高中数学运用曲线系解曲线方程问题专题辅导

高中数学运用曲线系解曲线方程问题
在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都 采用待定系数法求解，而采取这种
方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有 没有一些更简便的方
法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。
引入：高中《数学 》第二册（上）P
88
第4题是：如果两条曲线方程是f
1
(x，y)＝0和 f
2
(x，
y)＝0，它们的交点是P（x
0
，y
0
），求证：方程f
1
(x，y)＋λf
2
（x，y）＝0的曲线也经过点< br>P（λ是任意常数）。由此结论可得出：经过两曲线f
1
(x，y)＝0和f
2
（x，y）＝0交点的曲
线系方程为：f
1
（x，y）＋λf
2（x，y）＝0。利用此结论可得出相关曲线系方程。

一. 直线系
概念： 具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：
（1）过已知点P（x
0
，y
0
）的直线系方程y－y
0< br>＝k（x－x
0
）（k为参数）
（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）
（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）
（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）
（ 5）过直线l
1
：A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0与l
2
：A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0 的交点的直线系方程：
A
1
x＋B
1
y＋C
1
＋ λ（A
2
x＋B
2
y＋C
2
）＝0（λ为参数）
【例1】已知直线l
1
：x＋y＋2＝0与l
2
：2x－3y－3＝0，求经 过的交点且与已知直线3x
＋y－1＝0平行的直线L的方程。
解：设直线L的方程为
2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0。
∴（λ＋2）x＋(λ－3)＋2λ－3＝0。
∵L与直线3x＋y－1＝0平行，
??2??32??3
。
??
31?1
11
解得：λ＝。
2
∴
所以直线L的方程为：15x＋5y＋16＝0
【例2】求证：m为任 意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求
P点坐标。
分析 ：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两
直线的交点。
解：由原方程得
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①
?
x?2y?1?0
?
x?9
即
?
，
解得
?
x?y?5?0y??4
??
∴直线过定点P（9，－4）
注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

二. 圆系
概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：
（1）同 心圆系：（x－x
0
）
2
＋（y－y
0
）
2
＝r
2
，x
0
、y
0
为常数，r为参数。

（2）过两已知圆C
1
：f
1
（x，y）＝x
2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＝0。
和C
2
：f
2
（x，y）＝x
2
＋y
2< br>＋D
2
x＋E
2
y＋F
2
＝0的交点的圆系方程为：
x
2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋ F
1
＋λ（x
2
＋y
2
＋D
2
x＋E2
y＋F
2
）＝0（λ≠－1）
若λ＝－1时，变为（D
1< br>－D
2
）x＋（E
1
－E
2
）y＋F
1－F
2
＝0，
则表示过两圆的交点的直线。
其中两圆相交时，此直线 表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的公
切线，当两圆相离时，此直线表示与两圆连心 线垂直的直线。
（3）过直线与圆交点的圆系方程：
设直线L：Ax＋By＋C＝0与圆C ：x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则过直线L与圆C
交点的 圆系方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0。

【例3】高中《数学》第二册（上）P
82
第8题是：求经过两圆x
2
＋y
2
＋6x－4＝0和x
2
＋y
2
＋6y－ 28＝0的交点，并且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程。
解：根据（2）设所求圆的方程为： x
2
＋y
2
＋6x－4＋λ(x
2
＋y
2
＋6y－28)＝0。
即（1＋λ）x
2
＋(1＋λ)y
2
＋6x ＋6λy－(4＋28λ)＝0。
其中圆心为（
?
33?
），
，?
1??1??
又该圆心在直线x－y－4＝0上
即
?33?
??4?0
，得
?
＝－7。
1??1 ??
∴所求圆方程为x
2
＋y
2
－x＋7y－32＝0。

【例4】高中《数学》第二册（上）P
72
第9题是：
求经过两条曲线x
2
＋y
2
＋3x－y＝0 ①和3x
2
＋3y
2
＋2x＋y＝0 ②交点的直线方程。
分 析：此题常规方法是联立解方程组得交点坐标，再用两点式写出直线方程。若用（2）
中方法则非常简单 。
解：先化②为圆的一般式方程：
21
③
x?y?0

