高三数学同步辅导教材(第15讲)

高三数学总复习教程
（第15讲）

平面向量及其运算

一、本讲进度：向量的概念、向量的表示、向量的相等、向量的加 、减的坐标运算和几何运
算，共线向量平面向量基本定理。
二、学习内容
向量有两 要素：方向及大小（亦即摸长），特别地规定模长为零的向量为零向量，它的
??
方向不定，与 任何向量共线，向量可以用字母表示（AB、
a
、
o
等）。可用坐标（x,y ）表示，
也可用有向线段表示。值得指出的是，向量不同于有向线段。有向线段有大小，有方向，有起点，面向量有大小、有方向，但与起点无关。例如；若O(0,0) ,A(1,1) B(1,0) C(2,1) OA 与
BC 是两个不同的有向线段，可以通过平移使它们重合，但它们却是同一个向 量，从这个意
义上说，向量谈不上平移，也无须平移。
任意两个不共线的向量都可构成 基底，对平面内的任一向量，都可用这一对基底哆一点
表示，当这一对基底是互相垂直的单位向量时，就 是所谓的“坐标表示”，当向量用以原点
为始点的有向线段表示时，终点的坐标与这向量的坐标是一致的 。
两向量的和、差、数平的坐标运算法则及几何意义要深刻了解。
向量< br>a
与非量向量
b
共线的充要条件是
a
=入
b
（入
?R
），A、B、C三是共线的充要
条件是OC =
n
OA +
n
OB 且m+n=1（O为平方内任意一点）。
三、典型例题讲评
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
例1．非零向量
l
1
与
l
2
不共线， 若AB =2
l
1
+3
l
2
, BC =6
l1
+23
l
2
,CD=4
l
1
-8
l
2
，则A、B、D
三点共线
要证A、B、D三点共线，只要看，是 否存在实数入，使AB=入BD，故应先求BD。
（BD=BC+CD）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
llll
l llll
也可先求CA=-(AB+BC)=-8
1
-26
2
CB=6
1
-23
2
设-8
1
-26
2
=m(-6
1
-23
2
)+n(4
1
-8
l
2
)
求得m=
61
、n=
?
。
55

∵m+n=1 ∴A、B、D共线
例2．用向量的方法证明：三角形三中线交于一点， 且此点与各顶点的距离等于相应中线长
的
2
。
3
向量知识是新内容，有些同学还不习惯，拿到题后觉得无从下手，这正是本讲内容的难点
所在。

设中线AD与BE交于G，AG =
?
AD 则AG=
?
（AB+AC）2=
又AE=
??
AB +AC
22
1
?
?
AC ∴AG=AB+AE
222
?
2
由E、G、B共线，知+
?
=1，
?
=
23
22
同理可证BG=BE 等，故三中线共点，且交点列三顶点距离是相应中线的。
33
例3．已知三点：A(2,1),B(3,4)，C(1,4) ，P为平面内一点是PA +PB+PC =O 求P点坐标。
设P（x,y）写出PA，PB，PC的坐标表示，再依据向量相等的条件，列方程组解出即可。 ?
??
例4．在四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC、BD的中点，记AB=a
，BC=
b
，CD=
c
。
求EF（用
a、
b
、
c
表示）
向量的加法遵循平行四边形法则，故若AD为 △ABC的中线，则AD=
?
?
?
1
（AB+BC），本题
2
中有两个中点，设法把它们逐次化为中线问题，即可解得。
?
我们也可连结CF并 延长一倍到G，∵BD、CG互相平分，BCDG为平行四边形，BG=CD=
c
，
在 △AGC中，EF为中位线，∴EF=
例5．把抛物线y=-x
2
按向量
a< br>平移后与抛物线y=x
2
-x-2的两个交点关于坐标原点对称，求
a
。
?
设出
a
=(m,n)写出平移后的抛物线方程与抛物线y= x
2
-x-2联点，利用“关于原点对称”
?
111
??
AG+（A B+BG）=（
a
+
c
）
222
?
?
x ?x
2
?0
?
?
1
，解出
y?y?0
2
?
1
判别式＞0）
m,n但求出后，必须验 明此时两面曲线相交（即相应二次方程二
?
1
??
?
例6．如图，在 梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，设BA=
a
, BC=
b
，试 以
a
，
b
为
3
基底表示BF、DF、CD
寻找需 表示的向量与基底间直接或间接的关系，熟悉向量的和、差、数积的几何意义，是解
这一类题所要求的素 养。
例7．已知向量
u
=（x,y）与向量
v
=(y,zy-x) 的对应关系记作
v
=f(
u
)
（1） 求证：对于任意向量
a
、
b
及常数m,n恒有f(m
a
+n
b
)=m f(
a
)+nf(
b
)
????
?
?
?
?
?
?
??
??
（2） 若
a
=(1,1) ,
b
=(1,0) 用坐标表示f(
a
)和f(
b
)
??
（3） 求使f(
c
)=(p、q) (p、q为常数)的向量
c
的坐标。

