高二数学辅导教案：数列的综合应用

数列的综合应用辅导教案

学生姓名
授课教师
教学课题


性别
上课时间


年级 高二 学科 数学
课时：3课时
第（ ）次课
共（ ）次课
数列的综合应用
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的
教学目标
问题．
教学重点
与难点
通过一些问题抽出数列模型进行解答
一、作业检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□
二、内容回顾
三、知识整理
1．等差数列和等比数列的综合
等差数列中最基本的量是其首项a< br>1
和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a
1
和公比q，在等差
数 列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问
题的．
2．数列和函数、不等式的综合
(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d≠0的情况下关于n的一次或二次函数．
(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况下是公比q的指数函数模型．
(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解
决数 列中的相关问题．
3．数列的应用题
(1)解决数列应用题的基本步骤是：
①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；
②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；
③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论．
(2)数列应用题常见模型：
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就
1

是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型 ，这个固定的
数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定， 随项的变化而变化时，应考虑是
a
n
与a
n
－
1
的 递推关系，或前n项和S
n
与S
n
－
1
之间的递推关系．
四、例题分析
考点一 等差、等比数列的综合问题
【例1】 已知等差数列{a< br>n
}的公差不为零，a
1
＝25，且a
1
，a
11< br>，a
13
成等比数列．
(1)求{a
n
}的通项公式； < br>(2)求a
1
＋a
4
＋a
7
＋…＋a
3n< br>－
2
.






规律方法 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；
分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．
考点二 数列与函数、不等式的综合应用
【例3】 设数列{a
n
}满足a
1
＝2，a
2
＋a
4
＝8，且对任意n∈N
*
，函数f(x )＝(a
n
－a
n
＋
1
＋a
n
＋
2
)x＋a
n
＋
1
cos
?
π
?
x－a
n
＋
2
sin x满足f′
?
2
?
＝0.
??
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)
若
b
n
＝








2
，求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
.

规律方法 解 决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函
数与不等式的知识求 解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数
列的综合问题体现了在知识 交汇点上命题的特点．
五、对应训练
1.已知数列{a
n
}是公差为2的 等差数列，它的前n项和为S
n
，且a
1
＋1，a
3
＋1， a
7
＋1成等比数列．
(1)求{a
n
}的通项公式；
?
1
?
(2)求数列
?
S
?
的前n项和T
n
.
?
n
?









2.已知正项数列{a
n
}的首项a1
＝1，前n项和S
n
满足a
n
＝S
n
＋S< br>n
－
1
(n≥2)．
(1)求证：{S
n
}为等差数列，并求数列{a
n
}的通项公式；
?
?
1
?
?
(2)记数列
?
aa
?
的前
?
?
nn
＋
1
?
?
n项和 为T
n
，若对任意的n∈N
*
，不等式4T
n
＜a
2
－a恒成立，求实数a的取
值范围．










六、本课小结
3

1．用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量，减少差错．
2．理解等差数列、等比数列定义、基本量的含义和应用，体会两者解题中的区别．
3．注意数列与函数、方程、三角、不等式等知识的融合，了解其中蕴含的数学思想．
4．在 现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，
都可以利用 数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．
七、课堂小测
一、选择题
1．公比不为1的等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且－3a
1
，－a
2
，a
3
成等差数列，若a< br>1
＝1，则S
4
＝( )．
A．－20 B．0 C．7 D．40
2．若－9，a，－1成等差数列，－9，m，b，n，－1成等比数列，则ab＝( )．
A．15 B．－15 C．±15 D．10
3．数列 {a
n
}满足a
1
＝1，log
2
a
n
＋
1
＝log
2
a
n
＋1(n∈N
*
)，它 的前n项和为S
n
，则满足S
n
>1 025的最小
n值是( )．
A．9 B．10 C．11 D．12
5
4．已知{a
n
}为等比数列，S
n
是它的前 n项和．若a
2
·a
3
＝2a
1
，且a
4
与2a
7
的等差中项为
4
，则S
5
＝( )．
A．35 B．33 C．31 D．29
5．设y＝f (x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋ …＋f(2n)等于
( )．
A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)
6．在等差数列{a
n
}中 ，满足3a
4
＝7a
7
，且a
1
>0，S
n
是数列{a
n
}前n项的和，若S
n
取得最大值，则
n＝( )．
A．7 B．8 C．9 D．10
?
1，n＝0，
7．已知f(x)＝bx＋1是关于x的一次函数，b为不等于1的常数，且g(n)＝
?
设
?
f[g?n－1?]，n≥1，
a
n
＝g( n)－g(n－1)(n∈N
*
)，则数列{a
n
}为( )．
A．等差数列 B．等比数列
C．递增数列 D．递减数列

