高中数学课本人教版百度云-2017上海市高中数学竞赛答案
函数与方程(1)
教学目标:
1、理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程根的关系
2、掌握零点存在的判定条件.
教学重点:零点的概念及存在性的判定.
教学难点:零点的确定.
教学过程:
一、知识点点拨:
1、函数零点的概念:
对于函数
y?f(x)(x?D)
,把使
f
(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点.
2、函数零点的意义:
函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)
?0
实数根,亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标.
即:方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
求函数
y?f(x)
的零点:
1
(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根; ○
2
(几何法)对于不能用求
根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来,并利用函数的性质○
找
出零点.
4、利用函数的性质找出零点.(零点存在性的探索)
(Ⅰ)观察二次函数
f(x)?x
2
?2x?3
的图象:
1
在区间
[?2,1]
上有零点______; ○
.
f(?2)?
_______,
f(1)?
_______,
f(?2)
·
f(1)
_____0(<或>)
2
在区间
[2,4]
上有零点______;
f(2)
·
f(4)
____0(<或>)○.
(Ⅱ)观察下面函数
y?f(x)
的图象
1
在区间
[a,b]
上______(有无)零点;
f(a)
·
f(b)
_____0(<或>)○.
2
在区间
[b,c]
上______(有无)零点;
f(b)
·
f(c)
_____0(<或>)○.
-------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
----------------------------------
1
3
在区间
[c,d]
上______(有无)零点;
f(c)
·
f(d)
_____0(<或>)○.
函数零点存在性定理:
一般地,如果函数
y?f(x)
在区间
[a
,b]
上图象是连续不断)的一条曲线,并且有
f(a)?f(b)?0
,那么函数
y?f(x)
在区间内有零点,即存在
c?(a,b)
,使得
f(c)?0
,这个
c
也就是方程
f(x)
=0的根(注意:
(a,b)
反之不一定成立)
二、例题讲解
例1、已知函数
f
?
x
?
的图象是不间断的,并有如下的对应值表:
x
f
?
x
?
1
8
2
7
3
–3
4
5
5
–5
6
–4
7
–8
那么函数在区间(1,6)上的零点至少有( )个
A.5 B.4 C.3 D.2
分析:
f(2)?0
解:略
例2、方程
xlnx?2
必有一个根的区间是( )
,f(3)?0,f(4)?0,f(5)?0
?
1
?
A.
?
1,2
?
B.
?
2,3
?
C.
?
,1
?
D.
?
3,??
?
?
e
?
分析:可用零点存在定是验证
解:略
例3、(1
)求证:函数
f(x)?x?x?1
在区间
?
?2,?1
?
上存在零点.
32
(2)当
m?
(给出一个实数值即可)
时,函数
f(x)?x?x?m
在区间
?
?2,?1
?
上存
在零点.
32
分析:因为
f(?2)?0,f(?1)?0
,由零点存在定
理可知存在零点
解:略
例4、:(1)求函数
y?x?64x
的零点 <
br>(2)设函数
f(x)?
?
3
?
2x?2,x?[1,??)
2
?
x?2x,x?(?1,1)
,求函数
y?f(x)?
1
的零点
4
分析:
f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
的实根
解:略
四、课堂小练:
1、求下列函数的零点
(1)
y?2x(x?2)?3
; (2)
y?(x?1)(x?3x?1)
<
br>-----------------------------------------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------
2
2
2、.若函数
f
?
x
?
?ax?b
只有一个零点2,那么函数
g
?
x
?
?bx<
br>2
?ax
的零点是( )
A、
0,2
B、
0,
2
111
C、
0,?
D、
?
22
2
3、对于函数
f
?
x
?
?x?bx?c
,若
f
?
m
?
?0,f
?
n
?
?0
(m
?
x
?
在区间
?
m,n
?
内 ( )
A、一定没有零点
B、可能有两个零点 C、有且只有一个零点 D、一个或两个零点
4、已知二次函数
y
?f
?
x
?
有两个相异零点
x
1
,x
2<
br>,且函数
y?f
?
x
?
满足
f
?
3
?x
?
?f
?
3?x
?
,则
x
1
?x
2
?
5、二次函数
f(x)?ax
2
?bx
?c
若
f(x
1
)?f(x
2
)(x
1
?
x
2
)
则
f(x
1
?x
2
)?
(
),
4ac?b
2
bb
A、
?
B、
?
C、
c
D、
2aa
4a
函数与方程(2)
教学目标:
结合二次函数图象的性质,简单介绍一元二次方程 实根分布的等价条件及运用。
教学重点:一元二次方程实根分布及其简单运用
教学难点:一元二次方程实根分布及其简单运用
教学过程:
一、预习导引
1、回顾:二次方程 的根及相应二次函数 的零点的关系
2、二次函数
y?x2
?(a?2)x?3
,
x?[a,b]
关于直线
x?1
对称,则
b?