本题出现了“向量函数”
v
=f(
u
) ，这是我们所陌生的，故做题之前，先克服因陌生而产生
??
???
?
的情意 ，弄清f(
u
)的含义，定义f(
u
)时使用了向量的坐标，故应先把
a
、
b
用坐标表示出
?
?
来，按定义代入，看左、右所得 向量的坐标表示是否相同。（因
a
=(x
1
·y
1
), < br>b
=（x
2
·y
2
）
?
x
1
?x
2
?
?
则
a
=
b
?
?
y?y
2
?
1
做了第一小题后，（2）（3）两小题就显得很简单了
例8．已知点O（0,0）A(1,2) B（4，5）OP=OA +tAB（t
?
R）
(1) 要使P点在x轴、y轴、第二象限t分别应取什么值？
(2) 四边形OABP是否有可能是平行四边形？如可能，求出相应的t的值，如不可能说明理
由。
设p(x,y)∵OA+tAB=OA+t（OB-OA）=（1-t）OA+tOB=（1-t+4t ，2（1-t）+5t）=（1+3t，
2+3t），可知
?
?
x?1?3t
再要据题中要求，求出相应t值即可。
?
y?2?3t
在第（2）小题中， OABP为平行四边形
?
OB=OA+OP，列出方程组，有解，则t已求出，
无解， 则证明不可能。
例9．已知正方形ABCD过B作直线BE∥AC，E是在BE上，且CE=AC，直 线CE交直线
AB于F，用向量证明：AF=AE
正方形为我们建立直角坐标系，用坐标表示 向量提供了很好的条件，已知和求证中的线段相
等与相应向量的模长相等是等价的，而平行或共线可用向 量共线的条件来替代，由此题，我
们可以体会向量与解析几何之间的密切关系。
例10．已知 A（0，8），B（-4，0）C（5，-3）点D分AB为
面积的一半，求E点坐标。
由D分AB 为1∶3知B分DA为-3∶4
又△BDE面积少成多为△ABC面积的一半，故
由定比分点公式即可求出E点坐标。
四、巩固练习
1． 已知点P（2，3）分P
1
P
2
为< br>?
，其中P
1
（4,y）P
2
(x,1)又知|P
1
P|=4
2
，求x，y及
?
的
值。
?
2． ABC的三顶点分别为A(1,2) B(2,3) C(3,1) 把△ABC按向量
a
=（m,n）平移，得到
?
△
A
?< br>B
?
C
?
，若△
A
?
B
?
C
?
的重心为G’（3，3），求
A
?
B
?
C?
的坐标及
a
。
1
，E点在BC上，使△ABC
3< br>3
BE
1
BE2
??
知
?
，E分BC为2∶ 1，
4BC2
BC3
?
??
?
?
3． 已知|a
|=10，
b
=（3，-4）
a

b
，求a
。
?
??
?
4． 在正六边形ABCDEF中，记AB=< br>a
，BC=
b
，试用
a
，
b
表示CD. CE
5． 已知一个平行四边形的三个顶点分别为( 3,-2)、（5,2）和（-1，4）求它的第四个顶点的
坐标。

