高中数学导学案研究-高中数学趣味逻辑题
高一数学常用公式及结论
必修1
:
一、集合1、含义与表示:(1)集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性
(2)集合的分类;有限集,无限集 (3)集合的表示法:列举法,描述法,图示法
2、集合间的关系:子集:对任意
x?A
,都有
x?B
,则称A是B的子集。记作
A?B
真子集:若A是B的子集,且在B中至少存在一个元素不属于A,则A是B的真子集,
记作A
?
B
集合相等:若:
A?B,B?A
,则
A?B
?
3.
元素与集合的关系:属于
?
不属于:
?
空集:
?
4、集合的运算:并集:由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集,记为
AUB
交集:由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集,记为
AIB
补集:在全集U中,由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集,
记为
C
U
A
nnn
5.集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2
个;真子集有
2
–1个;非空子集有
2
–1个;
*
6.常用数集:自然数集:N 正整数集:
N
整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R
二、函数的奇偶性
1、定义: 奇函数 <=> f (– x ) = – f (
x ) ,偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )(注意定义域)
2、性质:(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形;
(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形;
(3)如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
二、函数的单调性
1、定义:对于定义域为D的函数f ( x ),若任意的x
1
,
x
2
∈D,且x
1
< x
2
① f (
x
1
) < f ( x
2
) <=> f ( x
1
) – f ( x
2
) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x
1
) > f ( x
2
) <=>
f ( x
1
) – f ( x
2
) > 0 <=> f (
x )是减函数
2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y =
ax
2
+bx + c(
a?0
)的性质
?
b4ac?
b
2
?
4ac?b
2
b
1、顶点坐标公式:
??
?
2a
,
4a
?
?
,
对称轴:
x??
2a
,最大(小)值:
4a
??
- 1 -
2.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)两根式
f(
x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
四、指数与指数函数
1、幂的运算法则:
(1)a
m
? a
n
= a
m + n
,(2)
a?a?a
n
mnm?n
22
,(3)( a
m
)
n
= a
m n
(4)( ab )
n
= a
n
? b
n
n
?1
1
a
n
?
a
?
m
n
?n<
br>m
0
(5)
??
?
n
(6)a = 1 (
a≠0)(7)
a?
n
(8)
a?a
(9)
a
m
?
n
m
a
b
?
b
?
a
n
2、根式的性质
n
(1)
(
n
a)?a
.
(2)当
n
为奇数时,
n
a
n
?a
;
当
n
为偶数时,
n
a
n
?|a|?
?
4、指数函数y = a
x
(a > 0且a≠1)的性质:
?
a,a?0
.
?a,a?0
?
(1)定义域:R ;
值域:( 0 , +∞) (2)图象过定点(0,1)
5.指数式与对数式的互化:
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.
五、对数与对数函数
1对数的运算法则:
(1)a
b
= N <=> b = log
a
N(2)log
a
1 = 0(3)log
a
a = 1(4)log
a
a
b
= b(5)a
(6)log
a
(MN) = log
a
M + log
a
N
(7)log
a
(
log
a
N
Y
a > 1
1
0
X
Y
0 < a
< 1
1
0
X
= N
M
) = log
a
M -- log
a
N
N
(8)log
a
N
b
= b log
a
N
(9)换底公式:log
a
N =
log
b
N
log
b
a
- 2 -
(10)推论
log
a
m
b?
(11)log
a
N = <
br>n
n
log
a
b
(
a?0
,且
a?
1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,
N?0
).
m
1
(12)常用对数:lg N =
log
10
N (13)自然对数:ln A = log
e
A
(其中 e = 2.71828…)
log
N
a
2、对数函数y =
log
a
x (a > 0且a≠1)的性质:
(1)定义域:( 0 ,
+∞) ; 值域:R (2)图象过定点(1,0)
六、幂函数y = x
a
的图象:(1) 根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .
例如: y = x
2
y?
a > 1
0 < a < 1 a < 0
0
1
X
0
1
Y
a >1
Y
0 < a <
1
X
x?x
y?
