高中数学导数理科数学试题含答案

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高二年级导数理科数学试题
一、选择题：（每题5分，共60分）
1． 若
lim
f(x
0
?2?x)?f(x
0
)
?x
? x?0
?1
，则
f
?
(x
0
)
等于（ C ）
1
2
A．2 B．－2 C．
2．物体运动方程为
S?
1
4
4
D．
?
1
2

t?3
，则
t?2
时瞬时速度为（D ）
A．2 B．4 C． 6 D．8
3．函数
y?sinx
的图象上一点
(,
3
?
3
2
)
处的切线的斜率为（ D ）
2
2
A．1 B．
3
2
C． D．
1
2

4．设
f(x)?xlnx
，若
f' (x
0
)?2
，则
x
0
?
（ B ）
A.
e
2
B.
e
C.
ln2
2
D.
ln2

5． 曲线
y?x
3
?2x?4
在点
(1，3)
处的切线的倾斜角 为（ B ）
A．30°
1
2
B．45°
2
C．60° D．120°
6．若
f(x)??x?bln(x?2)在( -1,+?)
上是减函数，则
b
的取值范围是（ C）
A.
[?1,??)
B.
(?1,??)
C.
(??,?1]
D.
(??,?1)

7.已知函数
f(x)?x?ax?(a?6)x?1
有极大值和极小值，则实数
a
的取值 范围是( C )
（A）-1<
a
<2

(A) 在(-∞，0)上递增 （B）在(-∞，0)上递减 （C）在R上递增 （D）在R上递减

9.曲线
y?ln(2x?1)
上的点到直线
2x?y?3?0< br>的最短距离是 （ A ）
A.
5
B.
25
C.
35
D. 0
(B) -3<
a
<6 （C）
a
<-3或
a
>6 (D)
a
<-1或
a
>2
32
8.已知f（x）是定义域R 上的增函数，且f（x）<0,则函数g(x)=x
2
f(x)的单调情况一定是( A )

10．如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=f?(x)
的图象可能是 (A )




1

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11. 已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则xy的最大值为 （ A ）?
A.36 B.18 C.25 D.42?
12.设函数
f(x)?
1
e
1
3
x?lnx(x?0),
则
y?f(x)


1
e
2
A在区间
(,1),(1,e)
内均有零点 B在区间
(,1),(1,e)
内均无零点
C在区间
(,1)
内有零点，在区间
(1,e)
内无零点.
e
e
1
1
D在区间
(,1)
内无零点，在区间
( 1,e)
内有零点.
1
3
1
x
x?3
3x< br>解析：由题得
f`(x)???
，令
f`(x)?0
得
x?3
；令
f`(x)?0
得
0?x?3
；
f`(x)?0
得
x?3
，故知函数
f(x)
在区间
(0,3)
上为减函 数，在区间
(3,??)
为增函数，在点
x?3
处有极小值
1?ln 3?0
；又
f(1)?
1
3
,f
?
e
?< br>?
e11
?1?0,f()??1?0
，故选择D。
3e3e

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13．若< br>f(x)=x
3
+3ax
2
+3(a+2)x+1
没有极值， 则a的取值范围为 [-1,2] .?
14.已知
f(x)?lgx
，函数
f(x)
定义域中任意的
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
，有如下结论：
①
0?f
?
(3)?f(3)?f(2)?f
?
(2)
；
f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
?x
2
②
0?f
?
(3)?f
?
(2)?f(3)?f(2)
；
x
1
?x
2
2
f(x
1
)? f(x
2
)
2
③
?0;
④
f()?.

上述结论中正确结论的序号是 ①③ .
15．对于函数
f(x)?(2x?x)e

（1）
(?2,2)
是
f(x)
的单调递减区间；
（2）
f(?2)
是
f(x)
的极小值，
f(2)
是
f( x)
的极大值；
（3）
f(x)
有最大值，没有最小值；
2x
2

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（4）
f(x)
没有最大值，也没有最小值．
其中判断正确的是___________(2)(4)_____.
16．若函数
f(x)?x
3
?ax
2
?2x?5
在区间（
,
数a的取值范围是___.(
。
三、解答题（本题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17． (12分) 已知函数
f(x)?x
3
?bx
2
? cx?d
的图象过点
P(0, 2)
，且在点
M(?1, f(?1))处的切线方
程为
6x?y?7?0
.（Ⅰ）求函数
y?f(x)
的解析式；（Ⅱ）求函数
y?f(x)
的单调区间.
（Ⅰ）由
f(x)
的图象经过
P(0, 2)
，知
d?2
，
322
所以
f(x)?x?bx ?cx?2
.所以
f
?
(x)?3x?2bx?c
.


