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三角函数与解三角形知识复习
1. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R
公式吗？

的弧长公式和扇形面积

R

1弧度

O R
y
T
B S

P

α
2. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义


O





M
A x


sin??MP，cos??OM，tan??AT




（l??·R，S
扇
?
11
l·R??·R
2
）

22



如：若 ?
?
???0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是
8

?
?
?

又如：求函数y?1?2cos
?
?x
?
的定义域和值域。

?
2
?
2
?
?
?
，如图：

∵1?2cos
?
?x
?
?1?2sinx?0
，
∴sinx?
2
?
2
?

∴2k??
5??
?x?2k??
?
k?Z
?
，0?y?1?2

44
3. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出
单调区间、对称点、对称轴吗？

y


y?tgx



x
?
?


?

?


O

2
2



??
??
sinx?1，cosx?1
，
y?sinx的增 区间为
?
2k??，2k??
?
?
k?Z
?

22
??
?3?
??

减区间为
?
2k??，2k??
?
?
k?Z
?
22
??

图象的对称点为
?
k?，0
?
，对称轴为x?k??
?
?
k?Z
?

2

y?cosx的增区间为
?
2k?，2k???
?
?
k?Z
?
，
减区间为
?
2k???，2k ??2?
?
?
k?Z
?

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2

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?
??

图象的对称点为
?
k??，0
?< br>，对称轴为x?k?
?
k?Z
?

??
2
?
?

y?tanx的增区间为
?< br>k??，k??
?
2
?
??
?
?
k?Z对称点为
，
??
k，
0
?
，k
?
Z< br>
?
2
?
2
?
?
或y?Acos
?
?
x?
?
?
?

4. 正弦型函数y=Asi n
?
?
x+
?
?
的图象和性质要熟记。

（1）振幅|A|，周期T?
2?
，
若f
?
x
0
?
??
A，则x
?
x
0
为对称轴。

|?|

若f
?
x
0
?
?0，则< br>?
x
0
，0
?
为对称点，反之也对。


（2）五点作图：令?x??依次为0，
（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）

?3?
，?，，2?，求出x与y，依点

22
?
?(x
1
)???0
?

如图列出
?
?
，
解条件组求?、?值

?(x
2
)???
?
2
?

?正切型函数y?Atan
?
?x??
?
，T?
?

|?|
5. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的
范围。
?
?
23?
???

如：cos
?
x?
?
??，x?
?
?，
?
，求x值。

?
6
?
22
??

（∵??x?
3 ?7??5??5?13
，∴?x??，∴x??，∴x??）

26636412
6. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数y?sinx?sin|x|的值域是


（x?0时，y? 2sinx?
?
?2，2
?
，x?0时，y?0，∴y?
?
?2，2
?
）

7. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
?
?
x'?x?h
a?(h，k)

（1）点P（x，y）?????

??P'（x'，y'），则
?
y'?y?k
平移至
?
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3

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（2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0

?

如：函数y?2sin
?
2x?
?
?< br>?
?
?1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的

4
?
?
图象？
?
?
?
?
1?
?
?
?
2倍

（y?2sin
?2x?
?
?1?
横坐标伸长到原来的
??????????y?2sin
?
2
?
x
?
?
?
?1

?
4
?
?
?
2
?
4
?
?
?
??
1个单位
4
?2sin
?
x?
?
? 1????????y?2sinx?1?
上平移
???????y?2sinx

??
4
左平移个单位
1
2
?y?sinx）

??????????
纵坐标缩短到原来的倍
8. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin
2
? ?cos
2
??sec
2
??tan
2
??tan?·co t??cos?·sec??tan
?sin
?

4
?
?cos0?……称为1的代换。

2
?

“k·??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos
9??
7?
?
?tan
?
?
?
?sin
?
21?
?
?
?
6
?
4


C. 非负值 D. 正值

又如：函数y?
A. 正值或负值
sin??tan?
，则y的值为
cos??cot?
B. 负值
sin?
sin
2
?
?
cos??1
?< br>cos?

（y???0，∵??0）

cos?
co s
2
?
?
sin??1
?
cos??
sin?sin??
9. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
令???
??sin2??2sin?cos?
< br>sin
?
???
?
?sin?cos??cos?sin????仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢
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令???
cos
?
???
?
?cos?cos??sin?sin? ?????cos2??cos
2
??sin
2
?

tan
?
???
?
?
tan??tan?
22

?2cos??1?1?2sin??

1?tan?·tan?
1?cos2?
2

1?cos2?
2
sin??
2
cos
2
??
ta n2??
2tan?

1?tan
2
?


?
?
?

4
?

asin??bc os??a
2
?b
2
sin
?
???
?
， tan??
?
??

sin??3cos??2sin
?
??
?

?
3
?
b
?
，
sin??cos??2sin
?
??
?
a
应用以 上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含
三角函数，能求值，尽可 能求值。）
具体方法：
（1）角的变换：如??
?
???
?
??，
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
si n?cos?2
?1，tan
?
???
?
??，求tan
?
??2?
?
的值。

1?cos2?3
sin?cos?cos?12

（由已知得：
，
，
??1，∴tan??又tan????
??< br>2
2sin?23
2sin?
21
?
tan
?
???
?
?tan?
32
?
1
）

∴t an
?
??2?
?
?tan
?
???
?
? ???
1?tan
?
???
?
·tan?
1?
2< br>·
1
8
32
???
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
??
?
… …

??
22
??
2

如：已知
??
10. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b
2
?c
2
?a
2

余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?

2bc
222
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
?
a?2RsinA
abc
?
???2R?
?
b?2Rs inB

正弦定理：
sinAsinBsinC
?
c?2R sinC
?
面积公式：
S
?
?
1
a·bsinC

2
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∵A?B?C??，∴A?B???C
，
∴sin
?
A?B
?
?sinC，sin

如?ABC中，2sin
2
A?B
?cos2C?1

2
22
A?BC
?cos

22
c
2

（1）求角C；
（2）若a?b?，求cos2A?cos2B的值。

2

（（1）由已知式得：1?cos
?
A?B
?< br>?2cos
2
C?1?1


又A?B???C，∴2cos
2
C?cosC?1?0
，
∴cosC?

又0?C??，∴C?
?

3
1
或cosC??1（舍）

2
1
（2）由正弦定理及a
2
?b
2
?c
2
得：

2
?3

2sin
2
A?2sin
2
B?sin
2
C?sin
2
?

34
33

1?cos2A?1?cos2B?
，
∴cos2A?cos2B??）

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