2
3、二次方程<
br>ax?bx?c?0
的两根
x
1
、
x
2
当系
数
a,b,c
满足 关系时两根均为正数,满足
关系
时两根为一正一负
4、已知
f(x)
是偶函数,且其图像与x轴有四个
交点,则方程
f(x)?0
的所有实根之和为( )
A、4
B、2 C、1 D、0
二、知识点点拨
设
方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的不等两根为
x
1
,x
2
且
x
1
?x
2
,相应的二次函
数为
f
?
x
?
?ax?bx?c?0
,
22
方程的根即为二次函数图象与
x
轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是
充要条件)
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分
布
情
况
两个负根即两根都小
于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根
即一个根小于0,
一个大于0
?
x
1
?0?x
2
?
?
x
1
?0,x
2
?0
?
?
x
1
?0,x
2
?0
?
<
br>-----------------------------------------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------
3
大
致
图
象
(
a?0
)
得
出
的
结
论
?
?
?0
?
b
?
?0
?
?
?
2a<
br>?
?
f
?
0
?
?0
?
??0
?
b
?
?0
?
?
2a
?
?<
br>?
f
?
0
?
?0
f
?
0
?
?0
a?0
)
a?0
)
大
致
图
象
(
得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?<
br>?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0
?
??0
?
b
?
?0
?
?
?
2a
?
?
f
?
0
?
?0
表二:(两根与
k
的大小比较)
f
?
0
?
?0
一个根小于
k
,
分
布
情
况
两根都小于
k
即
两根都大于
k
即
一个大于
k
即
x
1
?k,x
2
?k
x
1
?k,x
2
?k
x
1
?k?x
2
大
致
图
象
(
k
k
k
------------------------------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
-----
4
得
出
的
结
论<
br>?
??0
?
b
?
?k
?
?
?
2a
?
?
f
?
k
?
?0
?<
br>??0
?
b
?
?k
?
?
?
2a
?
?
f
?
k
?
?0
f
?<
br>k
?
?0
a?0
)
分
布
情
况
大
致
图
象
(
a?0
)
得
出
的
结
论
大
致
图
象
(
得
出
的
结
论
?
??0
?
b
?
?k
?
??
2a
?
?
f
?
k
?
?0
?
??0
?
b
?
?k
?
?
?2a
?
?
f
?
k
?
?0
表三:(根在
区间上的分布)
两根有且仅有一根在
f
?
k
?
?0
两根都在
?
m,n
?
内
?
m,n
?
内(图象有两种
情况,只画了一种)
一根在
?
m,n
?
内,
另一根在
?
p,q
?
内,
m?n?p?q
?
??0
?
?
f
?
m
?
?0
?
?
f
?
n
?
?0
?<
br>b
?
m???n
2a
?
?
f
?
m<
br>?
?f
?
n
?
?0
?f
?
m
?
?0
?
?
f
?
n
?
?0<
br>?
?
f
?
m
?
f
?
n
?<
br>?0
或
?
?
?
f
?
p
?
f
?
q
?
?0
?
f
?
p
?
?0
?
?
f
?
q
?
?0
?
--
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
---------------------------------------
5
大
致
图
象
(
a?0
)
得
出
的
结
论
?
??0
??
f
?
m
?
?0
?
?
f
?<
br>n
?
?0
?
b
?
m???n
2a
?
?
f
?
m
?
?f
?
n
?
?0
?f
?
m
?
?0
?
?<
br>f
?
n
?
?0
?
?
f
?
m
?
f
?
n
?
?0
或
?
?
?
f
?
p
?
f
?
q
?
?0?
f
?
p
?
?0
?
?
f
?<
br>q
?
?0
?
三、例题讲解
例、求实数
m
的
范围,使关于
x
的方程
x
2
?(m?3)x?m?0
的两根
情况如下:
(1)两个负根;(2)两根都小于1;(3)两根都大于1
;(4)一个根大于1,一个根小于1
(5)两个根都在(0,2)内
(6)两个根有且仅有一个在(0 ,2)内
(7)一个根在(-2 ,0)内,另一个根在(1
,3)内
分析:画出对应函数图象,数形结合分析得出参数满足的充要条件
解:略
四、课堂练习:
2
1.若方程
x?ax?2?0
的两个根,都小于
-1,求
a
的取值范围。
2
2.已知关于
x
的方程
kx?2kx?k?2?0
有两个实根,其中一根在(0,1)之间,另一根在(-1,0)之间,求
实数
k
的取值范围。
教学目标:
1、理解二分法求方程近似解的实质
2、能够借助计算器用二分法求方程的近似解
3、通过二分法求方程的近似解,感知数形结合法的重要性及直观性
教学重点:
理解二分法求方程近似解的实质
通过二分法求方程的近似解,感知数形结合法的重要性及直观性
教学难点:理解二分法求方程近似解的实质
教学过程:
一、自学导引:
1.函数零点存在定理:如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是
_______的一条曲线,并且有__________,那么,
函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内有零点,即存在
c?
