高一、二数学必修一二知识点大全

必修1数学
知识点

第一章：集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无
序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、 常见集合：正整数集 合：
N
*
或
N
?
，整数集合：
Z
，有理数 集合：
Q
，实数集合：
R
.
4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是
集合B的 子集。记作
A?B
.
2、 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A
，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
?
.并规定：空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有
2
个子集，
2?1
个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集 合，称为集合A与B的并集.记作：
A?B
.
2、 一般地，由属于集合A且属于集 合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：
A?B
.
3、全集、补集？
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f
，使对于集合A中的任意一个数
x
，在集
合B中都有惟一确定的数f
?
x
?
和它对应，那么就称
f:A?B
为集合A到集 合B的一个函数，记
作：
y?f
?
x
?
,x?A
.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完
全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定义法：设
x
1
、x2
?[a,b],x
1
?x
2
那么
n
nf(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函 数；
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格式：解：设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
且
x
1?x
2
，则：
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
=…
(2)导数法：设函数
y?f(x)< br>在某个区间内可导，若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；
若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
，都有
f
?
?x
??f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为
偶函数.偶函数图象关于
y
轴对称.
2、 一般地，如果对于函 数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
，都有
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为
奇函数.奇函数图象关于原点对称.
知识链接：函数与导数
1、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义：

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- 1 -
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29

函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
， 相应的切
线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
2、几种常见函数的导数
'
①
C
?0
；②
(x)?nx
x'x
n'n?1'
； ③
(sinx)?cosx
； ④
(cosx)??sinx
；
'
x'x
'
⑤
(a)?alna
； ⑥
(e)?e
； ⑦
(log
a
x)?
11
'< br>；⑧
(lnx)?

xlnax
3、导数的运算法则
（1）
(u?v)?u?v
.
（2）
(uv)?uv?uv
.
'''
'''
u'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （3）
()?
vv
2
4、复合函数求导法则
复合函数
y? f(g(x))
的导数和函数
y?f(u),u?g(x)
的导数间的关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
，即< br>y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u
对
x
的导数的乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
5、函数的极值
(1)极值定义：
极值是在
x
0
附 近所有的点，都有
f(x)
＜
f(x
0
)
，则
f( x
0
)
是函数
f(x)
的极大值；
极值是在x
0
附近所有的点，都有
f(x)
＞
f(x
0
)
，则
f(x
0
)
是函数
f(x)
的极小值.
(2)判别方法：
①如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＞0，右侧
f
'
(x)
＜0，那么
f(x< br>0
)
是极大值；
②如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＜0，右侧
f
'
(x)
＞
0， 那么
f(x
0
)
是极小值.
6、求函数的最值
(1) 求
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值（极大或者极小
-4-2

图
象
a?1

0?a?1

1
1
0
-1

-4-2
0
-1

值）
(2)将
y?f(x)
的各极值点与
f(a),f(b)比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注：极值是在局部对函数值进行 比较（局部性
质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体
性质)。

第二章：基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
n
(1)定义域：R
性
（2）值域：（0，+∞）
质
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
(5)
x?0,a?1
;
x?0,0?a?1

x
x
(5)
x?0,0?a?1
;
x?0,a?1

x
x
1、 一般地，如果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。其中
n?1,n?N
?
.
2、 当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；
当
n
为偶数时，
a?a
.
3、 我们规定：
⑴
a
n
m
n
n
?
m
a
n


页 第
- 2 -
页
共
29

?
a?0,m,n?N
⑵
a
?n
*
,m?1
；
?
?
1
?
n?0
?
；
n
a
r?s
4、 运算性质：
⑴
aa?a
⑵
a
r
rs
?
a?0,r,s?Q
?
；
??
s
?a
rs
?
a?0,r,s?Q
?
； < br>rr
⑶
?
ab
?
?ab
?
a?0,b?0, r?Q
?
.
r
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象：
y?a
?
a?0,a?1
?

x

y=a
x

a>1
0
1

o


2、性质：
§2.2.1、对数与对数运算
y
x
x
1、指数与对数互化式：< br>a?N?x?log
a
N
；
2、对数恒等式：
a
log
a
N
?N
.
3、基本性质：
log
a
1?0
，
log
a
a?1
.
4、运算性质：当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：
⑴< br>log
a
?
MN
?
?log
a
M?log< br>a
N
；
⑵
log
a
?
?
M
?
?
?log
a
M?log
a
N
；
N
??
n
⑶
log
a
M?nlog
a
M.
5、换底公式：
log
a
b?
log
c
b

log
c
a
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
.
6、重要公式：
log
a
n
b?
7、倒数关系 ：
log
a
b?
m
m
log
a
b

n
1
?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
log
b
a
§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象：< br>y?log
a
x
?
a?0,a?1
?

y
y=log
a
x
0o

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页
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29
x
1
a>1

2、性质：


图
-1
2.5
1.5
a?1

2.5
1.5
0?a?1

1
0.5
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
1
0
0.5
象
-0.5
1
-1
0
-0.5
1
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2 .5

-2
-2.5


(1)定义域：（0，+∞）
性
（2）值域：R
，即x=1时，y=0
质
（3）过定点（1，0）
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数

(5)
x?1,log
a
x?0
； (5)
x?1,log
a
x?0
；
0?x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0


第三章：函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
< br>?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴 有交点

?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 零点存在性定理：
如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
，那么函数
y?f< br>?
x
?
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在
c?
?
a,b
?
，使得
f
?
c
?
?0
，这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

必修2数学
知识点
第一章：空间几何体
1、空间几何体的结构
⑴
常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围
成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：
用一个平行于棱锥底面的平 面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投 影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影
叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

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3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；
S
侧面
?2
?
?r?l


⑵圆锥侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l



⑶圆台侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l?
?
?R?l

⑷体积公式：
V
柱体
?S?h
；< br>V
锥体
?
1
S?h
；
3
V
台体< br>?
1
S
上
?S
上
?S
下
?S
下
h

3
??
⑸球的表面积和体积：
4
S球
?4
?
R
2
，V
球
?
?
R
3
.
3
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：
平行、相交、异面。
7、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：
平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：
平面 外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。
⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线 面平行，
则线线平行）。
10、面面平行：
⑴判定：
一个平面内的两条相 交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
⑵性质：
如果 两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：
如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就 说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 ，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂 直，则线面垂直）。

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页
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第三章：直线与方程
1、倾斜角与斜率：
k?tan
?
?
y
2
?y
1
x

2
?x
1
2、直线方程：
⑴点斜式：
y?y
0< br>?k
?
x?x
0
?