1
2
1
?x
?1
x
七.图
象平移:若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单
位,
得到函数
y?f(x?a)?b
的图象; 规律:左加右减,上加下减
八. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为
p
,则
对于时间
x
的总产值
y
,有
y?N(1?p)
.
九、函数的零点:1.定义:对于
y?f(x)
,把使
f(x)?0
的X叫<
br>y?f(x)
的零点。即
y?f(x)
的图象与X轴相交时交点的横坐标。
2.函数零点存在性定理:如果函
数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断的一
条
曲线,并有
f(a)?f(b)?0
,那么
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点,即存在
c?
?
a,b
?
,
x
- 3 -
使得
f(c)?0
,这个C就是零点。
3.二分法求函数零点的步骤:(给定精确度
?
)
(1)确定区间
?
a,b
?
,验证
f(a)?f(b)?0
;(2)求
?
a,b
?
的中点
x
1
?
a?b
2
(3)计算
f(x
1
)
①若
f(x
1
)?0
,则
x
1
就是零点;②若
f(a)?f(x
1
)?0
,则零点
x
0
?
?
a,x
1
?
③若
f(
x
1
)?f(b)?0
,则零点
x
0
?
?
x
1
,b
?
;
(4)判断是否达到精确度
?<
br>,若
a?b?
?
,则零点为
a
或
b
或
?
a,b
?
内任一值。否
则重复(2)到(4)
必修2:
一、直线与圆 1、斜率的计算公式:k = tanα=
y
2
?y
1
(α ≠ 90°,x
1
≠x
2
)
x
2
?x
1
2、直线的方程(1)斜截式
y = k x + b,k存在 ;(2)点斜式 y – y
0
= k ( x –
x
0
) ,k存在;
(3)两点式
y?y
1
x?x
1
xy
(
x
1
?x
2
,y
1?y
2
) ;4)截距式
??1
(
a?0,b?0
)
?
ab
y
2
?y
1
x
2
?x1
(5)一般式
Ax?By?c?0(A,B不同时为0)
3、两条直线的位置关系:
l
1
:y =
k
1
x + b
1
l
2
:y = k
2
x + b
2
重合
平行
垂直
k
1
= k
2
且b
1
= b
2
k
1
= k
2
且b
1
≠ b
2
k
1
k
2
= – 1
l
1
:
A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
l
2
: A
2
x + B
2
y +
C
2
= 0
A
1
BC
?
1
?
1
A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
C
1
??
A
2
B
2
C
2
A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0
4、两点间距离公式:设P
1
( x
1
, y
1
) 、P
2
( x
2
, y
2
),则
| P
1
P
2
| =
5、点P ( x
0
, y
0
)到直线l
:A
x + B y + C
= 0的距离:
d?
7、圆的方程
标准方程
(x – a )
2
+ ( y – b )
2
= r
2
一般方程 x
2
+ y
2
+D x + E y + F
= 0
(a,b)
圆的方程
x
2
+ y
2
= r
2
圆心
(0,0)
?
x
1
?x
2
?
2
?
?
y
1
?y
2
?
2
2
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2
半径
r
r
?
DE
?
?
?,?
?
?
22
?
- 4 -
1
D
2
?E
2
?4F
2
8.点与圆的位置关系
22
点
P(x
0
,
y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
,则
d?r?
点
P
在
222
圆外;
d?r?
点
P
在圆
上;
d?r?
点
P
在圆内.
9.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相
离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
10.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
,O
2,半径分别为r
1
,r
2
,
O
1
O
2
?d
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
11.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
.
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上,则切线只有一条,
其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
?
?F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点的切点弦方程.
22
x
0
x?y
0
y?
②过圆外一点的
切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,再利用相切条
件求k,这时必有两条切线,注意不
要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆
x?y?r
.
2
①过圆上的
P
0<
br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k
的圆的切
线方程为
y?kx?r1?k
2
二、立体几何
(一)、线线平行判定定理:1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
- 5 - <
/p>
2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平
面和这个平面相交,那
么这条直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
(二)、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
2、若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。
(三)、面面平行判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
(四)、线线垂直判定定理:
若一直线垂直于一平面,则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。
(五)、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
2、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
(六)、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
(七).证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行.
