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数学必修1-5常用公式及结论

必修1
： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：子集：对任意
x?A
，都有
x?B
，则称A是B的子集。记作
A?B

真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一个元素不属于A，则A是B的真子集，
记作A
?
B 集合相等：若：
A?B,B?A
,则
?
A?B

3. 元素与集合的关系：属于
?
不属于：
?
空集：
?

4、集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为
A
交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为
A
B

B

补集：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，
记为
C
U
A

5．集合
{a
1
, a
2
,
nn
,a
n
}
的子集个数共有
2< br>n
个；真子集有
2
–1个；非空子集有
2
–1个；
*
6.常用数集：自然数集：N 正整数集：
N
整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R
二、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x
1
, x
2
∈D，且x
1
< x
2

① f ( x
1
) < f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x
1
) > f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) > 0 <=> f ( x )是减函数
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2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y = ax
2
+bx + c（
a?0
）的性质
?
b4ac? b
2
?
4ac?b
2
b
1、顶点坐标公式：
??
?
2a
,
4a
?
?
， 对称轴：
x??
2a
，最大（小）值：
4a

??
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
; (2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)两根式
f( x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）a
m
? a
n
= a
m + n
，（2）
a?a?a
n
mnm?n
22
，（3）( a
m
)
n
= a
m n
（4）( ab )
n
= a
n
? b
n

n
?1
1
a
n
?
a
?
m
n
?n< br>（5）
??
?
n
（6）a
0
= 1 ( a≠0)（7）
a?
n
（8）
a
m
?a
（9）
a
m
?

n
m
a
b
?
b
?
a
n
2、根式的 性质
n
（1）
(
n
a)?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； 当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?

4、指数函数y = a
x
(a > 0且a≠1)的性质：
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）







5.指数式与对数式的互化：

log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

五、对数与对数函数
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1
0
X
Y
a > 1
1
0
X
Y
0 < a < 1

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1对数的运算法则：
（1）a
b
= N <=> b = log
a
N（2）log
a
1 = 0（3）log
a
a = 1（4）log
a
a
b
= b（5）a
（6）log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N （7）log
a
(
log
a
N

= N
M
) = log
a
M -- log
a
N
N
（8）log
a
N
b
= b log
a
N （9）换底公式：log
a
N =
n
log
b
N

log
b
a
（10）推论
log
a
m
b?
（11）log
a
N = < br>n
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
1
（12）常用对数：lg N = log
10
N （13）自然对数：ln A = log
e
A
log
N
a
（其中 e = 2.71828…） 2、对数函数y = log
a
x (a > 0且a≠1)的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）






六、幂函数y = x
a
的图象:（1） 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .






例如： y = x
y?
2
Y
a >1
X
1
Y
0 < a < 1
1
X
0
0
a > 1
0 < a < 1 a < 0
x?x

y?
1
2
1
?x
?1

x
七.图 象平移：若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单 位，
得到函数
y?f(x?a)?b
的图象； 规律：左加右减，上加下减
八. 平均增长率的问题
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x
(?p)
如 果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N1
九、函数的零点：1.定义：对于
y?f(x)
，把 使
f(x)?0
的X叫
y?f(x)
的零点。即

y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
.
2.函数零点存在性 定理：如果函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是 连续不断的一条
曲线，并有
f(a)?f(b)?0
，那么
y?f(x)< br>在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，
使得
f(c)?0
，这个C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤：（给定精确度
?
）
（1）确定区间
?
a,b
?
，验证
f(a)?f(b)?0
;(2)求
?
a,b
?
的中点
x
1
?
a?b

2
（3）计算
f(x
1
)
①若
f(x
1
)?0
，则
x
1
就是零点；②若
f(a)?f(x
1
)?0
，则零点
x
0
?
?
a,x
1
?
③若
f( x
1
)?f(b)?0
，则零点
x
0
?
?
x
1
,b
?
；
（4）判断是否达到精确度
?< br>，若
a?b?
?
，则零点为
a
或
b
或
?
a,b
?
内任一值。否
则重复（2）到（4）
必修2：
一、直线与圆 1、斜率的计算公式：k = tanα=
y
2
?y
1
（α ≠ 90°，x
1
≠x
2
）
x
2
?x
1
2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；（2）点斜式 y – y
0
= k ( x – x
0
) ，k存在；
（3）两点式
y?y
1
x?x
1
xy
?
（
x
1
?x
2
,y1
?y
2
） ；4）截距式
??1
（
a?0,b?0
）
y
2
?y
1
x
2
?x
1
ab
（5）一般式
Ax?By?c?0 (A,B不同时为0）