⑵斜截式：
y?kx?b

⑶两点式：
y?y
1
y
x?x
?
2
?y
1
x

12
?x
1
⑷截距式：
x
a
?
y
b
?1

⑸一般式：
Ax?By?C?0


3、对于直线：
l< br>1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y?k2
x?b
2
有：
⑴
l
1
?k
21
l
2
?
?
?
k
?
bb
；
1
?
2
⑵
l
1
和
l
2
相 交
?k
1
?k
2
；
⑶
l
?
?< br>k
1
?k
2
1
和
l
2
重合
?
?
b
1
?b
；
2
⑷
l
1?l
2
?k
1
k
2
??1
.

4、对于直线：
l
1
:A
1
x?B
1
y ?C
1
?0,
l
有：
2
:A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0
⑴
l
1
B
2
?A
2
B
1
1
l
2
?
?
?A
?
B
；
1
C
2
?B
2
C
1
⑵
l
1
和
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B
1
；
⑶
l< br>2
?A
2
B
1
1
和
l
2
重 合
?
?
?
A
1
B
；
?
B
1
C
2
?B
2
C
1
⑷
l
1?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.

5、两点间距离公式：

共
29

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- 6 -
页

P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y< br>1
?
2


6、点到直线距离公式：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22
7、两平行线间的 距离公式：
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
与l
2
：
Ax?By?C
2
?0
平行，则
d?< br>第四章：圆与方程
1、圆的方程：
2
⑴标准方程：
?
x? a
?
?
?
y?b
?
?r

22
C
1
?C
2
A?B
22

其中圆心为
(a,b)
，半径为
r
.
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?0
.
其中圆心为
(?
22
D
22
2、直线与圆的位置关系 ,?
E
)
，半径为
r?
1
2
D
2?E
2
?4F
.
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
弦长公式：
l?2r
2
?d
2

?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

3、两圆位置关系：
d?O
1
O
2

⑴外离：
d?R?r
；
⑵外切：
d?R?r
；
⑶相交：
R?r?d?R?r
；
⑷内切：
d?R?r
；
⑸内含：
d?R?r
.
3、空间中两点间距离公式：
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
??
z
2
?z
1
?
2

必修3数学
知识点
第一章：算法
1、算法三种语言：
自然语言、流程图、程序语言；
2、流程图中的图框：
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；
3、算法的三种基本结构：

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页
共
29

顺序结构、条件结构、循环结构
?
⑴顺序结构示意图：




?
当型循环结构

?
直到型循环结构
语句n
（图1）
示意图：
IF-THEN-ELSE格式：
语句n+1

⑵条件结构
①




满足条件？

是


语句1
否
语句2





（图2）
②IF-THEN格式：



满足条件？

否

（图3）

⑶循环结构示意图：
①当型（WHILE型）循环结构示意图：



循环体



满足条件？
是

否


（图4）
②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：


循环体
否

满足条件？

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- 8 -
页
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29
是
语句

（图5）

4、基本算法语句：
①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量
②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
③赋值语句的一般格式：变量＝表达式
（“=”有时也用“←”）.
④条件语句的一般格式有两种：
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：

IF 条件 THEN


语句1

ELSE

语句2

（图2）

END IF


IF—THEN语句的一般格式为：


IF 条件 THEN

语句

END IF
（图3）


⑤循环语句的一般格式是两种：
当型循环（WHILE）语句的一般格式：

WHILE 条件

循环体

（图
4）

WEND


直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：


DO

循环体

LOOP UNTIL 条件



（图
5）


⑹算法案例：
①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到

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共
29

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商< br>S
0
和一个余数
R
0
；
ⅱ）：若
R
0
＝0，则n为m，n的最大公约数；若
R
0
≠0，则用除数n除以余数< br>R
0
得到一个商
S
1
和一
个余数
R
1
；
ⅲ）：若
R
1
＝0，则
R
1
为m， n的最大公约数；若
R
1
≠0，则用除数
R
0
除以余数R
1
得到一个商
S
2
和一
个余数
R
2
；……
依次计算直至
R
n
＝0，此时所得到的
R
n?1
即为所求的最大公约数。
②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到
利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，
直 到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数—除k取余法
k进制数化为十进制数
第二章：统计
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
n
注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为。
N
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
x?x?x
3
?
?
?x
n
⑴平均数：
x?
12
；
n
取值为
x
1
,x
2
,
?
,x
n
的频率分别为
p
1
,p
2
,
?
,p
n
，则其平均数为
x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n< br>p
n
；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差 ：一组样本数据
x
1
,x
2
,
?
,x
n< br>
1
方差：
s
2
?
n
?
(x
i?1
n
2
i
?x)
；
标准差：
s?
1
n
?
(x
i?1
n
2
i
?x)

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）

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?

< br>n
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?
b?
n
2

2
?
x ?nx
?
i
?
i?1
?
?
?
a?y?bx
注意：线性回归直线经过定点
(x,y)
。
第三章：概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
⑶随机事件A的概率：
P(A)?
m
,0?P(A)?1
.
n
2、古典概型：
⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n个，事件A包含了其中的m个基本事件，
则事件A发生的概率
P(A)?
m
.
n
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
P(A)?
d的测度
；
D的测度
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件
A
1
,A
2
,
?
,A
n
任意两个都是互斥 事件，则称事件
A
1
,A
2
,
?
,A
n< br>彼此互斥。
⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B发生的概率的和，
即：
P(A?B)?P(A)?P(B)

⑷如果事件
A
1
,A
2
,
?
,A
n
彼此互斥，则有：
P (A
1
?A
2
???A
n
)?P(A
1
) ?P(A
2
)???P(A
n
)

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
①事件
A
的对立事件记作
A

P(A)?P(A)?1,P(A)?1?P(A)

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。


必修4数学
知识点

第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合：

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?
??
?
?
?2k
?
,k?Z
?
.
l
.
r
n
?
R
?
?
R
.
180
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、
?
?
3、弧长 公式：
l?
n
?
R
2
1
?lR
. 4、扇形面积公式：
S?
3602
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P
?
x,y
?
，那么：
sin
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
2、 设点
A
?
x,y

sin
?< br>?
（设
r?
?
为角
?
终边上任意一点，那么：
y

x
x
2
?y
2
）
x
yx y
，
cos
?
?
，
tan
?
?
，
cot
?
?

y
rrx
3、
sin< br>?
，
cos
?
，
tan
?
在四个象限的符号 和三角函数线的画法.

y
T
正弦线：MP;
P
余弦线：OM;
正切线：AT
O
M
A
x


5、 特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函数值.
0
?

