高中数学竞赛培优专题辅导-极限与导数

高中数学竞赛培优专题辅导-极限与导数

一、 基础知识
1．极 限定义：（1）若数列{u
n
}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当
n>m 且n∈N时，恒有|u
n
-A|<ε成立（A为常数），则称A为数列u
n
当 n趋向于无
f(x)
=A表示x大于x
0
且趋向穷大时的极限，记为
limf(x),limf(x)
，另外
lim
?
x???x???
x?x
0
f(x)
表示x小于x
0
且趋向于x
0
时 于x
0
时f(x)极限为A，称右极限。类似地
lim
?
x?x0
f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果
lim
f(x)=a,
lim
g(x) =b，那么
lim
[f(x)±g(x)]=a
x?x
0
x?x0
x?x
0
±b,
lim
[f(x)?g(x)]=ab,
lim
x?x
0
x?x
0
f(x)a
?(b?0) .

g(x)b
x?x
0
x?x
0
3.连续：如果 函数f(x)在x=x
0
处有定义，且
lim
f(x)存在，并且
l im
f(x)=f(x
0
)，
则称f(x)在x=x
0
处连 续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a, b]
上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x< br>0
处取得一个增量Δx
?y
时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy( Δy=f(x
0
+Δx)-f(x
0
)).若
lim
?x? 0
?x
存在，则称f(x)在x
0
处可导，此极限值称为f(x)在点x0
处的导数（或变化率），
记作
f'
(x
0
)或
y'x?x
0
或
dy
dx
，即
f'(x
0
)?lim
x
0
x?x
0
f(x)?f(x
0
)
。由定义知f(x)在
x?x
0
点x
0
连续是f(x)在x
0
可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点
可导，则称它在此敬意 上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x
0
处导数
f'
(x
0< br>)
等于曲线y=f(x)在点P(x
0
,f(x
0
))处切线 的斜率。
6．几个常用函数的导数：（1）
(c)'
=0（c为常数）；（2）(x
a
)'?ax
a?1
（a为任意常
数）；（3）
( sinx)'?cosx;
(4)
(cosx)'??sinx
;(5)
(a
x
)'?a
x
lna
;(6)
(e
x
)' ?e
x
;（7）
11
log
a
x
；（8）
(lnx)'?.

xx
7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则
(log
a
x)'
?
（1）
[u(x)?v(x)]'?u'(x) ?v'(x)
；（2）
[u(x)v(x)]'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)< br>；（3）

[cu(x)]'?c?u'(x)
（c为常数）；（4）[
1?u'(x)
；（5）
]'?
2
u(x)
u(x)
[
u(x)u(x)v'(x)?u'(x)v(x)
。
]'?
u (x)
u
2
(x)
8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=
?
(x)，已知
?
(x)在x处可导，f(u)在对
应的点u(u=
?
(x))处可导，则复合函数y=f[
?
(x)]在点x处可导，且
（f[
?
(x)]
)'
=
f'[
?
(x)]
?< br>'(x)
.
9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在 I上连续；（2）
若对一切x∈(a,b)有
f'(x)?0
，则f(x)在(a,b )单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)
有
f'(x)?0
，则f(x)在(a, b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x
0
处可导，且在x0
处取得极值，则
f'(x
0
)?0.

11.极值的 第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x
0
邻域(x
0
-δ,x
0
+δ)内可导，
（1）若当x∈(x-δ,x
0
)时
f'(x) ?0
，当x∈(x
0
,x
0
+δ)时
f'(x)?0
，则f(x)在
x
0
处取得极小值；（2）若当x∈(x
0
-δ， x
0
)时
f'(x)?0
，当x∈(x
0
,x
0< br>+δ)时
f'(x)?0
，则f(x)在x
0
处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x
0
的某领域(x
0
-δ,x< br>0
+δ)内一阶可导，在
x=x
0
处二阶可导，且
f'(x< br>0
)?0,f''(x
0
)?0
。（1）若
f''(x
0
)?0
，则f(x)在x
0
处
取得极小值；（2）若
f ''(x
0
)?0
，则f(x)在x
0
处取得极大值。
1 3．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，
则存在ξ∈(a,b)，使
f'(
?
)?0.

[证明] 若当 x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，
f'(x)?0
.若当x∈
(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上 有最大值
和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a ,b)，
且f(c)为最大值，故
f'(c)?0
，综上得证。
14．La grange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈

f(b)?f(a)
.

b?a
f(b)?f(a)
(x?a)
,则F(x)在[a,b]上连续，[证明] 令F(x)=f(x)-在(a,b)上可
b?a
f(b)?f(a)
.
导 ，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使
F'(
?
)
= 0，即
f'(
?
)?
b?a
15．曲线凸性的充分条件：设函数f( x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果
(a,b)，使
f'(
?
)?< br>对任意x∈I,
f''(x)?0
,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对 任意x∈
I,
f''(x)?0
,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为 凸函数，下凸函数为
凹函数。
16．琴生不等式：设α
1
,α
2< br>,…,α
n
∈R
+
，α
1
+α
2
+ …+α
n
=1。（1）若f(x)是[a,b]
上的凸函数，则x
1
,x
2
,…,x
n
∈[a,b]有f(a
1
x
1< br>+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
)≤a
1
f(x
1
)+a
2
f(x
2
)+…+a
n
f(x
n
).
二、方法与例题
1．极限的求法。
a
n
2n
??
1
(
a ?
0)
；例1 求下列极限：（1）
lim
?
2
?
2
?
?
?
2
?
；（2）
lim
（3）< br>n
n??
n??
n
1?a
nn
??
?
1
?
11
??
；
n(n?1?n).

