高一数学必修一必修二知识点整合

必修一

第一章 集合与函数概念

1.1集合的含义与表示

集合元素的三大特征：确定性、互异性、无序性。

通常，集合用大写字母表示，集合元素用小写字母表示。

如果
a
是集合A的元素，就说
a
属于集合A，记作
a?A
。

如果
a
不是集合A的元素，就说
a
不属于集合A，记作
a?A
。

非负整数集（自然数集） N 整数集 N
*
或N
+

整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

集合的两种表示方式：列举法，描述法。

1.2集合间的基本关系

①一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元 素都是集合B中的元素，我
们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集。

记作：
A?B(或B?A)
读作：A含于B(或B包含A)。

②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等。

Venn图法表示集合。

空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。

空集的性质：空集是一切集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。

子集的定义： 对于两个集合A与B，若然任何属于A的元素也属于B，我们就说A是
B的子集。

真 子集的定义：如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A
叫做集合B的真子集。

1.3集合的基本运算

交集、并集、全集、补集。

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。

记作：A∩B。 读作：A交B。

其含义用符号表示为：
AB?{x|x?A,且x?B}.

用Venn图表示如下：

B

A

—般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并
集。

记作：A∪B. 读作：A并B.

其含义用符号表示为：
AB?{x|x?A,或x?B}

用Venn图表示如下：

A

补集：一般地，设S是一个
B

集合，A是S的一个真子集,由S中所有
不属于A的元素组成的集合，叫做子集A 在S中的补集记作?sA. 读作A在S中的补集。

1.4函数的概念

（ 1）设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
f
，使对于集合A中的任
意 一个数x，在集合B中都有唯一确定的数
f
(
x
)和它对应，那么就称
f
：A→B为从集合A
到集合B的一个函数．

记作：
y
=
f
(
x
)，
x
∈A．
其中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围A叫做函数的定义域；与
x
的值相对应的
y
值叫做
函数值，函数值的集合{
f
(
x
)|
x
∈A }叫做函数的值域．

注意：

① “
y
=
f
(
x
)”是函数符号，可以用任意的 字母表示，如“
y
=
g
(
x
)”；

② 函数符号“
y
=
f
(
x
)”中的
f
(x
)表示与
x
对应的函数值，一个数，而不是
f
乘
x< br>．

（2）构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

（3）区间的概念

①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

②无穷区间；

③区间的数轴表示．

（4）求函数定义域的方法：

1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .

2）如果
f< br>(
x
)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

3）如果
f
(
x
)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或 等于零的实数的
集合.

4）如果
f
(
x
)是由几 个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意
义的实数集合.（即求各集合的交集）

5）满足实际问题有意义.

1.5函数的表示法

函数的三种常用表示法：解析法、列表法、图像法

解析式的特点为：函数关系清楚， 容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解
析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域。

列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。

图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况。

注意：

①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。

②解析法：必须注明函数的定义域。

③图象法：是否连线。

④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。

1.6映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则
f
，使对于集合A
中的任意一个元素
x
，在集合B中都有唯一确定的元素
y
与之对应， 那么就称对应
f
：A→
B为从集合A到集合B的一个映射。

记作“
f
：A→B”。

说明：

（1）这两个集 合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中
f
表
示具体的对应法 则，可以用多种形式表述．

（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．

1.7函数的单调性

增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域 为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的
任意两个自变量x
1
，x
2，当x
1
2
时，都有f(x
1
) 2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。

减函数：一般地，设函数y=f(x )的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的
任意两个自变量x
1
，x2
，当x
1
>x
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。

注意：

1） 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。

2） 必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
) 。
< br>函数单调性的定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数
y= f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