(八).证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.
(九).证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直.
(十).证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)利用三垂线定理或逆定理;
(十一).证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(十二).证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.
三、空间几何体
A
- 6 -
P
C
D
B
O
(一)、正三棱锥的性质
1、底面是正三角形,若设底面正三角形的边长为a,则有
图形
正三角形
B
2、正三棱锥的辅助线作法一般是:
作PO⊥底面ABC于O,则O为△ABC的中心,PO为棱锥的高,
取AB的中点D,连结PD、CD,则PD为三棱锥的斜高,CD为△ABC的AB边上的高,
且点O在CD上。∴△POD和△POC都是直角三角形,且∠POD =∠POC = 90°
(二)、正四棱锥的性质
1、底面是正方形,若设底面正方形的边长为a,则有
图形
O A
外接圆半径 内切圆半径 面积
A
O
D
OA?
3
a
3
OD?
3
a
6
S?
3
2
a
4
P
面积
C
O
B
E
A
外接圆半径 内切圆半径
正方形
B
OB =
2
a
2
OA =
a
2
S
= a
2
D
2、正四棱锥的辅助线作法一般是:
作PO⊥底
面ABCD于O,则O为正方形ABCD的中心,PO为棱锥的高,取AB的中点E,连结PE、OE、OA,<
br>则PE为四棱锥的斜高,点O在AC上。∴△POE和△POA都是直角三角形,且∠POE =∠POA
= 90°
(三)、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。
特殊地,若正方体的棱长为a ,则这个正方体的一条对角线长为
3
a 。
(四)、正方体与球
1、设正方体的棱长为a,它的外接球半径为R
1
,它
的内切球半径为R
2
,则
3a?2R
1
,
a?2R
2
- 7 -
D
1
A
1
B
1
C
1
(五)几何体的表面积体积计算公式
1、圆柱:
表面积:2π
R
2
+2πRh 体积:πR?h
2、圆锥:
表面积:πR?+πRL 体积: πR?h3 (L为母线长)
3、圆台:表面积:
?
r?
?
R?
?
(r?R)l
体积:V=πh(R?+Rr+r?)3
4、球:S
球面
= 4πR
2
V
球
=
22
O
4
πR
3
(其中R为球的半径)
3
5、正方体: a-边长, S=6a? ,V=a?
6、长方体 a-长 ,b-宽 ,c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc
7、棱柱:全面积=侧面积+2X底面积 V=Sh
8、棱锥:全面积=侧面积+底面积 V=Sh3
9、棱台:全面积=侧面积+上底面积+下底面积
V?
1
(s
1
?s
1
?s
2
?s
2
)h
3
四、三视图 1.投影:把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。
把在一
束平行光线照射下形成的投影,称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面,可以分为斜投
影和正投影两种。
2、光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的
正视图(也叫主视图);光线从几何
体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视
图;光线从几何体的左面向右面正投影,得到投
影图,这种投影图叫做几何体的侧视图(或左视图)
3、“长对正,高平齐,宽相等”是三视图之间的投影规律,是画图和读图的重要依据.
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
必修4
一、
三角函数与三角恒等变换
1、三角函数的图象与性质
函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
- 8 -
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
R
[-1,1]
2π
奇函数
R
[-1,1]
2π
偶函数
增区间[-π+2kπ, 2kπ]
减区间[2kπ,π+2kπ]
( k∈Z )
x = kπ ( k∈Z )
(
增区间
(-
{x| x≠
?
+kπ,k∈Z}
2
R
π
奇函数
单调性
??
增区间[-+2kπ,+2kπ]
22
?
3
?
减区间[+2kπ, +2kπ]
2
2
x =
??
+kπ,+kπ)
22
(
k∈Z )
无 对称轴
对称中心
?
+ kπ( k∈Z )
2
??
+ kπ,0 )( k∈Z ) ( k,0 ) ( k∈Z )
22
sin
?