8．已 知在正项等比数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
2
a
4
＝16，则|a
1
－12|＋|a
2
－12|＋…＋|a
8
－12|＝( )．
A．224 B．225 C．226 D．256
4

a
2
a
3
a
n
9．如果数列a
1
，
a
，
a
，…，，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a
5< br>等于( )．
a
n
－
1
12
A．32 B．64 C．－32 D．－64
10．设数列{a
n
}是公差d＜0的等差 数列，S
n
为其前n项和，若S
6
＝5a
1
＋10d，则S
n
取最大值时，n
＝( )．
A．5 B．6 C．5或6 D．6或7
11．已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等 差数列的项数是
( )．
A．5 B．6 C．7 D．8
12．在公差 不为0的等差数列{a
n
}中，2a
3
－a
2
7
＋ 2a
11
＝0，数列{b
n
}是等比数列，且b
7
＝a7
，则b
6
b
8
＝( )．
A．2 B．4 C．8 D．16
13．已知a
1
，a
2,
a
3，a
4
是各项均为正数的等比数列，且公比q≠1，若将此数列删去某一项得到的
数列(按原来的顺序)是等差数列，则q＝( )．
A.
1＋5－1＋51＋5－1＋5
或 B.
C.
D．1＋5
2222
14．已知函数y＝a
n
x2
(a
n
≠0，n∈N
*
)的图象在x＝1处的切线斜率为2a
n
－
1
＋1(n≥2，n∈N
*
)，且当
n＝1时 其图象过点(2,8)，则a
7
的值为( )．
1
A.
2
B．7 C．5 D．6
二、解答题
1．已知等比数列{a
n
}满足2a
1
＋a
3
＝3a
2
，且a
3
＋2是a
2
，a
4
的等差中项．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
1
(2)若b
n＝a
n
＋log
2
a
，S
n
＝b
1< br>＋b
2
＋…＋b
n
，求使S
n
－2
n
＋
1
＋47<0成立的n的最小值．
n





2.已知在等比数列{a
n
}中，a
1
＝1，且a
2
是a
1
和a
3
－1的等差中项．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若数列{b
n
}满足b
1
＋2b
2
＋3b
3
＋…＋nb
n
＝a
n
(n∈N
*
)，求{b
n
}的通项公式b
n
.
5

*,
3．设各项均为正数的数列{a
n
}的前n项和 为S
n
，满足4S
n
＝a
2
n
＋
1
－4n－1，n∈N且a
2
，a
5
，a
14
构
成 等比数列．
(1)证明：a
2
＝4a
1
＋5；
(2)求数列{a
n
}的通项公式；
1111
(3)证明：对一切 正整数n，有
aa
＋
aa
＋…＋<
2
.
a
n
a
n
＋
1
1223













4．已知数列{a
n
}的首项a
1
＝4，前n项和为S< br>n
，且S
n
＋
1
－3S
n
－2n－4＝0( n∈N
*
)．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2 )设函数f(x)＝a
n
x＋a
n
－
1
x
2
＋a
n
－
2
x
3
＋…＋a
1
x
n
，f′(x)是函数f(x)的导函数，令b
n
＝f′(1)，求数列
6

{b
n
}的通项公式，并研究其单调性．











111
5.已知 公差不为0的等差数列{a
n
}的首项a
1
为a(a∈R)，且
a< br>，
a
，
a
成等比数列．
124
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
11111
( 2)对n∈N
*
，试比较
a
＋＋＋…＋与
a
的大小． 2
a
2
2
a
2
3
a
2
n1< br>













1
?
a
n
???
6.已知函数f(x)＝a
x
的图象过点
?
1，
2
?，且点
?
n－1，
n
2
?

????
(n∈N
*
)在函数f(x)＝a
x
的图象上．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
7

1
( 2)令b
n
＝a
n
＋
1
－
2
a
n
，若数列{b
n
}的前n项和为S
n
，求证：S
n
<5.









八、作业布置
1．已知实数a
1
，a
2
，a
3< br>，a
4
构成公差不为零的等差数列，且a
1
，a
3
， a
4
构成等比数列，则此等比
数列的公比等于________．
2．某住 宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，
则需要的最少 天数n(n∈N
*
)等于________．
3．数列{a
n
}满 足a
1
＝3，a
n
－a
n
a
n
＋
1
＝1，A
n
表示{a
n
}前n项之积，则A
2 013
＝________.
1
4．设S
n
为数列{a
n
}的前n项和，S
n
＝(－1)
n
a
n
－
2
n
，n∈N
*
，则
(1)a
3
＝________；
(2)S
1
＋S
2
＋…＋S
100
＝________.
5．现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下
面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.




8