3、两条直线的位置关系：

l
1
：y = k
1
x + b
1

l
2
：y = k
2
x + b
2

重合
平行
垂直
k
1
= k
2
且b
1
= b
2

k
1
= k
2
且b
1
≠ b
2

k
1
k
2
= – 1
l
1
： A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
l
2
： A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
A
1
BC
?
1
?
1

A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
C
1

??
A
2
B
2
C
2
A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0
4、两点间距离公式：设P
1
( x
1
, y
1
) 、P
2
( x
2
, y
2
)，则 | P
1
P
2
| =
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?
x< br>1
?x
2
?
2
?
?
y
1
? y
2
?
2

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5、点P ( x
0
, y
0
)到直线l

：A

x + B y + C = 0的距离：
d?
7、圆的方程

标准方程
圆的方程
x
2
+ y
2
= r
2

(x – a )
2
+ ( y – b )
2
= r
2

x
2
+ y
2
+D x + E y + F = 0
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

圆心
（0，0）
（a，b）
半径
r
r
一般方程
?
DE
?
?
?,?
?

?
22
?
1
D
2
?E
2
?4F

2
8.点与圆的位置关系
22
点
P(x
0
,y< br>0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种若
d ?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，
222
则 d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相 离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
11.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条， 其方程是

x
0
x?y
0
y?
22
D( x
0
?x)E(y
0
?y)
??F?0
.
22
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当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y?
的切点弦方程．
②过圆外一点 的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切 条件求k，这时必
有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆
x?y?r
．
2
①过圆上的
P
0< br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
D(x
0
?x)E(y
0< br>?y)
??F?0
表示过两个切点
22
222
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
2

二、立体几何 （一）、线线平行判定定理：1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直 线平行。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面
和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
（三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
（五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（十二）．证明平面与平面的垂直的思考途径
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P
A
O
C

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（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
三、空间几何体
（一）、正三棱锥的性质
1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a，则有




图形



正三角形

B

2、正三棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABC于O，则O为△ABC的中心，PO为棱锥的高，
取AB的中点D，连结PD、CD，则PD为三棱锥的斜高，CD为△ABC的AB边上的高，
且点O在CD上。∴△POD和△POC都是直角三角形，且∠POD =∠POC = 90°
（二）、正四棱锥的性质
1、底面是正方形，若设底面正方形的边长为a，则有

图形


O
A
外接圆半径 内切圆半径 面积
A
O
D
OA?
3
a

3
OD?
3
a

6
S?
3
2
a

4
P
面积
C
O
B
E
A
外接圆半径 内切圆半径
正方形



B
2
a
OB =
2

OA =
a

2
S = a
2

D
2、正四棱锥的辅助线作法一般是：
作PO⊥底面ABC D于O，则O为正方形ABCD的中心，PO为棱锥的高，取AB的中点E，
连结PE、OE、OA，则 PE为四棱锥的斜高，点O在AC上。∴△POE和△POA都是直角
三角形，且∠POE =∠POA = 90°
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（三）、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。
特殊地，若正方体的棱长为a ，则这个正方体的一条对角线长为
3
a 。
（四）、正方体与球
1、设正方体的棱长为a，它的外接球半径为R
1
，它 的内切球半径为R
2
，则
3a?2R
1
,
a?2R
2






（五）几何体的表面积体积计算公式
1、圆柱: 表面积:2π
R
+2πRh 体积:πR?h
2
D
1

A
1

B
1

D
A B
C
1

O
C
2、圆锥: 表面积:πR?+πRL 体积: πR?h3 (L为母线长)
3、圆台：表面积:
?
r?
?
R?
?
(r?R)l
体积：V＝πh(R?＋Rr＋r?)3
4、球：S
球面
= 4πR
2
V
球
=
22
4
πR
3
（其中R为球的半径）
3
5、正方体： a－边长， S＝6a? ，V＝a?
6、长方体 a－长 ,b－宽 ,c－高 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc
几何体的侧视图(或左视图)
3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。



必修3: 第一章 算法初步
1、算法概念：在数学上，现代 意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问
题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确 和有效的，而且能够在有限步之内完成.
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