2、同角三角函数公式 sin
2
α+ cos
2
α= 1
tan
?
?
tanαcotα=1
cos
?
( kπ,0 ) ( k∈Z )
3、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos
2
α-1 =
1-2 sin
2
α= cos
2
α- sin
2
α
tan2
?
?
4、降幂公式
cos
?
?
2
2tan
?
1?tan<
br>2
?
1?cos2
?
1?cos2
?
2
sin
?
?
22
5、升幂公式 1±sin2α=
(sinα±cosα)
2
1 + cos2α=2
cos
2
α 1- cos2α= 2 sin
2
α
6、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) =
sinαcosβ土cosαsinβ cos (α±β) =
cosαcosβ干sinαsinβ
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
7、两角和差正切公式的变形:
tanα±tanβ= tan (α±β) (1干tanαtanβ)
1?tan
?
tan45??tan
?
?
1?tan
?
tan45?
?tan
?
?
== tan (+α) == tan (-α)
1?tan
?
1?tan45?tan
?
41?tan
?
1
?tan45?tan
?
4
8、两角和差正弦公式的变形(合一变形)
as
in
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin
?
?
?
?
?
(其中
tan
?
?
b
)
a
- 9 -
9、半角公式:
sin
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?
cos??
222
1?cos
?
sin
?
1?cos
?
??
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
tan
?
2
??
10、三角函数的诱导公式
“奇变偶不变,符号看象限。”
sin (π-α) = sinα, cos (π-α)
= -cosα, tan (π-α) = -tanα;
sin (π+α) =
-sinα cos (π+α) = -cosα tan (π+α) = tanα
sin (2π-α) = -sinα cos (2π-α) = cosα
tan (2π-α) = -tanα
sin (-α) = -sinα
cos (-α) = cosα tan (-α) = -tanα
??
?
-α) = cosα cos (-α) = sinα
tan (-α) = cotα
222
???
sin (+α) =
cosα cos (+α) = -sinα tan (+α) = -cotα
222
sin (
11.三角函数的周期公式
函数
y
?sin(
?
x?
?
)
,x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
,x∈R(A,ω,
?
为常数,且A≠0,ω
>0)的周期
T?
函数
y?tan(
?
x?
?
)<
br>,
x?k
?
?
二、平面向量
(一)、向量的有关概念
1、向量的模计算公式:(1)向量法:|
a
| =
a?a?
2
?
?
;
?
2
,k?Z
(A,
ω,
?
为常数,且A≠0,ω>0)的周期
T?
?
.
?
a
;
22
2
(2)坐标法:设
a
=(
x,y),则|
a
| =
x?y
2、单位向量的计算公式: ?
xy
(1)与向量
a
=(x,y)同向的单位向量是
?
,
?
x
2
?y
2
x
2
?y
2<
br>?
?
x
(2)与向量
a
=(x,y)反向的单位向量是
?
?,
22
?
x?y
?
3、平行向量
?
?
;
?
?
y
?
?
;
?
x
2
?y
2
?
?
规定:零向量与任一向量平行
。设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x2
,y
2
),λ为实数
向量法:
a
∥
b(
b
≠
0
)<=>
a
=λ
b
<
br>坐标法:
a
∥
b
(
b
≠
0
)<=>
x
1
y
2
– x
2
y
1
= 0
<=>
x
1
x
2
(y
1
≠0 ,y
2
≠0)
?
y
1
y
2
- 10 -
4、垂直向量
规定:零向量与任一向量垂直。设
a
=(x<
br>1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2<
br>)
向量法:
a
⊥
b
<=>
a
·
b
= 0
坐标法:
a
⊥
b
<=> x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0
5.平面两点间的距离公式
uuuruuuruuur
22
d
A,B
=
|A
B|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
(A
(x
1
,y
1
)
,B<
br>(x
2
,y
2
)
).