11
32
）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实
55
,
)___________________
42
由在
M(?1, f(?1))
处的切线方程是
6x?y?7?0
，
知
?6?f(? 1)?7?0
，即
f(?1)?1
，
f′(?1)?6
.
?
3?2b?c?6,
?
2b?c?3,
所以
?
即
?
解得
b?c??3
.
?1?b?c?2?1.b?c?0.
??

故所求的解析式是
f(x)?x?3x?3x?2
.
22
2
（Ⅱ）因为
f
?
(x)?3x?6x?3
， 令
3x?6x?3?0
，即
x?2x?1?0
，
32
解得
x
1
?1?
当
x?1?
当
1?
3
2
，
x
2
?1?2
.
2
或
x?1?2
时，
f
?
(x)?0
，
2?x?1?
2
2
时，
f
?
(x)?0
，
2)
内是增函数，在
(1?
故
f(x)?x?3x?3x?2
在
(??, 1?
是增函数.
2, 1?2)
内是减函数，在
(1?2,??)
内
3
18.(12分)已知函数
f(x)?x?3x （I）求函数
f(x)
在
[?3,]
上的最大值和最小值.
3
2
3

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（II）过点
P(2,?6)
作曲线
y?f(x)
的切线，求此切线 的方程.
解：（I）
f'(x)?3(x?1)(x?1)
， ……………………………………………2分
当
x?[?3,?1)
或
x?( 1,]
时，
f'(x)?0
，
2
?[?3,?1],[1,
3
2
]
为函数
f(x)
的单调增区间
3
当
x?(?1,1)
时，
f'(x)?0
，
?[?1,1]
为函数
f(x)
的单调减区间
3
2
9
8
又因为
f(?3)??18,f(?1)?2,f(1)? ?2,f()??
所以当
x??3
时，
f(x)
min
?? 18

，………………………………5分

当
x??1
时，
f(x)
max
?2
………………………………………………6分

（II）设切点为
Q(x
?
,x
?
3
?3x
?
)
，则所求切线方程为
y?(x
?
?3x
?
)?3(x
?
?1)(x?x
?
)
………………………………………………8分
32
由 于切线过点
P(2,?6)
，
??6?(x
?
?3x
?)?3(x
?
?1)(2?x
?
)
，
32
解 得
x
?
?0
或
x
?
?3
………………………………………………10分
所以切线方程为
y??3x或y?6?24(x?2)
即
3x?y?0
或
24x?y?54?0
………………………………………………12分

19.(12分)已知函数f(x)=x-x+bx+c.?
2
3
1
2
(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;?
(2)若f(x) 在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)2
恒成立，求c的取值范围.?

解 （1）
f?(x)
=3x
2
-x+b,因f(x)在 （-∞，+∞）上是增函数，则
f?(x)
≥0.即3x
2
-x+b≥0,?
∴b≥x-3x
2
在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x
2
.?
当x=时，g(x)
max
=
6
1
1
12
1
12
,∴b≥.?
(2)由题意知
f?(1)
=0，即3-1+b=0，∴b=-2.?
22 2
x∈［-1,2］时，f(x)f?(x)
=3x-x-2,令
得x=1或x=-.∵f(1)=-+c,?
3
2
f?(x)
=0,
3
2
f(-
2
3
)?
22
27
?c,f(?1)?
1
2
?c,f(2)=2+c.?
∴f(x)
max
=f(2)=2+c,∴2+c2
.解得c>2或c<-1，所以c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）.
4

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20．(本小题共12分) 给定函数
f(x)?
x
3
3
?ax?(a?1)x
和
g(x)?x?
22
a
2
x
(I)求证:
f(x)
总有两个极值点;(II)若
f(x)
和
g(x)
有相同的极值点,求
a
的值.
证明: (I)因为< br>f'(x)?x
2
?2ax?(a
2
?1)?[x?(a?1)][( x?(a?1)]
,
令
f'(x)?0
,则
x
1
?a?1,x
2
?a?1
, ------------------------------------------2分
则当
x?a?1
时,
f'(x)?0
,当
a?1?x?a?1
,
f'(x)?0

所以
x?a?1
为
f(x)
的一个极大值点, -----------------------4分
同理可证
x?a?1
为
f(x)
的一个极小值点. -------------------------------------5分
另解：( I)因为
f
'
(x)?x
2
?2ax?(a
2
?1 )
是一个二次函数，
且
??(?2a)
2
?4(a< br>2
?1)?4?0
，------------------------------ -------2分
所以导函数有两个不同的零点，
又因为导函数是一个二次函数，
所以函数
f(x)
有两个不同的极值点. ---------------------------------------5分
(II) 因为
g'(x)?1?
a
x
2
2
?
(x ?a)(x?a)
x
2
，
令
g'(x)?0
,则
x
1
?a,x
2
??a
---------------------------------------6分
因为
f(x)
和
g(x)
有相同的极值点, 且
x
1
?a
和
a?1,a?1
不可能相等,
所以当
?a?a?1
时,
a??
经检验,
a??

