黄冈市高中数学选修2-3学习笔记(或培训辅导)集

黄冈市高中数学选修2-3学生培训辅导学案集
一、排列、组合和二项式定理
m
n
⑴排列数公式:
A
n
=n(n-1)(n-2)…(n-m＋ 1)=
(n?m)!
(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列
A
n< br>=n(n-1)(n-2)…
0
?1
; 3.2.1=n!，
A
n
m
A
n
m
A
m
n!
⑵组合数公式：< br>C?
m
n
?
n?(n?1)???(n?m?1)
（m≤n） ,
C
0
?C
n
?1
；
nn
m?(m?1 )?(m?2)???3?2?1
12n
;C
n
m
?C
n< br>m?1
?C
n
m
?1
；
C
n
?2C
n
???nC
n
?n?2
n?1
； ⑶组合数性质：
C
n
?C
n
mn?m
0n1n?11kn?kknn
a? C
n
ab???C
n
ab???C
n
b(n?N
?
)
⑷二项式定理：
(a?b)
n
?C
n
rn?r r
ab(r?0,1,2,...,n);
②注意二项式系数与系数的区别； ①通项：
T
r?1
?C
n
⑸二项式系数的性质：
mn?m
?C
n
①与首末两端等距离的二项式系数相等（
C
n
）；
n
n?1
n
n?1
②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数 （
C
2
）最大；若n为奇数，中间两项（第+1和+1
n
2
2
2
n?1
2
n
n?1
2
n
项）二项式系 数（
C
，
C
）最大；
012n0213
?C
n< br>?C
n
?????C
n
?2
n
;C
n
?C
n
?????C
n
?C
n
?????2
n? 1
;
③
C
n
(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和 时，注意运用代入法（取
x??1,0,1
）。
（7）二项式的应用
（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；
（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①(1+x)
n
≈1+nx；②(1+x)
n
≈1+nx+
n(n?1)
2
x； （5）证明不等式。

2
二.
随机变量
1．随机变量的概念
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变 量。随机变量常用希腊字母ξ、η等表示。
对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。 注：随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=aξ +b(a、b
是常数)也是随机变量。
2．离散性随机变量的分布列： 一般地，设离散型随机变量
?
可能取得值为： X1，X2，…，X3，…，
?
取每一个值Xi（I=1，2，…）的概率为P（
?
?xi)?P
，则称表
?

P
X1
P1
X2
P2
…
…
xi
Pi
…
…
为随机变量
?
的概率分布，简称
?
的分布列。
两条基本性 质：①
p
i
?0(i?1,2,
…)；②P
1
+P
2
+…=1。
3条件概率

3.1. 条件概率的定义
定义1.5 设A，B为两个事件，且P（B）＞0,则称P（AB）P（B）为事件B已发生的条件 下事件A发生的条件
概率，记为P（A|B），即 P（A｜B)= P(AB)P(B)
定理1.1（乘法定理） 设P（A）＞0，则有 P（AB）=P（A）P（B｜A）
易知，若P（B）＞0，则有 P（AB）=P（B）P（A｜B）
注：①0
?
P（B|A）
?
1 ；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（ B）。

4．独立
相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的 概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件。

独立重复试验：若n次重复试验中，每次 试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。

公式： (1 )两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P（A·B）=P（A）·P（B）；< br>
推广：若事件A
1
，A
2
，…，A
n
相互 独立，则P(A
1
·A
2
…A
n
)=P(A
1)·P(A
2
)·…·P(
n
)。

(2)如果在一次 试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：
k
P
n
(k)=C
n
P
k
(1－P)
n-k
。
5．随机变量的均值和方差
（1）随机变量的均值：
E
?< br>?x
1
p
1
?x
2
p
2
?
…；反映随机变量取值的平均水平。
2
（2）离散型随机变量的方差：
D
?
?(x
1
?E
?
)
2
p
1
?(x
2
?E
?
)
2
p
2
?
…
?(x
n
?E
?
)p
n
?
…；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。 基本性质：
E(a
?
?b)?aE< br>?
?b
；
D(a
?
?b)?aD
?
。
6．几种特殊的分布列
（1）两点分步
两点分布：对于一个随机试验，如果它的结 果只有两种情况，则我们可用随机变量
?
?
?
2
甲结果发生,
?
1
.
?
0 乙结果发生
，来描述
这个随机试验 的结果。如果甲结果发生的概率为P，则乙结果发生的概率必定为1－P，所以两点分布的分布列为：
?

1 0
P
均值为E
?
=p，方差为D
?
=p（1－p）。
P 1－p
（2）
超几何分布：
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其 中恰有X件次品，则
kn?k
C
M
C
N?M
P(X?k)? ,k?0,1,?m,m?min{M,n},
其中，
n?N,M?N
。
n
C
N
称分布列
X 0 1 … m
0n?01n?1mn?m
C
M
C< br>N
C
M
C
N
C
M
C
N?M?M?M
P …
nnn
C
N
C
N
C
N
为超几何分布列， 称X服从超几何分布。
（3）二项分布
如果我们设在每次试验中成功的概率都为P，则在n 次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，
kk
则ξ服从二项分布．则在n 次试验中恰好成功k次的概率为：
P
?
??k
?
?C
np
?
1?p
?
n?k
.

n
n
C
n
1?p
?

n
p
?
0
二项分布的分布列为：
ξ
P
0
n
1
n?1
…

…

k
C
k
1?p
?
n
p
?
n?k
…

…
0
1
C
0
1?p
?
C
1
1?p
?
n
p
?
n
p
?
kkn?k
记ε是n次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B（n，p）；其概率
P
n
(k)?C
n
pq(q?1?p,k?0,1,2,
…