_____使得
f(c)?
0
,这个
c
也就是方程
f(x)?0
的___.
2.一般地,我们把_________称为区间
(a,b)
的中点.
3.
对于在
[a,b]
区间上_________且_________的函数
y?f(x
)
,通过不断地把函数
f(x)
的零点所在的区间
------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
-----------------------------
6
函数与方程(3)
_________,使区间的两个端点____
_____零点,进而得到零点_________的方法叫做二分法.
4、已知下列函数图象其中不能用二分法求交点横坐标近似值的是 ( )
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
A B C
D
5.给定精确度
?
,用二分法求函数零点近似值的步骤是:
(1)确
定区间_________,验证
f(a)?f(b)?0
,给定精确度
?
;
(2)求区间
(a,b)
的中点____;
(3)计算
f(c)
;
①若_________,则
c
就是函数的零点;
②若
f(a)?
f(c)?0
,则令_________(此时零点
x
0
?(a,c)
);
③若
f(c)?f(b)?0
,则令_________(此时零点
x
0
?(c,b)
).
(4)判断是否达到精确度
?
:即
若_________,则得到零点近似值
a
(或
b
),否则重复(2)~(
4).
二、知识点点拨
1、一般地,我们把
a?b
称为区间
(a,b)
的中点
2
2、对于在区间
[a,b]
上连续不断,且满足
f(a)f(b)?0
的函数
y?f(x)
,通过不断地把函数
f(x)
的零点
所在的区
间二等分,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
(1)用二分法
的条件
f(a)f(b)?0
表明二分法求函数的近似零点都是指变号零点,而非不变号零点。
(2)二分法的思想为:首先确定有根区间,将区间二等分,通过判断
f(x)
的符号
,逐步将有根区间缩小,
直至有根区间足够小,便可求出满足精度要求的近似根。
用二分法求函数零点近似值的基本步骤:
1、确定区间
[a,b]
,使
f(a)f(b)?0
,给定精度ε;
2.
求区间
(a,b)
的中点
c
3.
计算
f(c)
:
(1)若
f(c)
=0,则
c
就是函数的零点;
(2)若
f(a)f(c)?0
,则令
b?c
,此时零点
x
0
?(a,c)
;
(3)若
f(c)f(b)?0
,则令
a?c
,此时零点
x
0
?(c,b)
.
4. 判断是否达到精确度ε:若
|a?b|?
?
,则得到零点近似值
a
(或
b
);
否则重复步骤 2~4.
三、例题分析:
例1、已知二次函数
y?ax?bx?c
的部分对应值如下表
------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
-----------------------------------
7
2
x
y
-3
6
-2
m
-1
-4
0
-6
1
-6
2
-4
3
n
4
6
不求
a,b,c
的值,则方程的两个根所存在的区间是( )
A、
?
?3,?1
?
和
?
2,4
?
B、
?
?3,?1
?
和
?
?1,1
?
C、
?
?1,0
?
和
?
1,2
?
D、
?
??,?3
?
和
?
4,??
?
例2、:利用计算器,用二分法求方程2+3x=7的近似解(精确度0.1)
分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?
解:原方程即2+3x=7
,令f(x)=2+3x -7,用计算器作出函数的对应值表与图象(如下):
x 0
-6
1
-2
2
3
3
10
4
21
5
40
6
75
7
142
xx
x
f(x)=2+3x -7
4
3
x
f?x? =
?
2
x
+3?x<
br>?
-7
2
1
-2
-1
01
246810-2
-3
-4
-5
-6
观察上图和表格,可知f(1
)·f(2)<0,说明在区间(1,2)内有零点x
0
.取区间(1,2)的中点x
1
=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33.
因为f(1)·f(1.5)<0,所以
x
0
∈(1,1.5),再取(1,1.5)的中点x
2
=1.25,用计算
器求得
f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.2
5,1.5),同理可得x
0
∈(1.375,1.5),
x
0
∈
(1.375,1.4375),由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,
所以原方程精确度为0.1的近似解为1.4375.
四、课堂练习
1、函数在
f(x)?lnx?
2
的零点的大致区间是
( )
x
A、
(1,2)
B、(2,3)
C、
(1,e)
D、
(e,??)
