山东省临沭县高考补习学校高三数学阶段考试(理)

山东省临沭县高考补习学校2009年高三阶段性检测
数学（理）试题
本试卷分 第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试
卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案 标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第 Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的
位置， 不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带
纸、修 正带.不按以上要求作答的答案无效．
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?
1
4．参考公式：
V
棱锥
=S
底面
h
，标准差
s?
3
n
(x
n?x)
2
第Ⅰ卷
（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目
要求的选项.
1.给定下列结 论：
①已知命题
p
：
?x?R,tanx?1
；命题
q：
?x?R,x?x?1?0.
则命题“
p??q
”是
假命题；
②“命题
p?q
为真”是“命题
p?q
为真”的必要不充分条件；< br>③命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；
2
④函数y?2
?x
与函数
y?log
1
x
互为反函数.
2
正确的个数是 （ ）
A．1 B．2
2.已知
M?{y|y?(
C．3 D．4
1?i
4n
1? x
),n?N
?
}
（其中
i
为虚数单位），
N?{ x|y?lg}
，
1?x
2
P?{x|x
2
?1,x?R}
则以下关系中正确的是（ ）
A．
M?N?P
B．
C
R
M?P?N
C．
P?N?M
D．
C
R
(P?N)??
3.给出下列四个命题，其中正确的一个是（ ）
2
A．在线性回归模型中，相关指数
R
?0.80
，说明预报变 量对解释变量的贡献率是
80%
B．在独立性检验时，两个变量的
2?2
列 联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有
关系成立的可能性就越大
22
C．相关指数
R
用来刻画回归效果，
R
越小，则残差平方和越大，
模型的拟合效果越差
D．随机误差
e
是衡量预报精确度的一个量，它满足
E
（
e
）=0
4.如果执行右面的程序框图，那么输出的
S?
（ ）
A．1
B．
10199
98
C． D．
100100
99

5. 若
a?2
，则函数
f(x)?
1
3
x?ax
2
?1在区间(0,2)
上
3
1cm
2cm
正视图
3cm
侧视图
恰好有
D． 3个零点
（ ）
A．0个零点 B．1个零点 C．2个零点
6.如图是一个几何体的三示图，该几何体的体积是（ ）
俯视图

A．
23
B．
3

C．
33

4
33
D．
2
7．在
?ABC
中，已知向量
AB?(cos18
?
,cos72
?
)
，
BC?(2cos63
?
,2cos27
?
)
，则
?ABC
的面积等于
（ ）
223
B． C． D ．
2
242
8．
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
是
1,2,3,4
的任一排列，
f
是{1,2,3,4}
到
{1,2,3,4}
的一一映射，且满足
f(i) ?i
，记数表
A．
a
2
a
3
a
4

??
a
1

?
f(a) f(a) f(a) f(a)
?
.若数表
M,N
的对应位置上至少有一个不同，就说
M,N
是两张不同的
1234< br>??
数表。则满足条件的不同的数表的张数为（ ）
A．144 B．192 C．216 D．576
x
2
y
2
??1
的离心率e等于 9．两个正数a、b的等差中项是5，等比中项是4。若a＞b，则双曲线
ab
（ ）
17
D．
3
50
10. 已知在平面直角坐标系中，
O(0,0),A(1,?2),B(1,1),C(2,?1)
，动点
M(x,y)
满足条件
A．
35
B．
22
C．
?
?
?2?OM?OA?2
, 则
z?OM?OC
的最大值为（ ）
?
?
?
1?OM?OB?2,
A．-1 B．0 C．3 D．4
11. 一支足球队每场 比赛获胜（得3分）的概率为
a
，与对手踢平（得1分）的概率为
b
，负于对 手（得
0分）的概率为
c
(a,b,c?(0,1))
，已知该足球队进行一 场比赛得分的期望是1，则
A．
11
（ ）
?
的最小值为
a3b
10
17
D．
3
3
2
12． 已知函数
f
?
x
?
?4?x
， 定义在
(??,0 )?(0,??)
上的奇函数
g
?
x
?
，当
x?0
时
g
?
x
?
?log
2
x
，则函数
y?f(x)?g(x)
的大致图象为 （ ）
B．C．
16

3
14

3

y y
0
A
x 0
B

y


0 x x


C


第Ⅱ卷（共90分）

y
0
D
x
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 答案填在题中横线上.
13．类比在 平面几何中关于角的命题“如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别垂直，则这两个角
相等或互补” ，写出在空间中关于二面角相应的一个命题 ；该命题是
命题（填“真”或“假”）.