?
?
?
?
?
?
?
?
6．
a
与
b
为两个不共线的向量，AB=2
a
+k
b
，CB=
a
+3
b
，CD=2
a
-
b
，若 ABBD 求k
的值。
7． 在△OAB中，记OA=
a
，OB=
b
，M、N分别在边OA、OB上，且OM=
?
a
，ON=
?
b
（
?
,
?
?(0,1)
），记AN与BN的交点为P， 试用
a
与
b
表示
OP
。
?
?
?< br>?
?
?

8． 已知四点A（-3，12）B（3，-4），C（5，-4）D（5，8）求AC与BD的交点 P的坐
标，并求直线AC分BD所得的此入及P分BD所得的此
?
。
?
?
9． △OAB中，4OC=OA=
a
，2OD=OB=
b
，AD与BC的交点为M。
?
?
（1） 用
a
、
b
表示OM；
?
?
（2） 过M点作直线 与OA、OB边分别交于E、F点，若OE=P
a
·OF=q
b
，求证：1
7p
?
3
7q
=1

10．△ABC中A （-3，7）B（2，5），又知AC边中点在x轴上，BC边中点在y轴上，求
顶点C的坐标及△AB C的重心G的坐标。
五、参考答案
1．∵|p
1
p|=△
2
∴(4-2)
2
+(y-3)
2
=32 y=3±2
7

?
2?
?
?
又P分P
1
P
2
为
?
∴
?
?
3?
?
?
∴
x?2?
4?
?
x
1?
?

y?
?
1?
?
①内②
?
??7

②代入① x=2
?
3

7
2
7

y?3?27

?
?7

7
2
7

y?3?27

?
??7
或
x?2?
7
11
2．设△ABC的重 心为G，G（x,y）则x=
(1?2?3)?2
y=
(2?3?1)?2
∴G(2,2)
33

?
a
=GG’=(3-2,3-2)=(1,1) ∴
A
?
(0,1)
B
?
(1,2)

C
?
?(2,0)

?
?
?
3．∵
a
∥
b
故可设
a
=（3k,-4k）(
k?R
)
?
∵|
a
|=10 ∴9k
2
+16k
2
=100 k=±2
?
∴
a
=(6,-8)或（-6,8）
?
?
??
?
4．CD=CB+BA+AD=
?b?a?2b?b?a

?
??
?
?
CE=CD+DE=(
b?a
)+(-
a
)=
b?2a

5．记A(3,-2) B(5,2) C(-1,4)
(1) 若为平行四边形ABCD，则AC中点（亦即平行四边形对角线交点）为(1,1) 则D(2-5,2-2)
即（-3,0）
(2) 若为平行四边形ABCD，则BC中点（亦 即平行四边形对角线交点）为（2,3）则D(4-3,6+2)
即(1,8)
(3) 若为 平行四边形ADBC，则AB中点(亦即平行四边形对角线交点)为(4,0)则D(8+1,0-4)
即（9,-4）
??
?
?
??
6．BD=CD- CB=（2
a?b
）-（
a?3b
）=
a?4b
又ABBD
??
?
2?
?
??
∴
2a?k b?
?
(a?4b)
?
∴k=-8
k??4
?
?
?
n
??
n
?
7．设OP=m
a?nb ?ma??
?
b?m
OA+ON
?
?
∵N、P、A共线 ∴
m?
n
?
?1
①
同样OP=
m
??
mm
?
?
?
a?nb?
OM+nOB 而B、P、M共线 ∴
?n?1
②
?
?
?
(1??
)
?
m?
?
1?
??
?
?(1?< br>?
)
?
?
(1?
?
)
?
?
a?b
由①②可解得
?
∴OP=
1?
??
1?< br>??
?
(1?
?
)
?
n?
?
1?< br>??
?
8．设P(x,y)由定此化分点上式
3?5
?
?3?5
?
?
x??
①
?
1?
?
1?
?
?