判断函数单调性的步骤：

① 任取x
1
，x
2
∈ D，且x
1
2
。

② 作差f(x
1
)－f(x
2
)。

③ 变形（通常是因式分解和配方）。

④ 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）。

⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

1.8函数的最大最小值

(1) 最大（小）值定义：一般地，设函数
y? f(x)
的定义域为I，如果存在实数M满足：

1）对于任意的
x?I
，都有f(x)<=(>=)M；

2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．

那么，称M是函数
y?f(x)
的最大值。

(2) 利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法。

①配方法 ②换元法 ③数形结合法

1.9函数的奇偶性

偶函数的定义：一 般地，对于函数
f(x)
的定义域内的任意一个
x
，都有
f(?x) ?f(x)
，
那么
f(x)
就叫做偶函数。

奇函数的定义 ：一般地，对于函数
f(x)
的定义域的任意一个
x
，都有
f(?x )??f(x)
，
那么
f(x)
就叫做奇函数．

注意：

1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。

2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任
意一个
x
，则
?x
也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

3）偶函数的图象关于
y
轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

偶 函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性
一致。

第二章 基本初等函数

2.1指数与指数幂的运算

n
次方根：一般地，若
x
n
?a
，则x叫做
a
的
n
次方根，其中
n
＞1，且
n
∈Ｎ
＊
, 当
n
为偶数时，
a
的
n
次方根中，正数用
n
a
表示，如果是负数，用
?
n
a
表示，
n
a叫做根式.
n
为奇数时，
a
的
n
次方根用符号
n
a
表示，其中
n
称为根指数，a为被开方数。

零的
n
次方根为零，记为
n
0
?
0

正数的分数指数幂的意义为：

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.

m
n
即：< br>a
?
?
1
a
m
n
(a?0,m,n?N*
)

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
< br>说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式
的一种新的写 法，而不是
a?a?a???a(a?0)

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义， 因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数
幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
< br>n
m
1
m
1
m
1
m
（1）
a
r
?a
s
?a
r?s
(
a?
0,
r
,
s?Q
)

（2）
(
a
r
)
S
?a
rs
(
a?
0,
r
,
s ?Q
)

（3）
(
a?b
)
r?a
r
b
r
(
Q?
0,
b?
0,r?Q
)

一般来说，无理数指数幂
a
p
(
a ?
0,
p是一个无理数
)
是一个确定的实数，有理数指数幂
的性质同 样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩
近似值无限地逼近以确 定大小.

四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的。

整数幂 的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四
则运算顺序。

2.2指数函数及其性质

指数函数的定义：一般地，函数
y?a
x
（
a
＞0且
a
≠1）叫做指数函数，其中
x
是自变
量，函数的定义域为R。

从图上看
y?a
x
（a＞1）与
y?a
x
（0＜a＜1）两函数图象的特征。
8
6
42
-5510
-2
-4
-6
-8

指数函数< br>y?a
x
（
a
＞0且
a
≠1），当底数越大时，函数 图象间有什么样的关系.

图象特征

函数性质

a
＞1

0＜
a
＜1

a
＞1

0＜
a
＜1

向
x
轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

图象关于原点和
y
轴不对称

非奇非偶函数

函数图象都在
x
轴上方

函数的值域为R
+

函数图象都过定点（0，1）

a
0
=1

自左向右，

自左向右，

增函数

减函数

图象逐渐上升

图象逐渐下降

在第一象限内的
图

在第一象限内的
图

x
＞0，
a
x
＞1

x
＞0，
a
x
＜1

象纵坐标都大于1

象纵坐标都小于1

在第二象限内的
图

在第二象限内的
x
＜0，
a
x
＜1

x
＜0，
a
x
＞1

图

象纵坐标都小于1

象纵坐标都大于1

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在
[
a
,
b
]
上,f(x)=a
x
（
a
＞0且
a
≠1）值域是
[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];

（2）若
x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R;


（3）对于指数函数
f
(
x
)
?a
x< br>（
a
＞0且
a
≠1），总有
f(1)?a;

（4）当
a
＞1时，若
x
1
＜
x
2
，则
f(x
1
)
＜
f(x
2
)
。

2.3对数

对数的定义：一般地，若
a
x
?N
(
a?
0,
且a?
1)
，那么数
x
叫做以a为底N
的对数，记
作
x?
log
a
N
，
a
叫做对数的底数，
N
叫做真数。

在对数的概念中，要注意：

（1）底数的限制
a
＞0，且
a
≠1 （2）
a
x
?N?
log
a
N?x

指数式
?
对数式 幂底数←
a
→对数底数

指 数←
x
→对数 幂 ←N→真数

说明：对数式
log
a
N
可看作一 记号，表示底为
a
（
a
＞0，且
a
≠1），幂为
N
的指数工
表示方程
a
x
?N
（
a
＞0，且
a
≠1）的解。也可以看作一种运算，即已知底为
a
（
a
＞ 0，
且
a
≠1）幂为
N
，求幂指数的运算. 因此，对数式
log
a
N
又可看幂运算的逆运算。

两类对数：

① 以10为底的对数称为常用对数，
log
10
N
常记为
lgN
.