lim< br>?
????
?
（4）
lim
222
n??
n ??
n?2n?n
??
n?1
n(n?1)
2n
??
1
?
12
?
1
?
[解]（1）
lim
?
2
?
2
?
?
?
2
?
=
l im
lim
?
?
?
?
；
2
n??
n??
n
n??
2n
nn
???
22n
?
2
a
n
11
（2）当a>1时，
lim?lim??1.

nn
n??
1?a
n
n??
?
1
??1
?
??
?1lim
??
?1
n??
a
?
a
???
lima
a
n
0
n??
当0 lim???0.

n
n??
1?a
n1?0
1?lima
n??
n
a
n
11
?li m?.
当a=1时，
lim
n??
1?a
n
n??
1?12
（3）因为
n
n?n
2
n
n?n
2?
1
n?1
1
1?
1
n
2
?
1
n?2
1
2
?
?
?
1
n?n
1
1?
2
?
n
n?1
?1,

2
.

而
lim
n??
?lim
n??< br>?1,lim
n??
n?1
2
?lim
n??
1n
2

?
1
?
11
?
?1.
??
?
?
所以
lim
?
?
222< br>n??
?
n?2n?n
??
n?1
（4）
limn( n?1?n)?lim
n??n??
n
n?1?n
?lim
n??< br>1
1?
1
?1
n
n
1
?.

2
例2 求下列极限：（1）
lim
(1+x)(1+x
2
)(1+
x
2
)…(1+
x
2
)(|x|<1)； n??
2
1
?
x
2
?1
?
3
（2）
lim
?
（3）
lim
。
?
?
；
x?1
1?x
3
x?1
1?x
?
3?x?1?x< br>?
[解] （1）
lim
(1+x)(1+x
2
)(1+< br>x
2
)…(1+
x
2
)
n??
2n
(1?x)(1?x)(1?x
2
)
?
(1?x
2
)1? x
2
1
=
lim?lim?.

n??n??
1? x1?x1?x
?
3?1?x?x
2
1
??
3
?< br>（2）
lim
??
?lim
?
?
x?1
1? x
3
1?x
1?x
3
??
x?1
?
??< br>1?x?1?x
2
??
3
?
?lim
x?1
?
??
1?x
?
?
?

?
nn?1
2?x
?
(1?x)(2?x)
?
=
lim
?
? lim?1.

?
32
x?1x?1
1?x1?x?x
??
（3）
lim
x?1
x
2
?1
3?x?1?x?lim
x?1
(x
2
?1)(3?x?1?x)
(3?x?1 ?x)(3?x?1?x)

=
lim
(x?1)(x?1)(3?x?1? x)?(x?1)(3?x?1?x)

?lim
x?1x?1
2(1?x)2
??22.

2．连续性的讨论。
例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1) =2f(x)，又当x∈[0,1)
时，f(x)=x(1-x)
2
，试讨论f(x) 在x=2处的连续性。
[解] 当x∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)
2
，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，则x=t-1，
当x∈[1,2)时，利用f(x+ 1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由
f(x)=x(1-x )
2
得f(t-1)=(t-1)(2-t)
2
,从而t∈[1,2)时,有 f(t)=2(t-1)?
(2-t)
2
；同理，当x∈[1,2)时，令x+1=t ，则当t∈[2,3)时，有
2
?
?
2(x?1)(2?x),x?
?
1,2
?
;
f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t).从而f (x)=
?
所以
2
?
?
4(x?2)(3?x),x?
?
2,3
?
.
2

x?2?
limf (x)?lim2(x?1)(2?x)
2
?0,limf(x)?lim4(x?2)(3? x)
2
?0
x?2?x?2?x?2?
x?2?
，所以
x? 2?
li
f(x)=
mlim
f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x= 2处连续。
3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。
[解] 因为点(2,0)不在 曲线上，设切点坐标为(x
0
,y
0
)，则
y
0
?
1
，切线的斜率
x
0
为
x'|
x
??0
1111
，所以切线方程为y-y，即
(x?x)y???(x?x
0
)
。又
0
=
?
0
222
x
0x
0
x
0
x
0
11
??
2
( 2?x
0
)
，所以x
0
=1，所以所求的切线
x
0
x
0
因为此切线过点（2,0），所以
?
方程为y=-(x-2)， 即x+y-2=0.
4．导数的计算。
5x
2
?3x?x
例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）
y?
；（3）y=e
co s2x
；
x
（4）
y?ln(x?x
2
?1)
；（ 5）y=(1-2x)
x
(x>0且
x?
[解] （1）
y'?cos(3x?1)?(3x?1)'?
3cos(3x+1).
(5 x
2
?3x?x)'?x?(5x
2
?3x?x)?(x)'
(2)
y'?

2
x
1
)。
2
?
1< br>?
2
?10x?3??x?5x?3x?x
??
2x
?

?
?
x
2
?5?
1
2x
3
.

（3）
y'?e
cos2x
?(cos2x)'?ecos2x? (?sin2x)?(2x)'??2e
cos2x
?sin2x.

（4）
y'?
1
x?x
2
?1
?(x?x
2
?1 )'?
??
x
?

?
?
?1
?
2
?
2
x?x?1
?
x?1
?
1
?
1
x?1
2
.

（5）
y'?[(1?2x)
x< br>]'?[e
xln(1?2x)
]'?e
xln(1?2x)
(xln (1?2x))'