高中数学必修一 集合与函数概念

集合与函数概念

一、教材分析
集合语言是现代数学的基本 语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内
容．本章中只将集合作为一种语言来学习，学 生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的
数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．
函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运
算转向了关系．函 数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主
线就可以把数学知识编织在一起 ，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些．函数与不等式、
数列、导数、立体、解析、算法、概率、选 修中的很多专题内容有着密切的联系．用函数的
思想去理解这些内容，是非常重要的出发点．反过来，通 过这些内容的学习，加深了对函数
思想的认识．函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终．高中数学课 程中，函数有许多下
位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数．函数是描 述客观
世界变化规律的重要数学模型．
二、学情分析
1．学生的作业与试 卷部分缺失，导致易错问题分析不全面．通过布置易错点分析的任
务，让学生意识到保留资料的重要性．
2．学生学基本功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力．但是没有养成及
时复 习的习惯，有些内容已经淡忘．通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养学
生良好的复习习惯 ．
3．在研究例4时，对分类的情况研究的不全面．为了突破这个难点，应用几何画板制
作了课件，给学生形象、直观的感知，体会二次函数对称轴与所给的区间的位置关系是解决
这类问题的关 键．
三、设计思路
本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动 学生学习数学的积极
性”．在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自 己进行
知识的梳理．一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理的习
惯．在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与，整个
教学过程尊 重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题．通过自主
分析、交流合作，从而进 行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方式．在教学过程
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中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想．在教学过程中通过恰当的
应用信息技 术，从而突破难点．
四、教学目标分析
(一)知识与技能
1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算．
A：能从集合间的运算分析出集合的基本关系．B：对于分类讨论问题，能区分取交还是取
并．
2．理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性质．
A：会用定义证明函数的单调性、奇偶性．B：会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关
系．
(二)过程与方法
1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来 龙去脉，把学习的内
容网络化、系统化．
2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、 合作交流，领悟知识的横、纵向联系，
体会集合与函数的本质．
(三)情感态度与价值观
在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学
习习 惯，独立获取数学知识的能力．在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学
好数学的信心．在 例4的解答过程中，渗透动静结合的思想，让学生养成理性思维的品质．
五、重难点分析
重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题．
难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系．
六．知识梳理(约10分钟)
提出问题
问题1：把本章的知识结构用框图形式表示出来．
问题2：一个集合中的 元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明集
合的这些基本要求吗？
问 题3：类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系．类比两个数的运算，思考
两个集合之间的基本 运算，交、并、补．
问题4：通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？
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请结合具体实例分析，表示函数的三种方法，每一种方法的特点．
问题5：分析研究函数的方向，它们之间的联系．
在前一次自习上，学生相互展示自己的结果，通 过相互讨论，每组提供最佳的方案．在
自己的原有方案的基础上进行补充与完善．
学生回答问题要点预设如下：
1．集合语言可以简洁准确表达数学内容．
2．运用集合与对 应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数
的本质函数是描述变量之间依赖关系 的重要数学模型．
3．函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况
选用．
4．研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数
的图象特征，最后 抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使用
的方法．
设计意 图：通过布置任务，让学生充分的认识自己在学习的过程中，哪些知识学习的不
透彻．让学生更有针对的 进行复习，让复习进行的更有效．让学生体会到知识的横向联系与
纵向联系．通过类比初中与高中两种函 数的定义，让学生体会到两种函数的定义本质是一样
的．
七、易错点分析(约3分钟)
问题6：集合中的易错问题，函数中的易错问题?主要是作业、训练、考试中出现的问
题?
(任务提前布置，由课代表汇总，并且在教学课件中体现．教师不进行修改，呈现的是原始
的)
教师展示学和成果并进行点评．

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对于问题6主要由学生讨论分析，并回答，其他学生补充．这个过程尽量由学生来完 成，
教师可以适应的引导与点评．
设计意图：让学生学会避开命题者制造的陷阱，通过不 断的分析，让学生了解问题出现
的根源，充分暴露自己的思维，在交流与合作的过程中，改进自己的不足 ，加深对错误的认
识．通过交流了解别人的错误，自己避免出现类似的错误．
八、考察点分析(约5分钟)
问题7：分析集合中的考察点，函数中的考察点．
问题8：知识的横纵联系．