② 以无理数e=2. 71828…为底的对数称为自然对数，
log
e
N
常记为
lnN< br>.以后解题时，
在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg100?2
.

2.4对数及其性质

1的对数是零，负数和零没有对数

对数的性质
log
a
a?
1

a
＞0且
a
≠1

如果
a
＞0且
a
≠1，M＞0，N＞0，那么：

（1）
log
a
MN?
log
a
M?
log
a
N

（2）
log
a
M
?
loga
M?
log
a
N

N
(
n?R
)

（3）
log
a
M
n
?n
log
a
M
换底公式：

a＞0，且
a
≠1，
c
＞0，且
e
≠1，
b＞0

一般地，我们把函数
y?
log
a
x
（
a
＞0且
a
≠1）叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数的
定义域是（0，+∞）。

对数函数的性质：

图象的特征

函数的性质

（1）图象都在
y
轴的右边

（1）定义域是（0，+∞）

（2）函数图象都经过（1，0）点

（2）1的对数是0

（3） 从左往右看，当
a
＞1时，图象
逐渐上升，当0＜
a
＜1时，图象逐 渐
下降 .

x
（3）当
a
＞1时，
y?
log
a
是增函数，当

0＜
a
＜1时，
y?log
a
x
是减函数.

（4）当
a
＞1时

（4）当
a
＞1时，函数图象 在（1，0）
点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）
点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a
＜
1时，图象正好相反，在（1，0）点
右边的纵坐标都小于0，在（1，0）
点左边的纵坐标都大于0 .


x
＞1，则
log
a
x
＜0

0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0

0＜
x
＜1，
log
a
x
＜0

当0＜
a
＜1时


x
＞1，则
log
a
x
＞0


a
＞1

0＜
a
＜1

图


象

（1）定义域（0，+∞）；

性

（2）值域R；

质

（3）过点（1，0），即当
x
=1，
y
=0；

（4）在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）是上减函数

反 函数：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变
量，而把这个函数的自 变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.

同底的指数函数和对数函数互为反函数。

2.5幂函数

一般地， 形如
y
?
x
?
（
x?
R）的函数称为幂函数，其中
x
是自变量，
?
是常数.

1
3
1
4
如
y?x,y?x,y?x
等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都 是基本
2
?
初等函数.

定义域

R

R

R


奇偶性

奇

奇

奇

非奇非偶

奇

在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ在第Ⅰ象在第Ⅰ象
象限单象限单象限单象限单限单调递限单调递
调增减调递增

性

调递增

调递增

增

减

定点

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

（1，1）

幂函数性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点 （1，1）（原因：
1
x
?
1
）。

（2 ）
x
＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）。

特别地，当
x
＞1，
x
＞1时，
x
∈（0，1），
y?x
2
的图象都在
y?x< br>图象的下方，形状
向下凸越大，下凸的程度越大。

当α＜1时，x
∈（0，1），
y?x
2
的图象都在
y?x
的图象上 方，形状向上凸，α越小，
上凸的程度越大。

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数。

在 第一象限内，当
x
向原点靠近时，图象在
y
轴的右方无限逼近
y轴正半轴，当
x
慢慢
地变大时，图象在
x
轴上方并无限逼近x
轴的正半轴。

第三章 函数的应用

3.1方程的根与函数的零点

函数零点的概念：

对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函 数
y?f(x)(x?D)
的零
点．

函数零点的意义：

函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数< br>y?f(x)
的图象与
x
轴交点的
横坐标．

