
(x
1
2
?y
1
2
)(x
2
?y
2
)
-(x
1
x
2
+y
1
y
2
)=(x
1
y
2
-x
2
y
1
)
≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x
1
, x
2
,…,x
n
)，b=(y
1
,
y
2
, …, y
n
)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简 即为柯西不等式：
2
2222
(x
1
2
?x
2???x
n
)(y
1
2
?y
2
???y
n
)?
(x
1
y
1
+x
2
y
2
+…+x
n
y
n
)≥0，又|a·b|≥0,
|a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x
1
, x
2
,…,x
n
), b=(y
1
,
y
2
, …, y
n
)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简 即为柯西不等式：
2222
(x
1
2
?x
2
??? x
n
)(y
1
2
?y
2
???y
n
)?
(x
1
y
1
+x
2
y
2
+ …+x
n
y
n
)。
2
2）对于任意n个向量，a
1
, a
2
, …,a
n
，有| a
1
, a
2
, …,a
n
|≤| a
1
|+|a
2
|+…
+|a
n
|。
二、方向与例题
1．向量定义和运算法则的运用。
例1 设O是正n边形A1
A
2
…A
n
的中心，求证：
OA
1
?OA
2
???OA
n
?O.
【证明】 记
S ?OA
1
?OA
2
???OA
n
，若
S?O
，则将正n边形绕中心O
旋转
2
?
后与原正n边形重合，所以
S< br>不变，这不可能，所以
S?O.
n
例2
给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是
GA?GB?GC?O.
【证
明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使
DP=GD，则
AG
?2GD?GP.
又因为BC与GP互相平分，
所以BPCG为平行四边形，所以BG
PC，所以
GB?CP.
所以
GA?GB?GC?GC?CP?PG?O.
充分性。若
GA
?GB?GC?O
，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则
GA?PG
.
因为
GC?PG?PC?O
，则
GB?PC
，所以GB
<
br>CP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G为重心。
例3 在
凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：
AB
2
+BC<
br>2
+CD
2
+DA
2
=AC
2
+BD
2
+4PQ
2
。
【证明】 如图所示，结结BQ，QD。
因为
BP?PQ?BQ,DP?PQ?DQ
，
所以
BQ?DQ?(BP?PQ)
2
?(DP?PQ)
2
=
BP?DP?2PQ?2BP
·
PQ?2DP?PQ
=
BP?DP?2PQ?2(BP?DP)?PQ?BP?DP?2PQ.
①
又因为
BQ?QC?BC,BQ?QA?BA,QA?QC?O,
同理
BA?BC?QA?QC?2BQ
， ②
CD?DA?QA?QC?2QD
， ③
22222
22222
222222
22
222
由①，②，③可得
BA?BC?CD?4QA?2
(BQ?QD)
?AC?2(2BP?2PQ)?AC?BD?4PQ
。得证。
222222
222222
2．证利用定理2证明共线。
例4
△ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：
GH=1：2。
【证明】 首先
OG?OA?AG?OA?
2
AM
3
11
=
OA?(AB?AC)?OA?(2AO?OB?OC)
33
1
?(OA?OB?OC).
3
其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE
?BC.
又AH
?
BC，所以AHCE。
又EA
?
AB，CH
?
AB，所以AHCE为平行四边形。
所以
AH?EC,
所以
OH?OA?AH?OA?EC?OA?EO?OC?OA?OB?OC
，
所以
OH?3OG
，
所以
OG
与
OH
共线，所以O，G，H共线。
所以OG：GH=1：2。
3．利用数量积证明垂直。
例5 给定非零向量a,
b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a
?
b.
【
2
证
2222
明
2
】
|a+b|=|a-b|
?
(a
+b)=(a-b)
?
a+2a·b+b=a-2a·b+b
?
a·b=0<
br>?
a
?
b.
例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为A
B中点，E为△ACD重心。求证：
OE
?
CD。
【证明】
设
OA?a,OB?b,OC?c
，
则
OD?
1
(a?b)
，
2
1
?
111
?
1
OE?
?
a?c?(a?b)
?
?c
?a?b.
3
?
226
?
3
又
CD?<
br>1
(a?b)?c
，
2
11
??
11
?<
br>1
?
所以
OE?CD?
?
a?c?b
?
?<
br>?
a?b?c
?
36
??
22
?
2
?
1
2
1
2
1
2
11
a?b?
c?a?b?a?c
412333
1
?
a·(b-c). （因
为|a|
2
=|b|
2
=|c|
2
=|OH|
2<
br>）
3
又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。
?
所以a·(b-c)=0. 所以OE
?
CD。
4．向量的坐标运算。
例7 已知四边形ABCD是正方形，BEAC，AC=CE，EC
的延长线交BA的延
长线于点F，求证：AF=AE。
【证明】 如图所示，以CD所在的直
线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，
设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，
1），设E点的坐标为
（x, y），则
BE
=(x, y-1),
AC?(1,?1)
，因为
BEAC
，所以-x-(y-1)=0.
又因为
|CE|?|AC|
，所以x
2
+y
2
=2.
由①，②解得
x?
1?31?3
,y?.
22
?
3?3?1?3
?
?
,|AE|
2
?4?23.
,
所以
AE?
?
?
2
?
2
??<
br>设
F(x',1)
，则
CF?(x',1)
。由
CF
和
CE
共线得
所以
x'??(2?3)
，即F
(?2?3,
1)
，
所以
|AF|
2
=4+
23?|AE|
2
，所以AF=AE。
三、基础训练题
1?31?3
x'??0.
22
1．以下命题中正确的是__________. ①a=b的充要条件是|a|=|b|
，且ab；
②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a,
b不共线，则xa+yb=ma+nb
的充要条件是x=m,
y=n；⑤若
AB?a,CD?b
，且a,
b共线，则A，B，C，D共
线；⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影为-4。
2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：①
BC?CD?EC
；②
2BC
?DC
；
③
FE?ED
；④
2ED?FA
与
AC
，相等的有__________.
3．已知a=y-x, b=2x-y,
|a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________.
4．设s,
t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-
sb|，则a和b
的夹角为__________.
5．已知a,
b不共线，
MN
=a+kb,
MP
=la+b，则“kl-1=0”是“M
，N，P
共线”的__________条件.