高中数学必修1第三章试题及答案

数学必修1第三章测试题
班别 姓名 学号 考分
一、选择题:本大题共12小题，每 小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 函数
y?log
x?1
(5?4
x
)
的定义域是（ ）。
A.
(?1,0)
B.
(0,log
4
5)
C.
(?1,log
4
5)
D.
(?1,0)?(0,log
4
5)

2. 函数
y?log
a
(x?2)?1
的图象过定点（ ）。
A.（1，2） B.（2，1） C.（-2，1） D.（-1，1）
3. 设
f (log
2
x)?2
x
(x?0)
，则
f(3)
的 值为（ ）。
A. 128 B. 256
2
C. 512 D. 8
4.
5
log
5
(?a)
化简的结果是（ ）。
B.
a

2
A. –
a
C. |
a
| D.
a

5. 函数
y?0.2
?x
?1
的反函数是（ ）。
A.
y?log
5
x?1

C.






B.
y?log
5
(x?1)

y?log
x
5?1
D.
y?log
5
x?1

6. 若
y?log
3a< br>2
?1
x
在（0，+∞）内为减函数，且
y?a
?x
为增函数，则
a
的取值范围是
（ ）。
A.
(
3
3
,1)
B.
(0,
1
3
)
C.
(0,
3
3
)
D.
(
3
3
,
6
3
)

7. 设x?0,且a
x
?b
x
?1,a,b?0
，则
a
、
b
的大小关系是（ ）。
A.
b
＜
a
＜1 B.
a
＜
b
＜1 C. 1＜
b
＜
a

8. 下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（ ）。
1
D. 1＜
a
＜
b

A.
y?2
x

?
1
?
B.
y?
??
?
2
?
1?x
C.
y?()
x
?1
D.
y?1?2
x

2
1
100
1
9. 设偶函数
f(x)
在[0，π ]上递减，下列三个数
a
=
f(lg
系为（ )。
A.
a
＞
b
＞
c
B.
b
＞
a
＞
c

),b?f(
?
2
),c?f(?
2
?
3
)
的关
C.
b
＞
c
＞
a
D.
c
＞
a
＞
b

1

10. 已知0＜
a
＜1，
b
＞1，且
ab
＞1，则下列不等式中成 立的是（ ）。
A.
log
a
b?log
b
C.
log
a
b ?log
a
1
b
1
b
?log
a
?log
b
1
b
1
b




B.
log
b
D.
log
b
1
b1
b
?log
a
b?log
a
?log
a1
b
1
b

?log
a
b

11. 定义运算
a?b
为：
a?b?
?
（ ）。
A. R
1
c
1
a
?
a,(a?b)< br>?
b,(a?b),
如
1?2?1
，则函数
f(x)
?2
x
?2
?x
的值域为

1
b
B. （0，+∞）
2
c
2
a
1
b
C. （0，1]
1
c
2
a
2
b
D. [1，+∞）
2
c
1
a
2
b
12. 设
a
、< br>b
、
c
都是正数，且
3
a
?4
b
? 6
c
，则以下正确的是（ ）。
A.
??
B.
??
C.
??
D.
??

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
?
13.
?
?
?
1
x
3
3x
?2
?
?
?
?
?
8
5
化成 分数指数幂为 。
14. 若不等式
log
a
(x?3) ?log
a
(x?2)
成立，则
x
的取值范围是 ，
a
的取值范围是 。
15. 已知
log
4m
(9m?2)?0
，则
m
的取值范围是 。
16. 给出下列四种说法：
⑴ 函数
y?a
x
(a?0,a ?1)
与函数
y?log
a
a
x
(a?0,a?1)
的定义域相同；
⑵ 函数
y?x
3
与y?3
x
的值域相同；
⑶ 函数
y?
1
2
?
1
2?1
x
与y?
(1?2)
x?2
x
x2
均是奇函数；
⑷ 函数
y?(x?1)
2
与y?2x?1在(0,??)
上都是增函数。
其中正确说法的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知
f(x)?a
3x?5
，且
f(lga)?100
，求
a
的值。
18. 已知函 数
f(x)?log
a
(x?1)(a?0,a?1)
在区间[1，7]上的 最大值比最小值大
的值。
19. 已知指数函数
y?()
x
，当< br>x?(0,??)
时，有
y?1
，解关于
x
的不等式
a
1
1
2
，求
a
log
a
(x?1)?l og
a
(x?x?6)
。
2
20. 已知函数
f(x)? log
a
(1?a
x
)(a?0,a?1)
。
2

