美国高中数学教育-高中数学导学教法
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《集合的含义与表示》 一.教材分析:集合概念及其基本理论,
称
为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许
多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础
上。另一方面,
集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应
用。
二.目标分析: 教学重点.难点 重点:集合的含义
与表示方法.
难点:表示法的恰当选择. 教学目标 l.知识与
技能
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于
关系; (2)知道常用数集及其专用记号;
(3)了解集合中元素的
确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象;
2. 过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共
同特征的过程,感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学
知识. 3. 情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必
要性,增强学习的积极性. 三. 教法分析 1. 教学方法:
学生
通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地
完成本节课的教学目标.
2. 教学手段:在教学中使用投影仪来
辅助教学. 四.过程分析 (一)创设情景,揭示课题
1.教师首先提
出问题:(1)介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级。
(2)问题:像“家庭”、“学校”、“班级”等,有什么共同特征?
引导学生互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价.
2.
活动:(1)列举生活中的集合的例子; (2)分析、概括各实例的
共同特征
由此引出这节要学的内容。 设计意图:既激发了学生
浓厚的学习兴趣,又为新知作好铺垫
(二)研探新知,建构概
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念
1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面7个实例:
(1)1—20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明; (3)所有
的安理会常任理事国; (4)所有的正方形;
(5)海南省在2004
年9月之前建成的所有立交桥;
(6)到一个角的两边距离相等的
所有的点; (7)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2.教师组织学生分组讨论:这7个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——
位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,
师生共同概括出7个实例的特征,并给出集合的含义.
一般
地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个
对象叫作这个集合的元素
.
1
a,b,c,d
4.教师指出:集合常用大写字母A,B,
C,D,?表示,
元素常用小写字母?表示.
设计意图:通过实例让学生感受集合的
概念,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神
(三)质疑答
辩,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:
集合中元素
有什么特点?并注意个别辅导,解答学生疑难.使学
生明确集合元素的三大特性,即:确定性.互异性和
无序性.只要
构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
2.教
师组织引导学生思考以下问题:
判断以下元素的全体是否组
成集合,并说明理由: (1)大于3小于11的偶数;
(2)我国的小
河流. 让学生充分发表自己的建解. 3. 让学生自己举出一
些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子,并说明理由.
教师对学生的学习活动给予及时
的评价. 4.教师提出问题,让学
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生思考
ab
(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合,用
表示
高一(3)班的一位同学,是高一(4)班的
a,b
一位同学,那么
与集合A分别有什
么关系?由此引导学生得出元素与集合的关
系有两种:属于和不属于.
aaa?A
如果是集合A的元素,
就说属于集合A,记作.
aaa?A
如果不是集合A的元素,
就说不属于集合A,记作. (2)如果用A表示“所有的安理会常任
理事国”组成的集合,则中国.日本与集合A的关系分别是什么?
请用数学符号分别表示.
(3)让学生完成教材第6页练习第1题.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程,然后阅读教材中的相
交内
容,写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题.
6.
教师引导学生阅读教材中的相关内容,并思考.讨论下列问题:
(1)要表示一个集合共有几种方式?
(2)试比较自然语言.列举法和
描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什么?
(3)
如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示
方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
设计意图:
明确集合元素的三大特性,使学生弄清楚三种表示方式的优缺
点,从而突破难点。
(四)巩固深化,反馈矫正 教师投影学习:
(1)用自然语言描述集合{1,3,5,7,9};
A?{x?N|1?x?8}
(2)用例举法表示集合
(3)试选择适当的方
法表示下列集合:教材第6页练习第2题.
设计意图:使学生及
时巩固所学新知,体会三种表示方式存在的必要性和适用对象
(五)归纳小结,布置作业 小结:在师生互动中,让学生了解或
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体会下例问题: 1.本节课我们学习了哪些知识内容?
2.你认
为学习集合有什么意义? 3.选择集合的表示法时应注意些什
么? 设计意图:通过
回顾,对概念的发生与发展过程有清晰的认
识,回顾集合元素的三大特性及集合的三种表示方式。
2
作业:
1.课后书面作业:第13页习题1.1A组第4题. 2.
元素与集合的关系有多少种?如何
表示?类似地集合与集合间
的关系又有多少种呢?如何表示?请同学们通过预习教材.
五.