14．在△A BC中，已知
sinA?sinC?2sinB,且?B?
于 .
?
1
,若ABC的面积为
，则∠B的对边b等
62
15． 已知抛物线
y?2px
(p?0)
，过点
M(2p,0)
的直线与抛 物线相交于
A
,
B
,
OA?OB?
.
16. 电视机的使用寿命显像管开关的次数有关.某品牌电视机的显像管开关了10000次还能继 续使用的
概率是0.96，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80，则已经开关了100 00次的电视机显像管
还能继续使用到15000次的概率是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分，写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.
17 ．（本小题满分12分）
2
2
设函数
f(x)?3sinxcosx?cos x?a.
（Ⅰ）写出函数
f(x)
的最小正周期及单调递减区间；
（ II）当
x?[?
??
3
,]
时，函数
f(x)
的 最大值与最小值的和为，
f(x)
的图象、
y
轴的正半轴及
x
轴
63
2
的正半轴三者围成图形的面积.




18．（本题满分12分）
某校有一贫困学生因病需手术治疗，但现在还差手术费
1 .1
万元，团委计划在全校开展爱心募捐活动，
为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与，特举 办“摇奖100%中奖”活动.凡捐款10元者，享受一次摇
奖机会，如图是摇奖机的结构示意图，摇奖 机的旋转盘是均匀的，扇形区域
A,B,C,D,E
所对应的圆心
角的比值分别为1： 2：3：4：5.相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖，奖品分别为价值分别为5
元、4元、3元 、2元、1元的学习用品.摇奖时，转动圆盘片刻，待停止后，固定指针指向哪个区域（边
线忽略不计） 即可获得相应价值的学习用品（如图指针指向区域
C
，可获得价值3元的学习用品）.
（Ⅰ）预计全校捐款10元者将会达到1500人次，那么除去购买学习用品的款项后，剩余款项是否能帮
助该生完成手术治疗？
（II）如果学生甲捐款20元，获得了两次摇奖机会，求他获得价值6元的学 习用品的概率.








19．（本小题满分12分）
如图，在四棱台ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，下底ABCD是边长
为2的正方形，上底A< br>1
B
1
C
1
D
1
是边长为1的正方形，侧棱DD
1
⊥平面ABCD，DD
1
=2.
（Ⅰ）求证：
B
1
B
平面
D
1
AC
；
4元
5 元
A
B
E
1元
3元
C
D
2元
D< br>1
A
1
B
1
C
1
（II）求二面角
B
1
?AD
1
?C
的余弦值.
D
A
BC


20．（本小题满分12分）
过点
P(1,0)作曲线
C:y?x(x?(0,??),k?N,k?1)
的切线，切点为
M1
，设
M
1
在
x
轴上的投
影是点
P< br>1
；又过点
P
1
作曲线
C
的切线，切点为
M
2
，设
M
2
在
x
轴上的投影是点
P
2
；……依此下去，
得到一系列点
M
1
，
M
2< br>，…
M
n
,
…；设它们的横坐标
a
1
,a< br>2
,????,a
n
…构成数列为
?
a
n
?
.
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
k ?

（II）当
k?2
时，令
b
n
?
n
,
求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
a
n



21．（本题满分12分 ）
2
设
f(x)?(x?ax?a)e,x?R
.
?x
（Ⅰ ）确定
a
的值，使
f(x)
的极小值为0；
（II）证明：当且仅当
a?3
时，
f(x)
的极大值为3.




22.（本小题满分12分）
x
2
y
2
3已知椭圆
C
1
：
2
?
2
?1(a?0,b?0 )
的离心率为，直线
l:y?x?2
与以原点为圆心、椭圆
C
13
ab
的短半轴长为半径的圆
O
相切。
（Ⅰ）求椭圆
C
1
的方程；
（II）设椭圆
C
1
的左焦点为
F
1
，右焦点为
F
2
，直线
l
1
过点
F
1
且垂直于椭圆的长轴，动直线
l
2垂直于
l
1
，
垂足为点
P
，线段
PF
2
的垂直平分线交
l
2
于点
M
，求点
M
的 轨迹
C
2
的方程；
（III）设
C
2
与
x
轴交于点
Q
，不同的两点
R,S
在
C
2
上，且满足
QR?RS?0
，求
QS
的取值范围。