⑴ 求
f(x)
的定义域；
⑵ 当
a
＞1时，判断函数
f(x)
的单调性，并证明你的结论。
21. 设
f(x)
?lg
1?2?4a
3
xx

(a?R)
，若当
x?(??,1]
时，
f(x)
有意义， 求
a
的取值范围。
22. 某商品在最近100天内的价格
f(t)
与时间
t
的函数关系是：
?
1
t?22
?
?
4

f(t)?
?
?
?
1
t?52
?
?
2< br>(0?t?40,t?N)

(40?t?100,t?N),
销售量
g(t)
与时间
t
的函数关系是：
g
(
t
) = －
这种商品的日销售额
S
(
t
)的最大值。
1
3
t
+
109
3
(0≤
t
≤100 ,
t
∈
N
), 求
参考答案
一、DDBCB DBBBA CB
?
5?4
x
?0
?
提示：1.
?
x ?1?0
?
x?1?1,
?
?
x?log
4
5?
故选D。
?
?
x??1
?
x?0
?
2. 代入验证。
3. 设
log
2
x?3
，则
x?2
3
?8
，代入已知等式，得
f(3)?2
8
?256
。
4.
5
log
5
(?a)
2
?5
log
5
(?a)
2
?5
log
5
|a|
?|a|

5. 由
y?0.2
?x
?
1
?
?1，得
??
?
5
?
?x
?y?1
即
5? y?1
，两边取对数，得
x?log
5
(y?1)
，即
x< br>y?log
5
(x?1)
。
?
0?3a
2
?1?1
?
6. 解不等式组
?
1
即可。
?1,
?
?
a
7. 由指数函数的性质，得0＜
a＜1，0＜
b
＜1，又由幂函数
y?x
n
的性质知，当
n
＞0时，
它在第一象限内递增，故
a
＜
b
＜1。
1
8. 在
y?2
x
中
x?0
，∴
1
x
?0,y?1
；在
y?
1
x
()?1
中，值域为（-1，+∞）；而
2
y?
。
1?2
的值域为[0， 1）
?
2
?
3
)
，因为
f(x)
在[0， π]上递减，且
x
9. 由题意知，
a?f(?2)?f(2),b?f(),c?f(
2
y
3
1
O x

0?
?
2
?2?
1< br>2
2
?
3
?
?
， ∴
f(
?< br>2
)?f(2)?f(
2
?
3
)
， 即
b
＞
a
＞
c
。
10. 取
a?,b?4
。
11. 由题意知，
a?b
的结果为
a
、
b
中较小者，于是
f(x)
?2
x
?2
?x
的图象就是
y?2与y?2
x?x
的图象的较小的部分（如图），故 值域为（0，1]。
12. 设
3
a
?4
b
?6
c
?k
，则
k
＞0且
k
≠1，取对数得
a?log
3
k,b?log
4
k,c?log
6
k
，
∴
∴
1
a
2
c
?log
k
3,
?
4
1
b
?log
k
4? 2log
k
2,
1
c
?log
k
6?log
k
2?log
k
3
，
2
a
?
1
b
。
12
1
?
8
5
?
1
3
?
4
5
4
二、13 .
x
15
?
??
。提示：原式=
?
(x
3
?x
3
)
2
?
??
?(x)?x
15< br>。
14.
x?2,0?a?1
。提示：∵
x?3?x?2,< br>且
log
a
(x?3)?log
a
(x?2)
，
∴ 0＜
a
＜1。 由
?
?
x?3?0
?
x?2?0
，得
x?2
。
15.
(,
9
21 1
?
0?4m?1
)?(,??)
。提示：解不等式组
?
或
43
?
0?9m?2?1
?
4m?1
。
?
?
9m?2?1
16. ⑴⑶。提示：⑴中两个函数的定义域都是R；⑵中 两个函数的值域分别是R与（0，+∞）；
⑶中两个函数均满足
f(?x)??f(x)
，是奇函数；⑷中函数
y?(x?1)
2
在
(0,??)
不
是增函数。
三、17. 解：因为
f(lga)?a
3lga?5
?10 0
，两边取对数，得
lga(3lga?5)?2
，
所以
3(lg a)
2
?5lga?2?0
，解得
lga??或lga?2
， 3
1
即
a?10
?
1
3
或a?100
。
18. 解：若
a
＞1，则
f(x)?log
a
(x? 1)(a?0,a?1)
在区间[1，7]上的最大值为
log
a
8
，最
小值为
log
a
2
，依题意，有
log
a8?log
a
2?
1
2
，解得
a
= 16；
若0＜
a
＜1，则
f(x)?log
a
( x?1)(a?0,a?1)
在区间[1，7]上的最小值为
log
a
8，
最大值为
log
a
2
，依题意，有
log
a
2?log
a
8?
1
2
，解得
a
=
1
16
。
4