板书分析 集合的含义与表示 定义
例1 集合 ×××××××
×××××××
××××××× PPT 元素
××××××× ×××××××
例2 元素与集合的关系
××××××× ×××××××
××××××× 作业
××××××× ×××××××
课题:§1.2.1函
数的概念 教材分析:函数是描述客观世界变化规律的重要数学
模型.高
中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还
用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数
模型化的
思想. 教学目的:(1)通过丰富实例,进一步体会函数是描述
变量之间的依赖关系
的重要数学模型,在此基础上学习用集合
与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的<
br>作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的
定义域和值域;
(4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数
的定义域;
教学重点:理解函数的模型化思想,用合与对应的
语言来刻画函数;
教学难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域
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和值域的区间表示; 教学过程: 一、引入课题 1.
复习初中所
学函数的概念,强调函数的模型化思想; 2.
阅读课本引例,体
会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想:
(1)炮
弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与
时间的变化关系问题;
(3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩
格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例:
我国2003年4月
份非典疫情统计: 日 期 22 23 24 25 26 27 28 29
30 新增确诊
病例数 106 105 89 103 113 126 98 152 101
3. 引导学生应用
集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系; 4.
根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关
系是否是函数关系.
二、新课教学 (一)函数的有关概念
1.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定
的
对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有
唯一确定的数f(x)和它对
应,那么就称f:A→B为从集合A到
集合B的一个函数(function).
3
记作: y=f(x),x?A. 其中,x叫做自变量,x的取值范围A
叫做
函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函
数值,函数值的集合{f(x)|
x?A }叫做函数的值域(range). 注
意:
○
1
“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如
“y=g(x)”;
○
2
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,
一个数,而不是f乘x. 2.
构成函数的三要素: 定义域、对
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应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭
区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间; (3)区间的数轴
表示.
4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域
讨论 (由学生完成,师生共同分析讲评)
(二)典型例题
1.求函数定义域 课本P例1
20
解:(略)
说明:
○
1 函数
的定义域通常由问题的实际背景确定,如果课前三个实例;
○
2 如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数
的定义域即是
指能使这个式子有意义的实数的集合;
○
3
函数
的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 巩固练习:课本P
第1题
22
2.判断两个函数是否为同一函数 课本P例2
21
解:
(略) 说明:
○
1 构成函数三个要素是定义域、
对应关系和
值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两
个函数的定义域和对应
关系完全一致,即称这两个函数相等
(或为同一函数)
○
2
两个函数相等当且仅当它们的定义域和
对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
巩
固练习:
○
1 课本P第2题
22
○
2
判断下列函数f(x)与g(x)
是否表示同一个函数,说明理由?
0
(1)f (
x ) = (x -1) ;g
( x ) = 1
4
2x
(2)f ( x ) = x; g ( x ) =
22
(3)f ( x ) = x ;f ( x ) = (x +
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1)
2x
(4)f ( x ) = | x | ;g ( x ) = (三)课堂练习
求下列函
数的定义域
1f(x)?
(1)
x?|x|1f(x)?
(2)
11?x2f(x)??x?4x?5
(3)
2
4?xf(x)?
(4)
x?12f(x)?x?6x?10
(5)
f(x)?1?x?x?3?1
(6)
三、归纳小结,强化思想 从具体实例引入了
函数的的概念,用
集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念,介绍了求
函数定义域和判
断同一函数的典型题目,引入了区间的概念来
表示集合。 四、作业布置 课本P 习题1.2(A组)
第1—7
题 (B组)第1题
28
《单调性与最大(小)值》说课稿
一、教材分析 1.教学内容 本节课内容教材共分两课时进行,
这是第一课时,该课时主要学
习函数的单调性的的概念,依据
函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。
2. 教材的地位和作用 函数单调性是高中数学中相当重要的一
个基础知识点,是研究和讨论
初等函数有关性质的基础。掌握
本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础,还有利于培养
学
生的抽象思维能力,及分析问题和解决问题的能力。 3.教
材的重点﹑难点﹑关键
教学重点:函数单调性的概念和判断某些
函数单调性的方法。明确单调性是一个局部概念.
教学难点:领
会函数单调性的实质与应用,明确单调性是一个局部的概念。
教学关键:从学生的学习心理和认知结构出发,讲清楚概念的
形成过程. 4.学情分析 高一
学生正处于以感性思维为主的年
龄阶段,而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维,并由此
下
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向逻辑思维发展,但学生思维不成熟、不严密、意
志力薄弱,
故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境,
5
引导学
生积极思考,培养他们的逻辑思维能力。从学生的认知
结构来看,他们只能根据函数的图象观察出“随着
自变量的增大
函数值增大”等变化趋势,所以在教学中要充分利用好函数图象
的直观性,发挥好
多媒体教学的优势;由于学生在概念的掌握
上缺少系统性、严谨性,在教学中注意加强.