21．(12分)把边长为
a
的等边三角形铁皮剪去三个相 同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个
无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高 为
x
，容积为
V(x)
.
（Ⅰ）写出函数
V(x)
的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当
x
为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.
5
1
2
， 当
?a?a?1
时,
a?
1
2
,
1
2
和
a?
1
2
时,
x
1?a,x
2
??a
都是
g(x)
的极值点. --------------8分

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解：（Ⅰ）因为容器的高为
x
，则做成的正三棱柱形容器的底边 长为
(a?23x)
----1分.
则
V(x)?
3
4
(a?23x)x
. -------------------------3分
2
函数的定义域为
(0,
3
6
a)
. ------------------------- 4分
3
6
（Ⅱ）实际问 题归结为求函数
V(x)
在区间
(0,
先求
V(x)
的极值 点.
在开区间
(0,
3
6
a)
上的最大值点.
a)
内，
V'(x)?93x?6ax?
3
4
2
2
3
4
a
--------------------6分
3
18
a, x
2
?
3
6
a(舍去)
.
2
令
V'(x)?0
，即令
93x
2
?6ax?
因为
x
1
?
3
18
6
a
在区间
(0,
3
3
6
a?0
，解得
x
1
?
a)
内，
x
1
可能是极值点. 当
0?x?x
1
时，
V'(x)?0
；
当
x
1
?x?a
时，
V'(x)?0
. ---------------------8分
3
6
a)
内，
x
1
是唯一的极值点，所以
x?x
1
?
3
18a
是
V(x)
的最大值因此
x
1
是极大值点，且在区间
(0,
点，并且最大值
f(
3
18
a)?
1
54
a

3
18
3
即当正三棱柱形容器高为

a
时，容器的容积最大为
1
54
a
.----
3
32
22．(14分)已知
x?1
是函数
f(x)?mx?3(m? 1)x?nx?1
的一个极值点，其中
m,n?R,m?0
，
（I）求m与n的关系式；
（II）求
f(x)
的单调区间；
（ III）当
x?
?
?1,1
?
时，函数
y?f(x)
的图象上任意一点的切线斜率恒大于3
m
，求
m
的取值范围.
2
解(I)
f
?
(x)?3mx?6(m?1)x?n
因为
x?1
是函数
f(x)
的一个极值点,所以
f
?
(1)?
3m?6(m?1)?n?0
，所以
n?3m?6
……………………………………3分
2
0
,即
（II）由（I）知，
f
?
(x)?3mx?6(m?1)x?3m?6
=
3m(x?1)
?
x?
?
1?
?
?
?
?
2
?< br>?
?
?
……4分
m
?
?
6

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当
m?0
时，有
1?1?
x

2
??
??,1?
??

m
??
2
m
，当
x
变化时，
f(x)
与
f
?
(x )
的变化如下表：
1?
2
m

2
??
1?,1
?

?
m
??
1
0
?
1,??
?

-

单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
………………………………………………………………………………………………8分
故有上 表知，当
m?0
时，
f(x)
在
?
??,1?
?< br>?
2
?
?
单调递减，
m
?

?

f(x)
f(x)

-

0 +

在
(1?
2
m
,1)
单调递增，在
( 1,??)
上单调递减.……………………………………………9分
（III）由已知得f
?
(x)?3m
，即
mx
2
?2(m?1)x?2? 0
…………………………10分
2
又
m?0
所以
x?2
m
(m?1)x?
1
m
)x?
2
m
2
m
?0
即
x?
2
2
m
(m?1)x?< br>2
m
?0,x?
?
?1,1
?
①
设
g(x)?x?2(1?
2
，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，……11分
22
?
??0
44
?
g(?1)?0
?
1?2?< br>所以
?
解之得
??m
又
m?0
所以
??m? 0

?
?
mm
33
?
g(1)?0
??1?0
?
即
m
的取值范围为
?
?
?
?
4
?
,0
?
………
3
?



7