?
?4?8
?
12?4
?
?
y?
②
?
?
1?
?
1?
?
?
样
①两边减5，可得
1?
?
?4(1?
?
)

?
?3?4
?

5
?4?8?
4[3?(3?4
?
)]
113
3
?
7
?
代入②
?
?
从而
?
?

x?
1
2
1?
?
4(1?
?
)
33
1?
3
8
?4?
3??1
p(
7
,?1
)
y?
1
2< br>1?
3
?
?
b
??
9．（1）设
OM
=
ma?nb?ma?2n?mOA?2nOD

2
3?
∵D、M、A共线， ∴m+2n=1①
?
?
a
OM
又=4m
?nb?4mOC?nOB

4
∵B、M、C共线 ∴4m+n=1②
1
?
3
?
13
由①、②解得
m?

n?
∴
OM?a?b

77
77
?
?
1
?
3
?
1313
(pa)?(qb)?OE?OF< br> （2）由（1）
OM
=
a?b?
777p7q7q7q
∵E 、M、F共线 ∴
13
??1

7p7q
x?2y?7
?0

?0

22
?3?2?27?5?75
∴C(-2,-7) 重心G：x=
??1

Y
=
?

333
5
∴G(-1,)
3
10．记AC边中点M(
M
,
O
) BC边中点n(O
,
N
)C(
X
,
Y
)由中点公式：
六、附录
??
??
??
??
例1． BD=BC+CD=(6l
1
?23l
2
)+(4
l
1
?8l
2
)=10
l
1
?15l
2
=5(2
l
1
?3l
2
)=5
AB

∴A、B、D三点共线

例2． 记两中线AD、BE交点为G，记
AG?
?
AD?
?
∵E、G、B共线 ∴
AB?AC
?
?AB?
?
AE

22
?
2
?
?
?1

?
?
2
2
同理可证
BG?BE

3
3

CG?
2
CF
∴原命题是真命题
3
例3．设P（
X
,
Y
）则
P A?(x?2,y?1)

PB?(x?3,y?4)

PC?(x?1,y?4)

∴
PA?PB?PC?(3x?6,3y?9)
令
?
?
3x?6?0
?
x?2
解得
?
∴P (2,3)
3y?9?0
y?3
?
?
例4． ∵F为BD中点 ∴
EF?
11
(ED?EB)??(DE?BE)
而E为AC中点
22
111
?
?
?
∴
DE?(D A?DC)?[DC?CB?BA?DC]?(?2c?b?a)

222
11
?
?
BE?(BA?BC)?(?a?b)

22
11
???
?
??
?
(a?c)
∴
EF??(?2c?b?a?a?b)?
42
2
?
?
?< br>y?n??(x?m)
例5．设
a?(m,n)
?
消去
y

2
?
?
y?x?x?2
2
X
2
-(2
M
+1)
X
+
M
2
-
N
-2=0 令2
M
+1=0
M
=-
1

2
1?
2
9
?
y?n??x?x?
此时原方程组即
?
有2
Y
-
N
=-2
X
-

(
X
1
,
Y
2
),(
X
2
,
Y
2
)都满足此式，
4
两式相加，
4
?
y?x
2< br>?x?2
?
99
9

∵x
1
+x
2
与
Y
1
+
Y
2
均为0，∴
?2n??< br>
n?
此
24
2
19
式方程≯之判别式△=(2< br>M
+1)
2
-8(
M
2
-
N
-2) =0-8(
??2
)=32＞0
44
19
?
∴
a?(?,)

24
代入后 相加，2(
Y
1
+
Y
2
)-2
N
=-2(
X
1
+
X
2
)-

1
?
?
1
?
1
?
?
例6．
EF?EA?AB?BF?? b?a?b?b?a

623
1
?
1
?
?
1
?
?
DF?DE?EF??b?(b?a)?b?a

6361
?
1
?
?
2
?
?