2、方程
log
3
x?x?3
的解所在区间是
( )
A、(0,2) B、(1,2) C、(2,3)
D、(3,4)
3、下列方程在区间
?
2,3
?
内一定没有实根的是
( )
?
1
?
2x?1
A、
x?2x?1?0
B、
lgx?x?3?0
C、
2?5?x
D、
log
1
x?
??
?
2
?
2
x
4、用计算器求方程
2?x?4
的近似解(精确到0.1);
x
--------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
---------------------------
8
函数与方程(4)
教学目标:
1、会从图象来判断近似解及根的个数问题
2、体会数形结合思想在解决函数问题中的应用
教学重点:会从图象来判断近似解及根的个数问题
教学难点:数形结合思想的熟练运用。
教学过程:
一、自学导引
1、在
同一坐标系中画出函数
y?log
a
与函数
y?x?2
的简图,有几
个交点?
2、方程
log
a
=
x?2
的根有几个?
二、知识点导引
函数与方程思想:是指在解决某些数学问题时,构造适当的函数与方程,把问
题转化为研究辅助函数与辅助
方程性质的思想。因而函数
f(x)
的图象与
x
轴的交点个数就是方程
f(x)?0
的实根个数。
三、例题分析
例1、(1)方程
x
2
?lgx
在
(0,10)
实数解的个数 ( )
A、0
B、1 C、2 D、3
分析:画出
y?x
2
与y?lgx
的图象,数形结合得出结论
(2)方程
x?2x?lnx?1?0
实根的个数是( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个
分析:从结构式来看所给
的方程既不是关于x二次函数方程也不是对数方程,不能套用高中解方程的方法来处理,
必须分析结构式
,将其移项后适当变形不难发现原方程可化为
lnx??x?2x?1
,构造两个函数借用图象
处理。
解:原方程可化为:
lnx??x?2x?1
构造函数
f(x)?lnx
,
g(x)??x?2x?1,(x?0)
在同一坐标系中画出两个函数的图象,
可看出两函数的图象有两个交点,
所以原方程有两个实根.故选(C).
总结:对于求解方程的根的个数时,当不能直接求解时,
可分别构造函数,通过其图象来求解,这是一种处理非常见方程的好方法。
(3). 若关于
x的方程
x?4|x|?5?m
有四个不相等的实根,则实数m的取值范围为________
___。
分析:
m?(1,5)
解:设
y
1
?x?4|x|?5y
2
?m
,画出两函数图象示意图,要使方程
x
?4|x|?5?m
有四个不相等实根,
只需使
1?m?5
22<
br>2
2
x
x
2
2
2
------------
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
-----------------------------
9
x
例2、(1)若直线
y?2a
与函数
y
?a?1
?
a?0,且a?1
?
的图象有两个公共点,
则
a
的取值范围是_________
(2)函数
y?loga
x(a?0,a?1)
在
[2,??)
上恒有
y?1
,则
a
的取值范围( )
A:
(,1)?(1,2)
B:
(0,)?(1,2)
C:
(?3,0)?(3,??)
D:
(??,?3)?(0,3)
分析:(1)由于底数不定,所以需分类画出函数
y?|a
x
?1|
的图象。
(2) 作出函数
y?|lo
g
a
x|在[2,??)
上图象,观察并分析出函数值恒大于1时,参数
a<
br>满足的条件
解:略
四、课堂练习
x
1、
f(x)?3?1
与
g(x)?2
交点的个数为
( )
1
2
1
2
A:0个 B:1个
C:2个 D:3个
2、方程
a
x
?log
a
x(a?0,a?1)
的实根的个数 ( )
A、当
a?1
时,方程没有实数解。
B、当
a?1
时,方程有两个实数解
C、当
0?a?1
,方程只有一个实数解。
D、当
0?a?1
时,方程有两个实数解。
3、方程
2
A
1
的根的范围为
( )
x?1
1133
(0,)
B(,1)
C(1,)
D(,2)
2222
x?2
?<
br>4、函数
y?log
1
x
的定义域为
[a,b]
,值
域为[0,2],则区间
[a,b]
的长度
b?a
的最小值是( )
2
A:
153
, B:3, C:, D:1
4
4
2
?
?
x?bx?c
?
x?0
?
5、设
函数
f
?
x
?
?
?
,若
f
??4
?
?0
,
f
?
?2
?
??2,则
?
?
2
?
x?0
?
关于
x的方程
f
?
x
?
?x
的解的个数是
( )
A、 1 B、 2 C、 3 D、 4
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10
6、已知函数
f(x)?x
2
?ax?3
(1)当
x?R
时,
f(x)?a
恒成立,求
a
的
取值范围
(2)当
x?[?2,2]
时,
f(x)?a
恒成立,求
a
的取值范围
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