(二)、向量的加法
(1)向量法:三角形法则(首尾相接首尾连),平行四边形法则(起点相同连对角)
(2)
坐标法:设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(
x
2
,y
2
),则
a
+
b
=(x
1
+ x
2
,y
1
+ y
2
)
(三)、向量的减法
(1)向量法:三角形法则(首首相接尾尾连,差向量的方向指向被减向量)
(2)坐标法:
设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),则
a
-
b
=(x
1
- x
2
,y
1
- y
2
)
(3)、重要结论:| |
a
| - |
b
| | ≤
|
a
±
b
| ≤ |
a
| + |
b
|
(四)、两个向量的夹角计算公式:(1)向量法:cos
?
=
a?b
|a||b|
(2)坐标法:设
a
=(x<
br>1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2<
br>),则cos
?
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
(五)、平面向量的数量积计算公式:(1)向量法:
a
·
b
=
|
a
| |
b
| cos
(2)坐标法:设
a
=
(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),则
a
·
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
(3)
a·b的几何意义:
?
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
(六).1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么
(1)
结合律:λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律:(1)
a
·b= b·
a
(交换律);
(2)(
?
a
)·b=
?
(
a
·b)=
?
a
·b=
a
·(
?
b);(3)(
a
+b)·c=
a
·c +b·c.
3.平面向量基本定理:如果e
1
、e
2
是同
一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有
且只有一对实数λ
1
、λ
2
,使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e2
.不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一
组基底.
(七).三角形的重心坐标公式
- 11 -
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、<
br>B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐
标是
G(
x1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
33
必修5
一
、解三角形:ΔABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系:
1、角的关系:A + B + C = π,
特殊地,若ΔABC的三内角A, B,
C成等差数列,则∠B = 60?,∠A +∠C = 120?
2、诱导公式的应用:sin (
A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,
sin (
AB
C
AB
C
?
) = cos , cos
(
?
) = sin
2222
22
3、边的关系:a + b >
c , a – b < c(两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。)
4、边角关系:(1)正弦定理:
abc
???2R
(R为ΔABC外接圆半径)
sinAsinBsinC
a : b : c =
sinA : sinB : sinC 分体型a = 2R sinA , b = 2R sinB
, c = 2R sinC ,
(2)余弦定理:a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc?cosA , b
2
= a
2
+ c
2
– 2a c?cosB
,
c
2
= a
2
+ b
2
–
2 a b?cosC
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?
,
cosB?
,
cosC?
2bc2ac2ab
5、面积公式:S =
1111
a h = ab sinC = bc sinA = ac sinB
2222
二、数列 (一)、等差数列{ a
n
}
1、通项公式:a
n
= a
1
+ ( n – 1 ) d
,推广:a
n
= a
m
+ ( n – m ) d ( m ,
n∈N )
2、前n项和公式:S
n
= n a
1
+
3、等差数列的主要性质
① 若m + n = 2 p,则 a
m
+ a
n
= 2 a
p
(等差中项)( m , n∈N )
② 若m + n = p + q,则 a
m
+ a
n
= a
p
+ a
q
( m , n , p , q∈N
)
③S
n
, S
2 n
-- S
n
, S
3 n
– S
2 n
组成等差数列,公差为n d。
(二)、等比数列{ a
n
}1、通项公式:a
n
= a
1
q
n – 1
,推广:a
n
= a
m
q
n – m
( m , n∈N )
2、等比数列的前n项和公式:
n(a
1
?a
n
)
1
n ( n – 1 ) d
=
2
2
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
当q≠1时,S
n
= =, 当q =
1时,S
n
= n a
1
1?q
1?q
3、等比数列的主要性质
① 若m + n = 2
p,则a
p
2
= a
m
? a
n
(等比中项)( m , n∈N )
- 12 -
② 若m + n = p + q,则 a
m
? a
n
= a
p
? a
q
( m , n ,
p , q∈N )
③S
n
, S
2 n
-- S
n
, S
3 n
– S
2 n
组成等比数列,公比为q
n
。
?
n?1
?
?
S
(三)
、一般数列{ a
n
}的通项公式:记S
n
= a
1
+ a
2
+ …
+ a
n
,则恒有
a
n
?
?