?
6
?
4

?
3
?
2
2
?
3
3
?
4
?




3
?
2
2
?





sin
?






























cos
?

tan
?

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系：
sin
?
?cos
?
?1
.
22
sin
?
.
cos
?
3、 倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

2、 商数关系：
tan
?
?
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为
“奇变偶不变，符号看象限”
k?Z
）
1、 诱导公式一：
sin
?
?
?2k
?
?
?sin< br>?
,
cos
?
?
?2k
?
?
?co s
?
,
（其中：
k?Z
）
tan
?
?< br>?2k
?
?
?tan
?
.
2、 诱导公式二：

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sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
3、诱导公式三：
sin
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

tan
?
?
?
?
??tan
?
.
4、诱导公式四：
sin
?
?
?
?
?
?sin< br>?
,

cos
?
?
?
?
?< br>??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.
5、诱导公式五：

?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?sin
?
.
?
2
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?

6、诱导公式六：

?
?
?
cos
?
?
?
?
??sin
?
.
?
2
?

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质


1、记住正弦、余弦函数图象：

y
y=sinx

?
3
?
7
?
-5
?
-
1

2
22
2
o
?
?
4
?
x
-2
?
-3
?
-
?
2
?
5
?3< br>?

-4
?
-7
?
-3
?
-122
2
2

y

y=cosx
?
3
?
7
?
-5
?

1
-
-
?
2
3
?
2
-3
?
2
?
2

-7
?
o
?
4
?
x
-2
?
-3
?
2
?5
?
- 4
?
-1
2

2
2
2
2、能够对照图象讲 出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、
奇偶性、单调性、周期 性.
3、会用五点法作图.
0）（，，1）（，
?
，0）（，

0，
y?sinx
在
x?[0,2
?
]
上的五个关 键点为：
（
2
?
3
?
，-1）（，2
?
， 0）.

2

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§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=c otx
y=tanx
-
?
-
?
2
o
?2
?
3
?
2
2
?
x
-
3?
2
-
?
-
?
2
o
?
2?
3
?
2
x


3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义：对于函数
f
?
x
?
，如果存在一 个非零常数T，使得当
x
取定义域内的每一个值时，都有
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx

y?cosx

y?tanx


图象

定义域
值域
x?2k
?
?

R

[-1,1]
?
2
R

[-1,1]

{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

R



无
,k?Z时，y
max
?1
最值
x?2k
?
?
?
2

,k?Z时，y
mi n
??1
x?2k
?
,k?Z时，y
max
?1
x ?2k
?
?
?
,k?Z时，y
min
??1

周期性
奇偶性
2
T?2
?

奇
在< br>[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]上单调递增
2
T?2
?

偶
在
[2k?
?
?
,2k
?
]
上单调递增
T?
?

奇
单调性
在
(k
?
?
?
,k
?
?
?
)
上单调递增
22
k?Z

在
[2k
?
?
?
, 2k
?
?
3
?
]
上单调递减
在
[2k< br>?
,2k
?
?
?
]
上单调递减
22

- 1 -
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?
对称性
对称轴方程：
x?k
?
?

2
k?Z

对称中心
(k
?
,0)

对称轴方程：
x?k
?

对称中心
(k
?
?
无对称轴
对称中心
(
?
2
,0)

k
?
2
,0)

§1.5、函数
y?Asin?
?
x?
?
?
的图象
1、对于函数：
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，
x∈R(A,
?
,
?
为常数，且A≠0)的周期T?
数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x ?k
?
?
常数，且A≠0)的周期
T?
y?Asin
??
x?
?
?
?B
?
A?0,
?
?0< br>?
有：振幅A，周
期
T?
2
?
；函
|
?
|
2
?
?
2
?
，初相
?
，相 位
?
x?
?
，频率
f?
1
T
?
?
2
?
.
,k?Z
(A,ω,
?
为
2、能 够讲出函数
y?sinx
的图象与
?
.
|
?
|
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
的图象之 间的平移伸缩变
换关系.
① 先平移后伸缩：
对于
y?Asin
?
(x?
?
和
)y?Acos(
?
x?
?
)
来
说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数
y?Asi n(
?
x?
?
)
图像的对称轴与对称中心，
只需令
?
x?
?
?k
?
?
y?sinx

平移
|
?
|
个单位

y?sin
?
x?
?
?

y?Asin?
?
?

?
x
y?Asin
?
?
x?
?
?

?
（左加右减）
2
解出
x
即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：
A?
(k?Z)
与
?
x?
?
?k
?
(k?Z)


横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍
?
要根据周期来求,
?
要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：
?

cos
?

tan
?

sin
?

?
12
y
max
?y
min
y?y
min
，
B?
m ax
.
22

纵坐标不变
横坐标变为原来的
|
平移
|B|
个单位

（上加下减）
1
?
|
倍
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B


② 先伸缩后平移：

6?2
4

6?2
4

2?3

y?sinx

横坐标不变
y?Asinx

纵坐标变为原来的A倍
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?


纵坐标不变
横坐 标变为原来的
|
平移
?
?
y?Asin
?
x

2、
sin
?
?
?
?
?
?sin?
cos
?
?cos
?
sin
?

3 、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

4、
co s
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

5、
tan
?< br>?
?
?
?
?
6、
tan
?
?
?
?
?
?
1
?
|
倍
个单位

y?Asin?
?
?

?
?
x
（左加右减）
平移
|B|
个单位

（上加下减）
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?.
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.