综上，得
a
= 16或
a
=
1
1
16
。
1
a
?1,即0?a?1
。 19. 解：∵
y?()
x
在
x?(0,??)
时，有
y?1
， ∴
a
?
x?1?x
2
?x?6
?
于是由
log
a
(x?1)?log
a
(x?x?6)
，得
?< br>2
，
?
?
x?x?6?0
2
解得
2?x?5
， ∴ 不等式的解集为
{x|2?x?5}
。
20. 解：⑴ 由
1?a
x
?0
，得
a
x
?1
。
当
a
＞1时，解不等式
a
x
?1
，得
x?0；
当0＜
a
＜1时，解不等式
a
x
?1
，得
x?0
。
∴ 当
a
＞1时，
f(x)
的定义域 为
{x|x?0}
；当0＜
a
＜1时，
f(x)
的定义域为
{x|x?0}
。
⑵ 当
a
＞1时，
f(x)
在（-∞，0）上是减函数，证明如下：
设
x
1
,x
2
是（-∞，0）内的任意两个数，且
x
1
?x
2
，则

f(x
1
)
-f(x
2
)
=
log
a
(1?a)?log
a
(1?a)?log
a
12
x
1
x
2
1? a
1?a
x
1
x
2
，
12
∵
a
＞1，
x
1
?x
2
?0
， ∴
0?a
x
?a
x
?1
， ∴
1?a
x
?1?a
x
?0
。
从而
1?a
1?a
x
1
x
2
?1,log
a
1?a< br>1?a
x
x
1
x
2
?0
，即
f(x
1
)
＞
f(x
2
)
.
∴当
a
＞1时，
f(x)
在（-∞，0）上递减。
21. 解：根据题意，有
?
11
1?2?4a
3
x
?0
，
x?(??,1]
，
xx
即
a??
?
()?()
?
，
x?(??,1]
，
2
??
4
?
∵
?()
x
与? ()
x
在
(??,1]
上都是增函数，
42
11
∴
?[()
x
?()
x
]
在
(??,1]上也是增函数，
42
11
∴ 它在
x?1
时取最大 值为
?(?
4
11
2
)??
3
4
，
xx
即
?
?
()?()
?
??
，
2
?
4
?
4
?
11
?
3
∴
a??
3
4
。
22. 解：因为
S(t)?f(t)?g(t)
，所以
⑴ 当
0?t?40 时,S(t)?(t?22)(?t?
43
11109
3
)，即S(t)??
1
12
(t?88)(t?109)
，从而可知
当
t?10 或11时,S
max
?808.5
；
5

⑵
当40?t?100时,S(t)?(?
S
max
?736?808.5。
1
2
t?52)(?
1
3
t?
1093
)?
1
6
(t?104)(t?109)
，当
t = 40时，
综上可得，
当0?t?100时,S
max
?808.5
。
答：在最近的100天内，这种商品的日销售额的最大值为808.5。


6