1
??
n?2,n?N
S?S
n?1
?
n
三.数列求和方法总结:
1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).
2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和,
若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.
注意(1):若数列的通项可分成两项之和(或三项之和)则可用(分组求和法)。
(2)若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和,采用(错位相减法).
过程:乘公比再两式错位相减
(3)若数列的通项可拆成两项之差,通过正负相消后剩有限项再求和的方法为(拆项相消法).
常见的拆项公式:
1.
5.
111
??
1
1
1
1
2.?(?)
n(n?1)nn?1
n(n?k)knn?k
1111
?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
1111
?
(?)
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
3.4.
1
n?n?1
?(n?1?n)
四.数列求通项公式方法总结:
1..找规律(观察法). 2..若为等差等比(公式法)
3.已知Sn,用(Sn法)即用公式
a
n
?
?
(四)4. 叠加法
5.叠乘法等
三、不等式
(一)、均值定理及其变式(1)a , b ∈ R , a
2
+ b
2
≥ 2 a b
?
n?1
?
?
S
1
?
S
n
?S
n?1
?
n?2
?
?
a?b
?<
br>(2)a , b ∈ R
+
, a + b ≥ 2
ab
(3)a , b ∈ R
+
, a b ≤
??
2
??
2
a?ba
2
?b
2
(4)
,以上当且仅当 a = b时取“ = ”号。
?ab??
11
22
?
ab
2
- 13
-
2
(二).一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)(a?
0,??b?4ac?0)
,如果
a
与
ax?bx?c
同号,则其解
22
集在两根之外;如果
a
与
ax?bx?c
异号,则其解
集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
设
2
x
1
?x
2
(x?x
1
)
(x?x
2
)?0?x
1
?x?x
2
;
(x?x
1
)(x?x
2
)?0?x?x
1
,或x?x<
br>2
(三).含有绝对值的不等式:当a> 0时,有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
2
(四).指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
(五).
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域: 直线定界,特殊点定域。
一.解一元二次不等式三部曲:1.化不等式为标准式ax+bx+c>0或
ax+bx+c
2.计算△的值,确定方程ax
2
?bx?c?0的根。
22
3.根据图象写出不等式的解集.
特别的:若二次项系数a为正且有两根时写解集用口决:(不等号)大于0取两边,小于0取中间
二.分式不等式的求解通法:
(1)标准化:①右边化零,②系数化正.
(2)转
换:化为一元二次不等式(依据:两数的商与积同号)
常用的解分式不等式的同解变形法则为
f(x)
()1?0?f(x)?g(x)?0
g(x)
f(x)
(2)?0
?f(x)?g(x)?0且g(x)?0
g(x)
f(x)f(x)
(3)?a??
a?0,再通分
g(x)g(x)
- 14 -
三
.二元一次不等式Ax+By+C>0(A、B不同时为0),确定其所表示的平面区域用口诀:同上异下
(注意:包含边界直线用实线,否则用虚线)
四.线性规划问题求解步骤
:画(可行域)移(平行线)求(交点坐标,最优解,最值)答.
五.基本不等式
:
a?b
?ab(a?0,b?0)
(当且仅当2
a=b时,等号成立)
变形(1)a?b?2ab(积定和最小):变形;(2)ab?
(
a?b
2
)(和定积最大).
2
利用基本不等式求最值应用条件:一正数
二定值 三相等
旧知识回顾:1.
求方程ax?bx?c?0的根方法:
(1)十字相乘法:左列分解二次项系数a,右列分解常数项c,交叉相乘再相加凑成一次项系数b。
2
(2)求根公式:x
1,2
?
?b?b
2
?4a
c
2a
2.韦达定理:
若x
1
,x
2
是
方程ax?bx?c?(0a?0)的两根,则有x
1
?x
2
??
2
bc
,x
1
?x
2
?
aa
M<
br>3.对数类:log
a
M+log
a
N=log
a
M
N log
a
M-log
a
N=log
a
N
log
a
M
N
=Nlog
a
M(M.>0,N>0)
- 15 -
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-
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