数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目
要求的选项.
（1）C （2）B （3）D （4）C （5）B （6）B
（7）A （8）C （9）B （10）D （11）A （12）B
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 答案填在题中横线上.
13. 如果一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角相等或互补 假
14.
3?3
15. 0 16.
5
6

3
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17． 解：（Ⅰ）
f(x)?
31?cos2x
?
1
………2分
2
sin2x?
2
?a?sin(2x?
6
)?a?
2,
?T?
?
.
………4分
由
?
?2k
?
?2x?
?
?
3
?
262
?2k
?< br>得
?
6
?k
?
?x?
2
?
3
?k
?
.
………6分
故函数f(x)的单调递减区间是[
?2
?
6
?k
?
,
3
?k
?
] (k?Z).
（II）
??
?
6
?x?
?
3,??
?
6
?2x?
?
6
?
5
?6
,??
1
2
?sin(2x?
?
6
)?1.


当x?
?
?
??
?
1113?
?
6
,
3
?
?
时,原函数的最大值与最小值 的和（1?a?
2
)?(?
2
?a?
2
)?
2,?a?0.
……8分
?f(x)?sin(2x?
?
1
6< br>)?
2
.
f(x)
的图象与x轴正半轴的第一个交点为
(?
2
,0)
………10分
所以
f(x)
的图象、
y
轴的正半轴及
x
轴的正半轴三者围成图形的面积
?
S< br>=
?
2
?
11
?
x
?
23?
?
0
[sin(2x?
6
)?
2
]dx?[?
2
cos(2x?
6
)?
2
]
0
2
?
4
.
…12分
18． 解：（Ⅰ）设摇奖一次，获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为
A,B,C,D,E
.
则其概率分别为
P(A)?
1
1?2?3?4?5
?
1< br>15
,P(B)?
2
15
,P(C)?
31451
1 5
?
5
,P(D)?
15
,P(E)?
15
?3
.
……3分
设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为
?
，则的分布列为：


?

1 2 3 4 5

P

14


1

2

1


31551515
E
?
?1?
1
3
?2?
4
15
?3?
1
5
?4?
2
15
?5?< br>1
15
?
7
3
.………6分
若捐款10元者达到1 500人次，那么购买学习用品的款项为
1500E
?
?3500
（元）,
除去购买学习用品的款项后，剩余款项为
1500?10?3055?11500
（元 ）,
故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗. ………8分
（II）记事件“学生甲捐款2 0元获得价值6元的学习用品”为
F
，
P(F)?C
1
2
?
1
15
?
5
15
?
3
15
?3
15
?C
1
247
2
?
15
?15
?
45
.
即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为< br>7
45
.
………12分
则

19． 以D为原 点，以DA、DC、DD
1
所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，则 有A
（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A
1
（1，0，2）， B
1
（1，1，2），C
1
（0，1，2），D
1
（0，< br>0，2）. … 3分
（Ⅰ）证明：设
AC?BD?E,连结D
1
、E，
则有
E(1,1,0),D
1
E?B
1
B?(1,1 ,?2),
所以
B
1
BD
1
E
，
?
BB
?平面
D
1
AC
，
D
1
E
?平面
D
1
AC
，∴
B
1
B
平面
D
1
AC
；………6分

（II）解：
D
1
B
1
?(1,1,0),D
1
A?(2,0,?2),

设
n?(x,y,z)
为平面
AB
1
D
1
的法向量 ，
z
D
1
A
1
B
1
C
1
n?B
1
D
1
?x?y?0,n?D
1
A?2x?2z? 0.