即：方 程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零
点．

函数零点的求法：

求函数
y?f(x)
的零点：

①（代数法）求方程
f(x)?0
的实数根。

②（几何法）对于不 能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，
并利用函数的性 质找出零点。

二次函数的零点：

二次函数
y?ax
2
?bx?c
(
a?
0)
．

（1） △＞０，方程
ax
2
?bx?c?
0
有两不等实根 ，二次函数的图象与
x
轴有两个交点，
二次函数有两个零点．

（2） △＝０，方程
ax
2
?bx?c?
0
有两相等实根 （二重根），二次函数的图象与
x
轴
有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 ．

（3）△＜０，方程
ax
2
?bx?c?
0
无 实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数
无零点．

3.2用二分法求函数的近似解

二分法，又称分半法，是一种方程式根的近似值求法 。对于区间[a,b]上连续不断且
f(a) ·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的
两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法。

注意事项：

定区间，找中点，中值计算两边看。

同号去，异号算，零点落在异号间。

周而复始怎么办?？精确度上来判断。

3.3几类不同增长的函数模型

在区间（0，+∞）上，尽管函数< br>y?a
x
（
a
＞1），
y?log
a
x（
a
＞1）和
y?x
n
（
n
＞0）
都 是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，
y?a
x（
a
＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于
y?x
n
（
n
＞0）的增长速度，而
y?log
a
x
（
a＞1）得增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x
0
，当x>x
0
时，就有
log
a
x
<
x
n
<
a
x
。

3.4函数模型的应用实例

数学模型是用数学语言模拟现实 的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和
关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为 建模，是解应用题的关键。数学模型
可采用各种形式，如方程（组），函数解析式，图形与网络等。
利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；

（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；

（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；

（3）对所确定的函数模型进行适当的评价；

（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.

必修二

第一章 直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：
x
轴正向与直线 向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与
x
轴平行

或 重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直 线的斜率。直线的斜率常
用k表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾 斜程度。

当
?
?0
?
,90
?
?
时，
k?0
； 当
?
?
?
90
?
,180
?
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在。

y
2
?y
1
(
x
1
?x
2
)


x
2
?x
1
?
②过两点的直线的斜率公式：k?
注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边 无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)
k
与
P1
、
P
2
的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点 的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：
y?y
1
?k
(x?x
1
)
直线斜率
k
，且过点
?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是
y
=
y
1
。

当直线的斜率为90°时，直线的斜 率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l
上每一点的横坐标都等于
x
1
，所以它的方程是
x
=
x
1
。

②斜截式 ：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为< br>b

③两点式：
y?y
1
x?x
1< br>（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

?
y
2
?y< br>1
x
2
?x
1
④截矩式：
?
x
a< br>y
?
1

b
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即l
与
x
轴、
y
轴的截距分别为
a,b
。

⑤一般式：
Ax?By?C?0
（
A
，
B
不全 为0）

注意：
○
1各式的适用范围
○
2特殊的方程如：

平行于
x
轴的直线：
y?b
（
b
为常数）； 平行于
y
轴的直线：
x?a
（
a
为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（一）平行直线系

平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?
0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系：
A
0
x?B
0
y?C?0
（
C
为常数）

（二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为
k
的直线系：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?x
0
,y
0
?
；

（ⅱ）过两条直线
l
1
:
A
1
x?B
1
y?C
1
?
0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程为

?
A
1
x ?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2< br>x?B
2
y?C
2
?
?0
（
?
为参 数），其中直线
l
2
不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当
l
1
:y?k
1x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，

l
1
l
2
?k
1< br>?k
2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交

A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一 组解。

?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
（8）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平 面直角坐标系中的两个点，

Bx
2
,y
2
）
则< br>|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2?y
1
)
2


（9）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C

A
2
?B
2
（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

第二章 圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长 为圆的
半径。

2、圆的方程

（1）标准方程?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
2，圆心
?
a,b
?
，半径为r；

22
（2） 一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
0
1
DE
?
，半径为当
D
2
?E
2
?< br>4
F?
0
时，方程表示圆，此时圆心为
?
r?
??,?
?
?
22
?
2
D
2
?E
2
?4F

当
D
2
?E
2
?
4
F?
0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方
程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（ 1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?< br>2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心< br>C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
A a?Bb?C
A
2
?B
2
，则有
d?r?l与C相离
；
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交