CD?CF?FD??b?(b?a)??b?a

263
例7．（1）证： 设
a?(x
1
,y
1
)

b?(x
2
,y
2
)

则
ma?nb? (mx
1
?nx
2
,my
1
?ny
2
)< br>
?
?
?
?

?
?
∴
f(ma?nb)?[my
1
?ny
2
,2(my
1?ny
2
)?(mx
1
?nx
2
)]

而
?
?
mf(a)?nf(b)?m(y
1
,2y
1
?x
1
)?n(y
2
,2y
2
?x
2
)
?(my
1
?2my
1
?mx
1
)?( ny
2
?2ny
2
?nx
2
)
?[(my
1
?ny
2
))2(my
1
?mx
1
)?(2ny
2
?nx
2
]
?[my
1
?ny
2
,2(my
1
?ny
2
)?(mx
1
?nx
2< br>)]
??
??
∴
f(ma?nb)?mf(a)?nf(b)

?
(2)f(
a
)=(1,2-1)=(1,1)
?
f(
b
)=(0,0-1)=(0,-1)

?
y?p
?
x?2p?q
?
?
(3)设
c?(x,y)
则f(
c
)=(y,2y-x) 令
?
解得
?

2y?x?q
y?p
?
?
∴
c?(2p?q,p)

例8．（1）设P（x,y）

则
OP?(x,y)

?
OA?tAB?OA?t(OB?OA)?(1?t)OA?tOB

=(1-t)(1,2)+t(4,5)=(1+3t,2+3t)
2

3
1
要使P点在y轴上，须x=1+3t=0 t= -
3
要使P点在x轴上，须y=2+3t=0 t= -
21
?
x?1?3t?0
要使P点在第二象限，须
?
t∈（-
,?
）
33
?
y?2?3t?0
（2）要使OABP是平行四边形
应使
OB?OA?OP
即（4，5）=（1，2）+（1+3t,2+3t）
?
2
t?
?
?
4?2?3t
?
3
?
?
∴t∈Ф
??
5?4?3t
?
t?
1
?
?
3
△ ABP不可能是平行四边形
例9．分别以CD、AD两边所在直线为x,y轴，以正方形边长为单位长 建立直角坐标系，则
D(0,0) C(1,0) A(0,1) B(1,1) 设E(m,n) 则
BE?(m?1,n?1)

AC?(1,?1)

CE?(m?1,n)

BEAC?
m?1n?1
22
?

CE?AC?(m?1)?n?2

1?1

??
m?
3?3
?
3?3
解得
?
?
m?
?
2
或
?
2

?
?3
?
n?
1
?
n?
1?3
?
?
2
?
?
2
设F(f ,-1) 则
CF?(f?1,1)

CF与CE
共线 故
m?1
f?1
?
n
1
∴f=
3?1
或—
3?1

AE?(
3?3
2,
3?1
2
)或(
3?3?1?3
2
,
2)

AF?(3?1,0)或(?3?1,0)

22
∵
?
?
3?3
?
?
?
?
?
?
3? 1
?
?
?(3?1)
2
[(
3
)
2
?
1
]?(3?1)
2
?
2
?

??
?
2
?
?
24
?
3?3
?
22

?
?
?
?
?
?
?1?3
?
?
?(?1?3)
2
[(
3
)
2
?< br>1
]?(?1?
?
2
?
3)
2

?
?
?
2
?
?
24
∴
AE?AF
即AE=AF
例10．由已知
AD
DB
?
1
3
即
BD
BA
?
3
31
4
设E分
BC
为
?
则有
4
?
?
2

?
?
?4?
2
?5
?
x?
3
??
2
?
1?
2
5
设E(x,y)
?
?
3
2
?
2
∴
E(?
6
5
,?
5
)

?
0?
?
y?
3
?(?3)
6
?
2
??
?
1?
5
3
?
?
2
3