- 2 -
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§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?
，
变形：
sin
?
cos
?
?
1
s in2
?
.
2
2、
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

?2cos
2
?
?1

?1?2sin
2
?
.
变形如下：
2
?
?
1?cos2
?
?2cos
?
升幂公式：
?

2
?
?
1?cos2
?
?2sin
?
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.






2、
a?b
≤
a?b
.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的相反向量.



2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.






§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数
?
与向量
a
的积是一个向量，这种运
算叫做向量的数乘.记作：
?< br>a
，它的长度和方向
规定如下：
⑴
?
a?
?
a
,
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向 相同；当
?
cos
2
?
?
1
(1?cos2
?
)
?
2
降幂公式：
?

2
1
?
sin
?
?(1?cos2
?
)
?2
3、
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?tan?
4、
tan
?
?
sin2
?
1?cos2< br>?

?
1?cos2
?
sin2
?
§3.2 、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
y?a sinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
（其中辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
b
定,
tan
?
?
).
a
第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三
个要素：起点、方向、长度.
2、 向量AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称
模），记作
AB；长度为零的向量叫做零向量；长
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当
且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
.
§2.3.1、平面向量基本定理
??
度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共
个不共线向量，那么对于这一平面内任一 向量
a
，
线向量）.规定：零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量

- 2 -
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29
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1、 平面向量基本定理：如果
e
1
,e2
是同一平面内的两

有且只有一对实数
?
1< br>,
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
⑶
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
，则：
⑴
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
，
⑵
a?b ?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>?
，
⑶
?
a?
?
?
x
1
,
?
y
1
?
，
⑷
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
.
2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则：

AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2?
,C
?
x
3
,y
3
?
，则
⑴线段AB中点坐标为
?
x
1
?x
2
,
y
1
?y
2
22
?
，
⑵△ABC的重心坐标为
?
x
1
?x
2
?x
3
?y
2
?y< br>3
3
,
y
1
3
?
.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、
a?b?abcos
?
.
2、
a
在
b
方向上的投影为：
acos
?
.
3、
a
2
?a
2
.
4、
a?a
2
.
5、
a?b?a?b?0
.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设
a?
?x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则：
⑴
a?b?x
1
x
2< br>?y
1
y
2

⑵
a?x
2
1
?y
2
1

⑷ab?a?
?
b?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则：
AB?
?
x
2
?x
1
?
2?
?
y
2
?y
1
?
2
.
3、 两向量的夹角公式

cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>x
2
?y
222

11
?x
2
?y
2
4、点的平移公式
平移 前的点为
P(x,y)
（原坐标），平移后的对应点
为
P
?
(x
?
,y
?
)
（新坐标），平移向量为
PP
?< br>?(h,k)
，
则
?
?
x
?
?x?h
?
?y?k.

?
y
函数
y?f(x)的图像按向量
a?(h,k)
平移后的
图像的解析式为
y?k?f(x? h).

§2.5.1、平面几何中的向量方法
§2.5.2、向量在物理中的应用举例

知识链接：空间向量
空间向量 的许多知识可由平面向量的知识类比而得.
下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行
总结归纳.
1、
直线的方向向量和平面的法向量

⑴．直线的方向向量：
若A、B是直线
l
上的任意两点，则
AB
为直线
l的
一个方向向量；与
AB
平行的任意非零向量也是直线
l
的方向 向量.
⑵．平面的法向量：
若向量
n
所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量
垂直于平面
?
，记作
n?
?
，如果
n?
?
，那么向量
n
叫做平面
?
的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
共
29
页

第
- 3 -
页

②设平面
?
的法向量为
n?(x,y,z)
．
③求出平面 内两个不共线向量的坐标
l
1
?l
2
，只需证明
a?b，即
a?b?0
.
即：两直线垂直
⑵线面垂直
两直线的方向向量垂直。
a?(a
1
,a
2
,a
3
),b?(b
1
,b
2
,b
3
)
．
?
?
n?a?0
④根据法向量定义建立方程组
?
.
?
?
n?b?0
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面
?
的法向量 .

（如图）





①（法一）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
的法向
量是
u
，则要证明
l?
?
，只需证明
a
∥
u
，即
a?
?
u
.
②（法二）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
内的两
?
?
a?m?0
n
，若
?
,则l?
?
.
个相交向量分别为
m、
?
?
a?n?0
即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的
法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线
直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面
?
的法向量为
u
，平面
?
的法向量为< br>v
，要
证
?
?
?
，只需证
u?v
， 即证
u?v?0
.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知
a,b
为两异 面直线，A，C与B，D分别是
a,b
上的任意两点，
a,b
所成的角为?
，
则
cos
?
?

2、 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
b
，则要证明
l
1
∥ 设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、
l
2
，只需证明
a
∥
b
，即
a?kb(k?R)
.
即：两直线平行或重合
⑵线面平行
两直线的方向向量共线。
①（法一）设直线l
的方向向量是
a
，平面
?
的法向
量是
u，则要证明
l
∥
?
，只需证明
a?u
，即
a? u?0
.
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面
的法向量垂直且直线在平面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可
以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量 是共线
向量即可.
⑶面面平行
若平面
?
的法向量为
u< br>，平面
?
的法向量为
v
，要
证
?
∥
?
，只需证
u
∥
v
，即证
u?
?
v
.
即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
AC?BD
ACBD
.

⑵求直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
② 求法：设直线
l
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量
为
u
，直线与平面所成的角为
?
，
a
与
u
的夹角为
?
，
则
?
为
?
的余角或
?
的补角
的余角.即有：
sin
?
?cos
?
?
a?u< br>au
.

b
，则要证明设直线
l
1
,l2
的方向向量分别是
a、
⑶求二面角
①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，

- 4 -
页
共
29
页 第

其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发 的两个
半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面
角的棱，每个半平面叫做二面角的面
MP
在法向量
n
方向上的投影的绝对值.
即
d?MPcosn,MP

二面角的平面角是指在二面角
?
?l?
?
的棱上
任取一点O，分别在两个半平面内作射线

?MP?
n?MP
nMP


AO?l,BO?l
，则
?AOB
为二面角
?
?l?
?
的平
面角.
如图：



A
B
O
?
l
B
n?MP
n
O
⑶直线
a
与平面
?
之间的距离
当一条直线和一个平面 平行时，直线上的各点到平
面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化
为求直线上任一 点到平面的距离，即转化为点面距离。

即
d?