（2）设直线l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，先将方程联立消元，得 到一个
一元二次方程之后，令其中的判别式为
?
，则有

??0?l 与C相离
；
??0?l与C相切
；
??0?l与C相交

2
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式
xx
0
?yy
0
? r
去解直线与圆相切的问题，其中

?
x
0
,y
0
?
表示切点坐标，r表示半径。

(3)过圆上一点的切线方程：

①圆
x
2
+y
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程 为
xx
0
?yy
0
?r
2
(课本命题)．

②圆
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
， 则过此点的切线方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y -b)= r
2
(课
本命题的推广)．

4、圆与圆的位置关系： 通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。

设圆< br>C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2
，
C
2< br>:
?
x?a
2
?
2
?
?
y?b2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（ 差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。

当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；

当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。

第三章 立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，且每相邻两个四边形的公共
边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱
ABCDE?A
'
B
'
C< br>'
D
'
E
'
或用对角线的端点字母，如五棱柱
AD< br>'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱 平行
且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几
何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示 ：用各顶点字母，如五棱锥
P?A
'
B
'
C
'
D< br>'
E
'

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底 面相似，其相似比等于顶点
到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用 各顶点字母，如五棱台
P?A
'
B
'
C
'
D
'
E
'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋 转所成的曲面所围成的几
何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴 与底面圆的半径垂直；④侧面展开
图是一个矩形。

（5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何
体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓
形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何 体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
为斜高，l为母线）

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

（4）球体的表面积和体积公式：V
球
=
4
?
R
3
； S
球面
=
4
?
R
2

3
'
4、空间点、直线、平面的位置关系

（1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点
A
在平面
?
内，记作
A?
?
；点
A
不在 平面
?
内，记作
A?
?

点与直线的关系：点
A< br>的直线
l
上，记作：
A
∈
l
； 点
A
在直线
l
外，记作
A
?
l
；

直线与平面的关系：直线
l
在平面α内，记作
l
?
α；直线
l
不在平面α内，记作
l
?
α。

（2）公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面
内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：
A?l,B?l,A?
?< br>,B?
?
?l?
?

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一
平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据
（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直
线
符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：
P?AB?AB?l,P?l

公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

（6）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异 面直线所成角：直线
a
、
b
是异面直线，经过空间任意一点
O
，分别引直线
a
’∥
a
，
b
’
∥
b，则把直线
a
’和
b
’所成的锐角（或直角）叫做异面直线
a< br>和
b
所成的角。两条异面
直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直 线所成的角是直角，我们就说这两条异面
直线互相垂直。

说明：（1 ）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定
理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

②求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条 同时平移到某个特殊的位置，顶点
选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：a
?
α a∩α＝A a∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝
b

5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行
?
线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行
?
线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

（线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一 个平面平行。（面面平行→线面
平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平
行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成 的角是直角，就说这两条异面直线互相垂
直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面 内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面
垂直。

③平面和平 面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所
组成的图形）是直二面角（ 平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直这个平
面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性 质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另
一个平面。

9、空间角问题

（1）直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角：规定为
0
?
。

②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线
a
，
b平行的直线
a
?
,b
?
，形成两条相交直线，这两条相交直线所 成的不大于直角的角叫做两条异面直线所
成的角。

（2）直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0
?
。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为
90
?
。

③ 平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这
条直线和这个平面 所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

在 解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的
一点或过斜线 的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做
二面角 的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条
．．．．．
射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。< br>
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的 二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平
面垂直，那么所成的二面角为直二面角< br>
④求二面角的方法

定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角
为二面角的平面 角

7、空间直角坐标系

（1）定义：如图，
OBCD?D
,
A
,
B
,
C
,
是单位正方体.以A为原点，< br>
分别以OD,O
A
,
,OB的方向为正方向，建立三条数轴
x轴.y轴.z轴
。

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐
标面。

（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指
向为 x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴
间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示， 有序实数组
(x,y,z)
叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作
M(x,y ,z)
（x叫做点M的横坐标，
y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）

（4）空间两点距离坐标公式：
d?(x
2
?x
1
)
2< br>?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2