学生回答问题要点预设如下：
1．集合中元素的互异性．
2．，则集合A可以是空集．

3．交集与并集的区分，即何时取交，何时取并，特别是含参的分类讨论问题．
4．函数的单调性与奇偶性的证明．
5．作业与试卷中出现的问题．
6．学生分析本章的考察点，主要分析考察的知识点、思想方法等方面．
设计意图：让学生了解考 察点，才能知道命题者的考察意图，才能选择合适的知识与思
想方法来解答．例如如果试题中出现集合， 无论试题以什么形式出现，考察点基本是集合间
的基本关系、集合的运算．
九、典型问题分析
例1：设集合
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（1）若
（2）若
（3）若
(1)答案：
(2)答案：
(3)答案：
或
或
．
;
，求的值；
，求实数的值；
，求的值．教师点评，同时板书．
;
由学生分析问题的考察点，包括知识与数 学思想．（预设有以下几个方面）从知识点来
分析，这是集合问题．考察点主要为集合的表示方法、集合 中元素的特性、集合间的基本关
系、集合的运算等．学生在解第1个问时，可能漏掉特殊情况．第2、3 问可能会遇到一定
的障碍，可以给学生时间进行充分的思考．
设计意图：让学生体会到分 析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯．能顺利
的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍 ．通过一题多问、一题多解、多题归一，让学
生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想．
例2：已知函数是定义在R上的奇函数，当
，求函数的解析式．
变式：函数是偶函数
教师对生回答进行点评．并板书．
时，

学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充．
学生回答问题要点预设如下：
1．考察点为函数的奇偶性与函数图象的关系．
2．函数的奇偶性的定义．
3．转化与化归的思想．
法一：本题即求，函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的 图象，把本题转
化为二次函数的图象与解析式的问题．
法二：本法更具有一般性，已知
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时，函数的解析式，要分析时的函数对应关系，即当一个数小于 零时，函数值
，应当怎样计算．由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系，所以可以研究的函数值．
设计意图：学生在思考的过程中，体会数形结合思想．函数的奇偶性 与函数的图象的关
系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是 相辅
相承的．体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的．考察函数的单调性的证明，函
数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系．体会转化与化归的思想、特殊与一
般的数学思想 ，让学生体会到问题后面隐含的本质．
例3：已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还
是减函数，并证明你的判断．
变式1：函数为奇函数
变式2：你能分析奇函数(偶函数)在对称区间上的单调性的关系吗? 试从数形两个方面来分
析．
学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充．
学生回答问题要点预设如下：
1．考察点为函数的奇偶性与单调性的关系．
2．函数的单调性的定义．
3．数形结合、转化与化归的思想．
法一：通过函数的图象分析．
法二：把要研究的范围转化为已知的范围．
设计 意图：明确函数的性质是一个有机的整体，不是一个个知识点的简单罗列．同时体
会知识的纵向联系与横 向联系，在第二个方法中进一步感受转化与的思想．通过两个变式的
研究过程，学生体会研究探索性问题 的一般思路，即通过特殊情况分析结果，再对结果的正
确性进行证明．
例4：求在区间上的最大值和最小值．
变式：在区间上的最大值是1，求的值．
教师用几何画板演示，二次函数对称轴的变化对函数的最值的影响．
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答案：
;
．
时，最大值是
时，最大值是
， 最小值是
，最小值是
;
;
时，最大值是
时，最大值是
，最小 值是
，最小值是
变式答案：或．
学生通过直观的演示，思考问题的考察点与解答策略．
学生回答考察点分析(预设)：
1．二次函数的图象与性质．
2．分类与整合．
3．逆向思维．
学生回答解题思路分析（预设）：
研究二次函数的对称轴方程与所给的区间的关系．
设计意图：通过几何画板的动态性，给学生直观的感知，从而建立最近发展区，进而突
破难点．
通过对二次函数的研究，学生巩固了上位知识函数的图象与性质，充分体会数形结合的
优势 ．学生在解答变式的过程中，体会逆向思维与正向思维的关系，体会函数与方程思想，
感受到动静结合．
十、课后小结
1．知识网络
2．知识的来龙去脉
3．问题中体现的数学思想
4．分析问题的基本思路
学生总结，教师板书．
设计意图：让学生把知识窜串，形成网络，能迅速而准确的选用知识来解答问题．
十一、课后总结
巩固所学，补充课上的不足．主要是本节课中没有涉及的问题，本节课中理解有困难的
问题．
1．已知是定义在R上的函数，设
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，．

（1）试判断的奇偶性；（2）试判断的关系；
（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？
2．设函数
（1）讨论
3．已知集合
，是否存在实数
，
的奇偶性；（2）求
，
的最小值．
，
，同时满足
，
．
4．将长度为20cm的铁丝分成两段，分别 围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面
积之和最小，正方形的周长应为多少？
十二、教学反思
在复习课中，教师要充分调动学生学习的自主性，让学生独立制定出适合自己的知识结
构、整理出自己在本章学习中出现的问题．在课堂上，学生通过交流与合作，体会解决问题
成功 的喜悦．从而养成良好的学习习惯、树立信心．感受知识的横向联系与纵向联系，洞悉
知识的本质、问题 的根源，从而形成深刻的印象，少出现或避免出现类似的问题．通过分析
知识的来龙去脉，明确知识的用 途．通过典型题分析，回顾主干知识，重要的数学思想，感
受知识与数学思想的有机融合．

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