⑷两平行平面
?
,
?
之间的距离
，
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平
面间的距离转化为求点面距离。
即
d?
A
②求法：设二面角
?
?l?
?
的两个半平面的法向量
n
，再设
m、n
的夹角为
?
，二面角 分别为
m、
n
的夹角
?
?l?
?
的平面角为
?
，则二面角
?
为
m、
n?MP
n
.

?
或其补角
?
?
?
.

根据具体图形确定
?
是锐角或是钝角：
◆如果
?
是锐角， 则
cos
?
?cos
?
?
m?n
mn
即< br>?
?arccos
m?n
mn
n?MP
n
；
.

◆ 如果
?
是钝角，则
cos
?
?? cos
?
??
m?n
mn
⑸异面直线间的距离
，
设向量
n
与两异面直线
a,b
都垂直，
M?a,P?b ,
则两异面直线
a,b
间的距离
d
就是
MP
在向量
n
方向
上投影的绝对值。
即
d?
?
m?n
?
?
. 即
?
?arccos
?
?
?
mn
?
??
5、利 用法向量求空间距离
⑴点Q到直线
l
距离
n?MP
n
.

6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理 ：在平面内的一条直线，如果它和这个
方向向量，
b
=
PQ
，则点Q 到直线
l
距离为
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
1
直
h?(|a||b|)
2
?(a?b)
2

|a|
P
推理模式：
若Q为直线
l
外的一点,
P
在直线
l
上，
a
为直线
l
的
⑵点A到平 面
?
的距离
若点P为平面
?
外一点，点M为平面
?
内任一点，
平面< br>?
的法向量为
n
，则P到平面
?
的距离就等于
PO?
?
,O?
?
?
?
PA
?
?A
?< br>?a?PA
a?
?
,a?OA
?
?

O
A
a
?

- 5 -
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29
页 第

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果
和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线 的
射影垂直
PO?
?
,O?
?
?
?
推理 模式：
PA
?
?A
?
?a?AO

a?
?
,a?AP
?
?
概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理
设AC是平面
?
内的任一条直线，AD是
?
的一条
斜线AB在
?
内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与?
(AD)所成的角为
?
1
， AD与AC所成的角为
?
2
， AB
与AC所成的角为
?
． 则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2.

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
元素。

2、余弦定理：
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,
?
222
?
b?a?c?2accosB,

?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC.
?
?
b
2
?c
2
?a
2
,
?
cosA?
2bc
?
a
2
?c
2
?b
2
?
,

?
cosB?
2ac
?
?
a
2
?b
2
?c
2
.
?
cosC?
2ab
?< br>用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。
做题中两个定理经常结合使用
.
3、三角形面积公式：
B


?
A
?
1
?
2
?
D
C

8、 面积射影定理
已知平面
?
内一个多边形的面积为
SS
原
，它在
平面
?
内的射影图形的面积为
S
?
S< br>射
，平面
?
与平
面
?
所成的二面角的大小为锐二面角
?
，则
??
S
?ABC
?
111
abs inC?bcsinA?acsinB

222
??
4、三角形内角和定理：
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)< br>
S
'
S
射

cos
?
?=.

SS
原
?
C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
5、一个常用结论：
在
?ABC
中，
a?b?sinA?sinB?A?B;

9、一个结论
?
若
sin2A?sin2B,则A?B或A?B?.特别注意，
长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射
2
影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
，夹角分别为
?
1
、
?
2
、
?
3
,则有
在三角函数中，
sinA?sinB?A?B
不成立。
2222222l?l
1
?l
2
?l
3
?cos
?
1
?cos
?
2
?cos
?
3
?1


第二章：数列
?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
1、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系：
必修5数学
知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：
,(n? 1)
?
S
1
a
n
?
?
注意通项能否合并。
S?S,(n?2).
n?1
?
n
2、等差数列：
⑴定义 ：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的差等于同一个常数，即
a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥
2，n∈N），
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数
a、A、b
成等差数列

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?
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
（其 中
R
为
?ABC
外接圆的半径）
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC;

?sinA?
abc
,sinB?,sinC?;

2R2R2R
?a:b:c?sinA:sinB:sinC.

?A?
a?b

2
⑸常用性质
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N
?
?
，则< br>⑶通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d?a
m?(n?m)d

或
a
n
?pn?q(p、q是常数）.

⑷前
n
项和公式：
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
； < br>②
a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
为等比数列，公比为
q
(下标成
等差数列,则对应的项成等比数列)
③数 列
?
?
a
n
?
（
?
为不等于零的常数）仍 是公比为
q
的
等比数列；正项等比数列
?
a
n
?< br>；则
?
lga
n
?
是公差为
k
S
n
?na
1
?
n
?
n?1
?
n
?< br>a
1
?a
n
?
d?

22
⑸常用性质：
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p ,q?N
?
?
，则
lgq
的等差数列；
④若
?< br>a
n
?
是等比数列，则
?
ca
n
?
，

?
a
n
2
，
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
②下标为等差数列的项
?< br>a
k
,a
k?m
,a
k?2m
,?
?
，仍组成
等差数列；
③数列
?
?
a
n
?b?
（
?
,b
为常数）仍为等差数列；
④若
{a
n
}
、
{b
n
}
是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n
?pb
n
}

(
k
、
p
是非零常数)、
{a
p?nq
}(p,q? N)
、，…也成等
差数列。
⑤单调性：
?
a
n
?
的公差为
d
，则：
ⅰ）
d?0?
?
a
n
?
为递增数列；
ⅱ）
d?0?
?
a
n
?
为递减数列；
ⅲ）
d?0?
?
a
n
?
为常数列；
⑥数 列{
a
n
}为等差数列
?a
n
?pn?q
（p,q 是常数）
⑦若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2k
?S
k
、
*
??
?
1
?