二、目标分析
(一)知识目标: 1.知识目标:理解函数单调性的概念,掌
握判断一些简
单函数的单调性的方法;了解函数单调区间的概
念,并能根据函数图象说出函数的单调区间。 2.能力
目标:
通过证明函数的单调性的学习,使学生体验和理解从特殊到一
般的数学归纳推理思维方式
,培养学生的观察能力,分析归纳
能力,领会数学的归纳转化的思想方法,增加学生的知识联系,
增强学生对知识的主动构建的能力。 3.情感目标:让学生积
极参与观察、分析、探索等课堂教学的
双边活动,在掌握知识
的过程中体会成功的喜悦,以此激发求知欲望。领会用运动变
化的观点去
观察分析事物的方法。通过渗透数形结合的数学思
想,对学生进行辨证唯物主义的思想教育。
(二)过程与方法
培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分
类讨论的方法
去分析和处理问题,以提高学生的思维品质,通
过函数的单调性的学习,掌握自变量和因变量的关系。通
过多
媒体手段激发学生学习兴趣,培养学生发现问题、分析问题和
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解题的逻辑推理能力。 三、教法与学法 1.教学方法 在教学中
,
要注重展开探索过程,充分利用好函数图象的直观性、发挥多
媒体教学的优势。本节课采用问
答式教学法、探究式教学法进
行教学,教师在课堂中只起着主导作用,让学生在教师的提问
中自
觉的发现新知,探究新知,并且加入激励性的语言以提高
学生的积极性,提高学生参与知识形成的全过程
。 2.学习方
法
自我探索、自我思考总结、归纳,自我感悟,合作交流,成
为本节课学生学习的主要方式。
四、过程分析 本节课的教学过
程包括:问题情景,函数单调性的定义引入,增函数、减函数
的
定义,例题分析与巩固练习,回顾总结和课外作业六个板块。
这里分别就其过程和设计意图作一一分析。
(一)问题情景:
为了激发学生的学习兴趣,本节课借助多媒体设计了多个生活
背景问题,并
就图表和图象所提供的信息,提出一系列问题和
学生交流,激发学生的学习兴趣和求知欲望,为学习函数
的单
调性做好铺垫。(祥见课件) 新课程理念认为:情境应贯穿课
堂教学的始终。本节课所创
设的生活情境,让学生亲近数学,
感受到数学就在他们的周围,强化学生的感性认识,从而达到
学生对数学的理解。让学生在课堂的一开始就感受到数学就在
我们身边,让学生学会用数学的眼光去关注
生活。 (二)函数
单调性的定义引入
1
2
y?xy?
1.几何画板动画演示
,请学生
认真观察,并回答问题:通过学生已学过的函数y=2x+4,
,
x
的图象的动态形式形象出x、y间的变化关系,使学生对函数单
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调性有感性认识。,进行比较,分析其变化趋势。并探讨、回答
以下问题:
问题1、观察下列函数图象,从左向右看图象的变
化趋势?
问题2:你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思吗?
通过学生的交流、探讨、总结,得到单调性的“通俗定义”: 从
在某一区间内当x的值增大时
,函数值y也增大,到图象在该
区间内呈上升趋势再到如何用x与 f(x)来描述上升的图象? 通<
br>过问题逐步向抽象的定义靠拢,将图形语言转化为数学符号语
言。几何画板的灵活使用,数形有机
结合,引导学生从图形语
言到数学符号语言的翻译变得轻松。
6
设计意图:①通过学生熟悉的知识引入新课题,有利于激发学
生的学习兴趣和学习热情,同时也可以培养
学生观察、猜想、
归纳的思维能力和创新意识,增强学生自主学习、独立思考,
由学会向会学的
转
1
2
y?xy?
化,形成良好的思维品质。②通
过学生已学过的一
次y=2x+4,
,的图象的动态形式形象地
x
反映出x、y间的变化关系,使学生对函数单调性有感性认识。
③从学生的原有认知结构入手,探讨单调性的概念,符合“最近
发展区的理论”要求。④从图形
、直观认识入手,研究单调性的
概念,其本身就是研究、学习数学的一种方法,符合新课程的
理
念。 (三)增函数、减函数的定义 在前面的基础上,让学生
讨论归纳:如何使用数学语言来准确描述
函数的单调性?在学
生回答的基础上,给出增函数的概念,同时要求学生讨论概念
中的关键词和
注意点。
?
定义中的“当xx时,都有f(x)< f(x)”描
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