33
21
由①－③得：
(3?)x?(?1?)y?0

3 3
x
2
?y
2
?
即7x－4y＝0。此为所求直线方程。
【例5】求过直线2x＋y＋4＝0和圆
x
2
?y
2
?2x ?4y?1?0
的交点，且过原点的圆方
程。
解：根据（3），设所求圆的方程为：
x
2
?y
2
?2x?4y?1??(2x?y?4)?0
。
即
x
2
?y
2
?2(1??)x?(??4)y?(1?4 ?)?0
，因为过原点，所以1＋4
?
＝0，得
?
＝
?1
。
4
故所求圆的方程为：
x
2
?y
2?
317
x?y?0
。
24

三. 椭圆系
y
2
x
2
y
2
x
2
??1
（λ ＞（1）与椭圆
2
?
2
?1
（半焦距为c）共焦点的椭圆系方程：< br>2
?
ab??c

c
2
）
x
2
y
2
x
2
y
2
（2）与椭圆
2
?
2
?1
具有相同离心率的椭圆系方程为
2
?
2
? ?
（λ＞0）。
abab

【例6】求经过点（2，－3），且与椭圆9x
2
＋4y
2
＝36有共同焦点的椭圆方程。
解：因已知椭圆焦点在y轴上，且c
2
＝5，
y
2
x
2
??1
则可设所求椭圆方程为：
??? 5
49
又经过点（2，－3），代入方程得：
??1
，解得：
?＝10或
?
＝－2（舍去）
???5

x
2
y
2
??1
有相同离心率且经过点（2，－
3
）的椭圆的标准方程。 【例7】求与椭圆
43
解：由题意，设所求椭圆方程为
x
2
y
2
??t(t＞0)
。
43
2
2
(?3)
2
??2
。 ∵椭圆过点（2， －
3
），故
t?
43
x
2
y
2
? ?1
。 故所求的椭圆方程是
86

三. 双曲线系
y
2
x
2
y
2
x
2
?
2
（1）与双曲 线
2
?
2
?1
共焦点的双曲线系方程：＝1（0＜λ＜c
2
＝
?
c??ab
x
2
y
2
x
2
y
2
（2）与双曲线
2
?
2
?1
共渐近线 的双曲线系方程为
2
?
2
??
（λ≠0）
abab
（3）等轴双曲线系方程为：x
2
－y
2
＝λ（λ≠0）
x
2
y
2
??1
共渐近线且过点A（
23,?3
）的双曲线方程。 【例8】求与双曲线
169
分析：一般解法是分类讨论，还需解方程组。
利用（2）可简化运算。
解：设所求双曲线方程为：
x
2
y
2
???
（λ≠0）
169
因为过点A（
23,?3
），
1291
所以
???,???
。
1694
x
2
y
2
1
???
所求双曲线方程为：
1694
y
2
x
2
??1
。 即
94
后记：应用曲线系方程不当时也会失效。
【例9】求以圆x
2
＋y
2
＝5与抛物线y
2
＝4x的公共弦为直径的圆的方程。

分析：常规解法是：
22
?
?
x
1
?1
?
x
2
?1
?
x?y?5
，解得
?
，
由
?

?
2
y?2y??2
?
?
1
?
2
?
y?4x
得圆方程：（x－1）
2＋y
2
＝4
若用曲线系方程思想，则可构造方程为
（x
2< br>＋y
2
－5）＋λ（y
2
－4x）＝0（*）
即x
2
＋(1＋λ)y
2
－4λx－5＝0。
则λ＝0时为圆方程，显然为已知圆，不是所求圆。
错误原因分析：由已知两曲线方程得到方 程（*），方程（*）是过已知两曲线交点的曲
线，但方程（*）不能包含过已知两曲线交点的所有曲线 ，比如：两直线x＋y＝0，x－y＝0
的交点是（0，0），而y
2
＝4x，（x－ 1）
2
＋y
2
＝1等曲线也都过（0，0），但这些曲线不能从
直线 系中得到。所以，应用时要具体问题具体分析。