?
，
a
?
n
?
2
1
r
q，q，，q
r
.
是等比数列，公比依次是
a(r?Z)
?
n
?
q
⑤单调性：
a
1
?0,q?1或a
1
?0,0?q?1
?
?< br>a
n
?
为递增数列；
a
1
?0,0?q?1或a1
?0,q?1?
?
a
n
?
为递减数列；
q?1?
?
a
n
?
为常数列；
q?0?
?
a
n
?
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k< br>、
S
2k
?S
k
、
S
3k
?S2k
… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列
的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从
而根 据规律写出此数列的一个通项。
的关系，求数列
?
a
n
?
的通项
a
n
可用公式
类型Ⅱ 公式法： 若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
S3k
?S
2k
… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义：如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数 列。
⑵等比中项：若三数
a、G、b
成等比数列
?G?ab,
（< br>ab
同号）。反之不一定成立。
n?1n?m
⑶通项公式：
a
n
?a
1
q?a
m
q

2
,(n?1)
?
S
1
a
n
?
?
构造两式作差求解。 < br>?
S
n
?S
n?1
,(n?2)
用此公式时要注意结 论有两种可能，一种是“一
分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即
a
1和
a
n
合为一个表达，（要先分
n?1
和
n?2
两种情况分别进
⑷前
n
项和公式：
S
n
?
a1
?
1?q
1?q
n
?
?
a?aq

1n
1?q

- 7 -
页
共
29
页 第

行运算，然后验证能否统一）。
类型Ⅲ 累加法：
形如
a
n?1
?a
n
?f (n)
型的递推数列（其中
f(n)
是关
（2）若
q?0
时 ，数列{
a
n
}为等比数列;
（3）若
p?1
且
q?0
时，数列{
a
n
}为线性递推数列，
其通项可通过待定系数法 构造等比数列来求.方法有
如下两种：

法一：
设
a
n?1
?
?
?p(a
n
?
?
)
,展开移项 整理得
?
a
n
?a
n?1
?f(n?1)
?
a?a?f(n?2)
?
n?1n?2
于
n
的函数）可
构 造：
?

...
?
?
?
a
2
? a
1
?f(1)
将上述
n?1
个式子两边分别相加，可得：
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a
1
,( n?2)

①若
f(n)
是关于
n
的一次函数，累加后可转 化为等差
数列求和;
② 若
f(n)
是关于
n
的指数函数，累加后可转化为等
比数列求和;
③若
f(n)
是关于
n
的二次函数，累加后可分组求和;
④若
f(n)
是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法：
形如
a
n?1
?a
n
?f (n)
?
a
n?1
?pa
n
?(p?1)
?
,与题设
a
n?1
?pa
n
?q
比较系
数（待定 系数法）得
?
?
qqq
,(p?0)?a
n?1
??p(a
n
?)
p?1p?1p?1
?a
n
?
?
q q
q
?
?p(a
n?1
?)
,即
?
an
?
?
构成
p?1p?1
p?1
??
以
a
1
?
q
为首项，以
p
为公比的等比数列.再利用
p?1
等比数列的通项公式求出
?
a
n
?
?
?< br>q
?
?
的通项整理可
p?1
?
?
a
n?1
?
?f(n)
?
型的递推数列（其
?
a
n< br>?
得
a
n
.

?
a
n
?< br>a
?f(n?1)
?
n?1
?a
n?1
?f(n?2 )
?
中
f(n)
是关于
n
的函数）
可构造：
?
a
n?2

?
...
?
?
a
2
?
a
?f(1)
?
1
将上述
n?1
个 式子两边分别相乘，可得：
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f (1)a
1
,(n?2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这
种方法求解。
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形如
a
n?1
?pa
n
?q
（其 中
p,q
均为常数且
p?0
）
型的递推式：
（1）若
p?1
时，数列{
a
n
}为等差数列;
法二：
由
a
n?1
?pa
n
?q
得
a< br>n
?pa
n?1
?q(n?2)
两式
相减并整理得
a
n?1
?a
n
?p,
即
?
a
n?1
?a
n
?
构成以
a
n
?a
n?1
a2
?a
1
为首项，以
p
为公比的等比数列.求出
?a
n?1
?a
n
?
的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
a
n
.

㈡形如
a
n?1
?pa< br>n
?f(n)
(p?1)
型的递推式：
⑴当
f(n)
为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：
设
a
n
?An?B?p
?
a
n?1
?A(n?1)?B?
，
通过待定系数法确定
A、
转化成以
a
1
? A?B
B
的值，
为首项，以
p
为公比的等比数列
?
a
n
?An?B
?
，再利
用等比数列的通项公式求出
?a
n
?An?B
?
的通项整
理可得
a
n
.


- 8 -
页
共
29
页 第

法二：
当
f(n)
的公差为
d
时，由递推式得：
在
a
n?1
?pa
n
?f(n)
两边同时除以
p< br>n?1
可得到
a
n?1
?pa
n
?f(n)
，
a
n
?pa
n?1
?f(n?1)
两式相减
a< br>n
得：得：
a
n?1
?a
n
?p(a
n?a
n?1
)?d
，令
b
n
?a
n?1
?
a
n?1
a
n
f(n)
a
n
f(n)
???b
b?b?
，令，则，
n
n?1n
n?1nn?1n
n?1
pppp
p
n
在转化为类型Ⅲ（累加法），求出
b< br>n
之后得
a
n
?pb
n
.
b
n
?pb
n?1
?d
转化为类型Ⅴ㈠求出
b< br>n
，再用类型Ⅲ
（累加法）便可求出
a
n
.

⑵当
f(n)
为指数函数类型（即等比数列）时：

类型Ⅵ 对数变换法：
q
形如
a
n?1
?pa(p?0,a
n?0)
型的递推式：
法一：
设
a
n
?
?f(n)?p
?
a
n?1
?
?
f(n?1)
?
，通过
待定系数法确定
?
的值，转化成以
a
1
?< br>?
f(1)
为首项，
以
p
为公比的等比数列
?
a
n
?
?
f(n)
?
，再利用等比数
列的通项公 式求出
?
a
n
?
?
f(n)
?
的通项整理 可得
a
n
.