于是
令x?1,则y??1,z?1.
n?(1,?1,1)
………8分 < br>同理可以求得平面
D
1
AC
的一个法向量
m?(1,1,1)
，………10分
C
y
1
cos?m,n???.
∴二 面角
B
1
?AD
1
?C
的余弦值为
A
B< br>|m||n|
3
x
1
. ………12分
3
k
k'k?1
20． 解：（Ⅰ）对
y?x
求导数，得< br>y?kx
，切点是
M
n
(a
n
,a
n
)
的切线方程是
m?n
D
kk?1
y?a
n
?k a
n
(x?a
n
)
.…2分
k
;
k? 1
a
k
kk?1
当
n?1
时，切线过点
P
n?1
(a
n?1
,0)
，即
0?a
n
?kan
(a
n?1
?a
n
)
，得
n
?.
a
n?1
k?1
kk
所以数列
?
a
n
?
是首项
a
1
?
，公比为的等比数列，
k? 1k?1
k
n
所以数列
?
a
n
?
的通项公 式为
a
n
?(),n?N
?
.………4分
k?1
123n
n
（II）当
k?2
时，
a
n
?2,数列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
=
?
2
?
3
???
n
,
2
222
1123n
1
同乘以，得
S
n
=2
?
3
?
4
?
?
?
n?1
,
两式相减，…………8分
2
2
2222
11
(1?
n
)
1
1111n
2
?
n
?1?
1?
n
，
得
S
n
=
?
2
?< br>3
?
?
?
n
?
n?1
?
2
1
2
2
22222
n?1
2
n
2
n?1< br>1?
2
n?2
所以
S
n
=
2?
.… ……12分
n
2
2?x
21．解：（Ⅰ）由于
f(x)?(x?a x?a)e,
所以
f
?
(x)?(2x?a)e
?x
?( x
2
?ax?a)e
?x
??e
?x
[x
2
?(a?2)x].
………2分
令
f
?
(x)?0解得x?0或x?2?a
,
当a=2时，
f
?
(x)?0恒成立,此时f(x)无极值.
当
n?1
时，切线过点
P(1,0)
，即
0?a
1?ka
1
(1?a
1
)
，得
a
1
?< br>kk?1
所以2－a≠0.
① 当2－a>0，即a<2时，
f
?
(x)和f(x)
的变化情况如下表1：

(??,0)

x
0 (0,2－a) 2－a (2－a,+∞)
－
f
?
(x)

－ 0 + 0

↘ 极小值 ↗ 极大值
此时应有f(0)=0，所以a=0<2；
②当2－a<0，即a>2时，
f
?
(x)和f(x)
的变化情况如下表2 ：
f(x)

↘
x
(??,2?a)

－
↘
2－a
0
极小值
2
(2－a,0)
+
↗
a?2
0
0
极大值
(0,+∞)
－
↘
f
?
(x)

f(x)

而
e
a?2
此时应有
f(2?a)?0,即[(2?a)?a(2?a)?a]e?0,

?0,所以应有(2?a)
2
?a(2?a)?a?0?a?4?2.

综上可知，当a=0或4时，
f(x)
的极小值为0. ………6分
（II）若a<2，则由表1可知，应有
f(2?a)?3,
也就是
[( 2?a)
2
?a(2?a)?a]e
a?2
?3,即(4?a)e
a ?2
?3.

a?2a?2
?(4?a)e
a?2
?ea?2
(3?a).
设
g(a)?(4?a)e,则g
?
(a)??e
由于a<2得
g
?
(a)?0,从而有g(a)?g(2)?2?3.

?3
无解. ………8分 所以方程
(4?a)e
若a>2，则由表2可知，应有
f
(0)=3，即a=3. ………10分
综上可知，当且仅当a=3时，
f
(
x
)的极大值为3. ………12分
a?2
3
b
2
2
2
22. 解：（Ⅰ）由
e?
得，
2
?1?e?
；……4分
3
3
a
2
222
?b
，所以，
b?2,a?3
。所 以椭圆的方由直线
l:x?y?2?0
与圆
x?y?b
相切，得
2< br>x
2
y
2
??1
.……4分 程是
32
（I I）由条件知，
MF
2
?MP
，即动点
M
到定点
F
2
的距离等于它到直线
l
1
：
x??1
的距离，由 抛物
线的定义得点
M
的轨迹
C
2
的方程是
y?4x
. ……8分
22
y
1
2
y
2
y1
2
y
2
?y
1
2
,y
1
)
，
S(,y
2
)
，所以
QR?
(,y
1< br>)
，
RS?(,y
2
?y
1
)
. （III ）由（2）知
Q(0,0)
，设
R(
4444
2
y
1
2
(y
2
?y
1
2
)
16
?y
1
(y
2
?y
1
)?0
.因为
y
1
?y
2
，化简得
y
2
??y
1
?
，……10分 由
QR?RS?0
，得
y
1
16
2562 56
2
?y
2
?y
1
2
?
2
?3 2?2256?32?64
（当且仅当
y
1
2
?
2
，即
y
1
??4
时等号成立）. ……12
y
1
y
1
2
2
y
2
1
2
222
?64< br> 分
?QS?()?y
2
?(y
2
?8)
2
?64
，又
?y
2
44
所以当
y
2
?64
，即
y
2
??8
时，
QS

2< br>min
?85
，故
QS
的取值范围是
85,??
.1 4分
?
?