北京市高中数学会考-高中数学教材新版电子版
《托勒密定理及其应用》
托勒密定理:圆内接四边形中,两条对
角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和
(一组对边所包矩形的面积与另一组对边
所包矩形的面积之和).
即:
设四边形ABCD内接于圆,则有:
AB?CD?AD
?BC?AC?BD;
定理:在四边形ABCD中,有:AB?CD?AD?BC?AC?B
D
并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时,等式成立;
证:在四边形ABCD内取点E,使?BAE??CAD,?ABE??ACD
则:?ABE和?ACD相似
A
?AB?CD?AD?BC?AC?BD
一、直接应用托勒密定理
ABBE
??AB?CD?AC?BE
ACCD<
br>ABAE
又??且?BAC??EAD
ACAD
??ABC和?AED相似BCED
???AD?BC?AC?ED
ACAD
?AB?CD?AD?BC?A
C?(BE?ED)
?
D
E
B C
且等号当且仅当E在BD上时成立,即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立;
例1
如图2,P是正△ABC外接圆的劣弧
上任一点(不与B、C重合), 求证:PA=PB+PC.
二、完善图形 借助托勒密定理
例2
证明“勾股定理”:在Rt△ABC中,∠B=90°,求证:AC=AB+BC
例3 如图,在△ABC中,∠A的平分
线交外接∠圆于D,连结BD,求证:AD·BC=BD(AB+AC).
三、构造图形 借助托勒密定理
例4
若a、b、x、y是实数,且a+b=1,x+y=1.求证:ax+by≤1.
2222
222
四、巧变原式 妙构图形,借助托勒密定理
例5
已知a、b、c是△ABC的三边,且a=b(b+c),求证:∠A=2∠B.
五、巧变形 妙引线
借肋托勒密定理
2
例6 在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,
练习:
1.已知△ABC中,∠B=2∠C。求证:AC=AB+AB·BC。
2. 已知正七边形A
1
A<
br>2
A
3
A
4
A
5
A
6
A<
br>7
。求证: 。(第21届全苏数学竞赛)
22
3.由?ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB
作垂线PK、PL和PN,
BCACAB
求证:??
PKPLPM
高中数学算错扣多少分-高中数学每日一趣题
高中数学课本所有答案-在高中数学重要吗
2009全国高中数学联赛湖北赛区获奖名单龚瑨-高中数学百度云视频
高中数学竞赛组合用哪本书-高中数学点线面在哪本书学
高中数学向量pa pb=pc-洛阳高中数学老师招聘
高中数学有哪些简单的内容-高中数学教学视频排列小数老师
高中数学常用数学思想方法有哪些-网上教育培训研修日志高中数学
蓬安高中数学哪有家教-高中数学双曲线焦点弦长
-
上一篇:初三升高一寒暑假培训班数学教材
下一篇:高三数学辅导专题 .