q
在原递推式
a
n?1?pa
两边取对数得
lga
n?1
?qlga
n
?lg p
，令
b
n
?lga
n
得：
b
n?1?qb
n
?lgp
，化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型，求出
b
n
之后得
a
n
?10n
.
（注意：底数不一定要取10，可根据
题意选择）。
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如
a
n?1
?a
n
?pa
n?1
a
n
（
p
为常数且
p?0
）的递推
b法二：
当
f(n)
的公比为
q
时，由递推式得：
an?1
?pa
n
?f(n)
——①，
a
n
?p a
n?1
?f(n?1)
，两
边同时乘以
q
得
a< br>n
q?pqa
n?1
?qf(n?1)
——②，由
①②两式相 减得
a
n?1
?a
n
q?p(a
n
?qa
n?1
)
，即
式：两边同除于
a
n?1
a
n
，转化为
11
??p
形式，
a
n
a
n?1
化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型求出
1
的表达式，再求
a
n
；
a
n
a
n?1
? qa
n
?p
，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
a
n
.

a
n
?qa
n?1
法三：
递推公式为
a
n ?1
?pa
n
?q
n
（其中p，q均
为常数）或
a
n?1
?pa
n
?rq
（其中p，q, r均为常数）
时 ，要先在原递推公式两边同时除以
q
n?1
n
还有形如
a
n ?1
?
ma
n
的递推式，也可采用取倒数方
pa
n
?q
法转化成
1
?
m1
?
m
形式，化归为
a
n?1
?pa
n
?q
a
n?1
qa
n< br>p
型求出
1
的表达式，再求
a
n
.
a
n

类型Ⅷ 形如
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列
{a
n
?a
n?1
}
的形式
求解。方法为：设
a
n?2
?ka
n?1
?h(a< br>n?1
?ka
n
)
，比较
，得：
a
n?1< br>p
a
n
1
???
，引入辅助数列
?
b
n
?
（其中
q
n?1
q
q
n
q
b
n
?
a
n
p1
b?b?
），得：再应用类型Ⅴ㈠ 的方
n?1n
q
n
qq
k
，于是系数得
h?k?p ,?hk?q
，可解得
h、
{a
n?1
?ka
n
}
是公比为
h
的等比数列，这样就化归为
法解决。
⑶当
f(n)
为任意数列时，可用通法：

- 9 -
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29
页 第

a
n?1
?pa
n
?q
型。
总之，求数列通项公 式可根据数列特点采用以上
不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，
可用归纳、猜想 、证明方法求出数列通项公式
a
n
.


5、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数 列
?
a
n
?
为等差数列，数列
?
b
n?
为等比数列，
则数列
?
a
n
?b
n
?
的求和就要采用此法.
②将数列
?
a
n
?b
n
?
的每一项分别乘以
?
b
n
?
的公比，
然 后在错位相减，进而可得到数列
?
a
n
?b
n
?
的 前
n
项
和.
③
11
?(a?b);

a ?b
a?b
m?1mm
?C
n?1
?C
n
;
④
C
n
⑤
n?n!?(n?1)!?n!.


⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，
若将这类数列适当拆 开，可分为几个等差、等比或常
见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两
步：①找 通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法
如果一个数列
?
a
n
?
，与首末两项等距的两项之和等于
首末两项之和，则可用把正 着写与倒着写的两个和式
相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为
倒序相加法。特征 ：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?...

⑸记住常见数列的前
n
项和：
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方
法
.
⑵裂项相消法
一般地，当数列的通项
a
n
?
c

(an?b
1
)(an?b
2
)
①
1?2?3?. ..?n?
n(n?1)
;

2
2
②
1?3?5?...?(2n?1)?n;

③1?2?3?...?n?
2222
(a,b
1
,b
2
,c为常数）
时，往往可将
a
n
变成两项的差，
采用裂项相消法求和 .
可用待定系数法进行裂项：
设
a
n
?
1
n(n?1)(2n?1).

6
选修数学
知识点
专题一：常用逻辑用语
1、命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑
联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题;
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母
p
，
q
，
r
，
s
，……表示命
题.
2、四种命题及其相互关系







?
an?b
1
?
?
an? b
2
，通分整理后与原式相
比较，根据对应项系数相等得
?
?
c
，从而可得
b
2
?b
1
cc11
=(?).

(an ?b
1
)(an?b
2
)(b
2
?b
1
) an?b
1
an?b
2

常见的拆项公式有：
①
111
??；

n(n?1)nn?1
1111
?(?);

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
②

- 10 -
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页 第

四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性
没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地，如果已知
p?q
，那么就 说：
p
是
q
的
充分条件，
q
是
p
的必要条件；
若
p?q
，则
p
是
q
的充分必要条 件，简称充要条件．
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命
题的条件
p
与结论
q
之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：
①若
p?q
，则
p
是
q
充分条件，
q< br>是
p
的必要条件；
②若
p?q
，但
q

p
，则
p
是
q
充分而不必要条件;
③若
p

q
，但
q?p
，则
p
是
q
必要而不充分条件;
④若
p?q
且
q?p
， 则
p
是
q
的充要条件；
⑤若
p

q
且
q

p
，则
p
是
q
的既不充分也不必要
条件.
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：
已知
A?xx
满足条件
p?
，
B?xx
满足条件
q
?
：
①若
A?B
,则
p
是
q
充分条件；
②若
B?A
,则
p
是
q
必要条件；
③若A B，则
p
是
q
充分而不必要条件;
④若B A，则
p
是
q
必要而不充分条件;
⑤若
A?B
，
则
p
是
q
的充要条件； < br>⑥若
A?B
且
B?A
，则
p
是
q
的 既不充分也不必要
条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：
p
或
q
（
p?q
）；
p
且
q
（
p ?q
）；非
p
（
?p
）.
⑵复合命题的真假判断
“
p
或
q
”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；
“
p
且
q
”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；
“非
p
”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称
量词，并用符号“
?
”表示.含有全称量词的命题，叫
做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做< br>存在量词，并用符号“
?
”表示.含有存在量词的命题，
叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题
p
：
?x?? ,p(x)
，它的否定
?p
：
??
?x
0
??,? p(x
0
).
全称命题的否定是特称命题．
②特称命题
p
：
?x
0
??,p(x
0
),
，它的否定
?p：
?x??,?p(x).
特称命题的否定是全称命题.


专题二：圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形



标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
第一定义
F
2
的距离之和等于常数2
a
，即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
（
2a?|F
1
F
2|
） 到两定点
F
1
、

- 11 -
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第二定义
范围
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
e
，即
MF< br>?e(0?e?1)

d
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
对称性
焦点
焦距
长轴的长
?2a
短轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
a aaa
a
2
x??

c
左焦半径：
MF
1
?a?ex
0

右焦半径：
MF
2
?a?ex
0

离心率
(0?e?1)

a
2
y??

c
准线方程
焦半径
下焦半径：
MF
1
?a?ey
0

上焦半径：
MF
2
?a?ey
0

M(x
0,
y
0
)

焦点三角形面积
S
?MF
1
F
2
?b
2
tan
?
2
(
?
??F
1
MF
2
)

通径
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
HH
?
?

a
A(x
1,
y
1
),B(x
2,
y2
)
，
AB?1?k
2
x
1
?x
2< br>?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4 x
1
x
2

焦点在
y
轴上
（焦点）弦长公式
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
第一定义
F
2
的距离之差的绝 对值等于常数
2a
，即
|MF
1
|?|MF
2
|? 2a
（
0?2a?|F
1
F
2
|
）到两定点
F
1
、


- 2 -
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第二定义
范围
图形
顶点
轴长
标准方程
对称性
焦点
定义
焦距
顶点

与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
e，即
MF
?e(e?1)

d
x??a
或
x?a
，
y?R


y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?


?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?



y
2
?2px

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

与一定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点
F
不在定 直线
l
上)
222
F
1
F
2
?2c
?
(c

?a?b)

?
0,0
?
p?0
?

y
2
??2px

x
2
?2py

实轴的长
?2a
虚轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
?
p?0
?

?
p?0
?

x
2
??2py

?
p?0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0, c
?

离心率
cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
aaaa
a
2
x??

c
(e?1)

a
2
y??

c
准线方程
渐近线方程
y??
b
x

a
y??
a
x

b
焦半径
?MF
1
?ex
0
?a
?
左焦：

M
在右支
?
MF
2
?ex
0
?a
??
右焦：
?MF
1
??ex
0
?a
?
左焦：

M
在左支
?
右焦：MF??ex?a
?
2 0
?
?MF
1
?ey
0
?a
?
左焦：
M
在上支
?
MF
2
?ey
0
?a< br>?
?
右焦：
?MF
1
??ey
0
?a
?
左焦：

M
在下支
?
右焦：MF??ey?a
?
20
?
M(x
0,
y
0
)

焦点三角形面积
S
?MF
1
F
2
?b
2
cot
?
2
(
?
??F
1
MF
2
)

通径
2．双曲线
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
HH
?
?

a

3．抛物线

- 3 -
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页 第

离心率
对称轴
范围
e?1

x
轴
y
轴
x?0

?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
x?0

?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
y?0

p
??
F
?
0,
?

2
??
y?0

p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
准线方程
焦半径
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
M(x
0,
y
0
)

通径
焦点弦长
公式
参数
p
的几
何意义
MF?x
0
?
p

2
MF??x
0
?
p

2
MF?y
0
?
p

2
MF??y
0
?
p

2
过抛物线的焦点 且垂直于对称轴的弦称为通径：
HH
?
?2p

AB?x
1
?x
2
?p

参数
p
表示焦点到准线的距离，
p
越大，开口越阔
关于抛物线焦点弦的几个结论：
B(x
2
,y
2
)
，直线
AB
的倾斜角为
?
，则 设
AB
为过抛物线
y
2
?2px(p?0)
焦点的弦，
A(x
1
,y
1
)、
p
2
2p
,y
1
y
2
? ?p
2
;
⑵
AB?
⑴
x
1
x
2
?
;

4
sin
2
?
⑶ 以
AB
为直径的圆与准线相切；
⑷ 焦点
F
对
A、B
在准线上射影的张角为
?
2

；
⑸
112
??.
|FA||FB|P
专题三：定积分
1、定积分的概念
如果函数
f(x)
在区间
[a,b]
上 连续，用分点
L
n
?
?
f(
?
i
)?x?
?
i?1i?1
nn
b?a
f(
?
i
),
，当
n??
时，上
n
述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数< br>f(x)
在
a?x
0
?x
1
?…?x
i?1
?x
i
?…?x
n
?b
将区间
dx
，即区 间
[a,b]
上的定积分.记作
f
(
x
)
?
a
b
[a,b]
等分成
n
个小区间，在每个小区间
[x< br>i?1
,x
i
]
上任
取一点
?
i
( i?1,2,…,n)
，作和式
?
b
a
f(x)dx?lim
?
n??
i?1
n
b?a
f(
?
i
)< br>，这里，
a
与
b
分别叫
n
做积分下限与积分上限，区 间
[a,b]
叫做积分区间，函

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页 第

数
f(x)
叫做被积函数，
x
叫做积分变量，
f(x)dx
叫
做被积式.
说明：
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②
近似代替；③求和；④取极限.
2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
如果
F
?
(x)?f (x)
，且
f(x)
在
[a,b]
上可积，则
⑷利用函数 的奇偶性求定积分:若
f(x)
是
[?a,a]
上
的奇函数,则?
f(x)dx?0
;若
f(x)
是
[?a,a]
上的 偶
?a
a
函数,则
?
f(x)dx?2
?
f(x) dx
.
?a0
aa
?
b
a
f(x)dx?F(x )
a
?F(b)?F(a)
，
b
【其中
F(x)
叫做
f(x)
的一个原函数，因为
?
F(x)?C
?
??F
?
(x)?
3、常用定积分公式
f(x)
】
⑴
?0dx?c
（
c
为常数）
⑵
?1dx?x?c

x
?
?1
?c(
?
??1)
⑶
?xdx?
?
?1

?
⑷
?
1
dx?lnx?c

x
xx
⑸
?edx?e?c

a
x
?c(a?0,a?1)
⑹
?adx?
lna
x
⑺
?sinxdx??cosx?c

⑻
?cosxdx?sinx?c

⑼
?sinaxdx??
⑽
?cosaxdx?
1
cosax?c(a?0)

a
1
sinax?c(a?0)

a
b
4、定积分的性质
⑴
⑵
?
b
ab
kf(x)dx?k
?
f(x)dx
（
k
为常数）；
a
?
a
b
f(x)?g(x)dx?
?
f(x)d x?
?
g(x)dx
；
aa
cb
ac
bb
⑶
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx< br>（其中
a?c?b)
;
a

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