读2017年版高中数学课程标-哪个app学高中数学好
函数及其表示
求定义域的几种情况
R;
考点一
①若 f(x)
是整式,则函数的定义域是实数集
②若 f(x)
是分式,则函数的定义域是使分母不等于
0 的实数集;
0
的实数集合;
③若 f(x)
是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于
④若 f(x)
是对数函数,真数应大于零。
⑤.
因为零的零次幂没有意义,所以底数和指数不能同时为零。
⑥若 f(x)
是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;
⑦若 f(x) 是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题
考点二
映射个数公式
m
Card(A)=m,card(B)=n, m,n
方法技巧清单
方法一
函数定义域的求法
N
,则从 A 到 B 的映射个数为
n
。简单说成“前指后底” 。
1.(2009 江西卷文)函数
y
x
4, 0)
得
2
3x
4
x
的定义域为
(
)
A.
[
4,1]
解析
B.
[
C.
(0,1]
D .
[
4, 0)
(0,1]
由
x
0
x
2
4
x 0
或
0
x 1
,故选
D.
3x
4
0
2.(2009 江西卷理)函数
y
ln( x
x
2
1)
的定义域为
()
3x
4
C.
(
A .
(
4, 1)
由
B .
(
4,1)
1,1)
D.
( 1,1]
x
1
0
解析
x
1
4
x
1
x
2
1
x 1
.故选 C
3x
4 0
y
3.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数
1
有相同定义域的是
(
)
x
A .
f (x) ln x
解析 由
y
B.
f ( x)
1
x
C.
f ( x) | x |
D.
f ( x)
e
x
1
x
x
可得定义域是
x 0. f ( x )
ln x
的定义域
x
0
;
f (x)
1
x
的定义域是
x
≠
0;
f ( x)
| x
|
的定义域是
x R; f (x) e
定义域是
x
4.(2007 年上海) 函数
y
R
。故选
A.
x )
3
lg( 4
x
的定义域是
.答案
x x 4 且 x
3
5.求下列函数的定义域。①
y=
x 2
x 2
.②
y=
x
x
1
x
2
.③y=
x 1 1 x
6.已知函数
f(x) 的定义域为
方法二 函数概念的考察
1,5
,求函数
F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)
的定义域。
5
2
x ln x
1. 下列各组函数中表示同一函数的是(
) A.y=
5
x
和
y
x
B.y=ln
e
y
和
e
1
C.
y
x 1
x 3
x
1
和 y
x 3
D.
y
0
x
和y
1
0
x
2.函数 y=f(x) 的图像与直线
A.0个 B.1个
2
x=2 的公共点个数为
C.
0个或 1个
D. 不能确定
3.已知函数 y=
方法三
2
定义域为
x
分段函数的考察
1,0.1,2
,则其值域为
ⅰ 求分段函数的定义域和值域
2x+2 x
1,0
x
1 求函数
f(x)=
1
x
2
3
0,2
的定义域和值域
x
2,
2( 2010天津文数) 设函数
g
(x)
9
x
2
2(x
R)
,
f ( x)
)
{
g ( x)
x 4,x g (
x),
g ( x)
x,x
g(
x).
(A )
,0
(1,
)
( B)
[0,
(C)
[
4
9
,
4
2
,
)
( D
)
9
则
f (x)
的值域是
,0
(2,
1或
x
)
4
2
2
x
2
2
(x 4), x x
2
x
x
2,
x
2
【解析】依题意知
f ( x)
x
2
2 x, x
x
2
2
f (
x)
2 x, 1 x 2
ⅱ求分段函数函数值
f
( f (
3.(2010 湖北文数) 3.已知函数
f ( x)
log
3
x, x
0
2 , x
x
,则
1
9
))
0
A.4
B.
1
4
C.-4
D-
1
4
【解析】根据分段函数可得
ⅲ解分段函数不等式
f (
1
)
9
log
3
1
9
2
,则
f ( f (
1
))
9
f (
2)
2
2
1
,所以
B 正确.
4
4.(2009
天津卷文)设函数
f ( x)
x
2
4x
6, x
0
6, x
)
x
x
0
则不等式
f ( x)
f (1)
的解集是(
)
A.
( 3,1)
(3,
)
B.
(
3,1)
(2,
C.
(
1,1)
(3,
)
D.
(
, 3)
(1,3)
3,
3
答案 A解析
由已知,函数先增后减再增当
0
,
f (
x)
2
f (1)
3
故
f ( x)
x
x
f (1)
3
令
f (x)
3
,解得
2
解得
x
1, x
3
。当
x
0
,
x 6
f ( x)
3,
x
2
x
1或 x
3
5.(2009 天津卷理)已知函数
x
4x,
2
4x
x ,
)
0
若
f (2
a )
0
C
(
f (a),
则实数
a
的取值范围是
A
(
,
1)
(2,
B
(
1,2)
2
2,1)
2
a
D
(
,
2) (1,
)
解析:由题知
f ( x)
在
R
上是增函数,由题得
2
a
a
,解得
1
,故选择
C。
2
1
, x
6.(2009 北京理)若函数
f ( x)
x
0
则不等式
| f (x) |
() , x
3
1
1
x
的解集为 ____________.
0
3
解析 ( 1)由
| f ( x)
|
1
x
0
1
1
3 x 0
.(2)由
| f ( x) |
1
x
0
1
x
x
1
0
1
x
1
0 x
1
.
3
3
x
3
3
3
3
3
∴不等式
| f ( x) |
1
的解集为
x |
3
x
1
,∴应填
3,1
.
3
log
2
x, x
0,
7。(2010 天津理数) 若函数 f(x)=
log
1
( x), x
0
,若
f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是
2
(A)(-1,0)∪( 0,1)
(B)( -∞, -1)∪( 1,+∞)
(C)(-1,0)∪( 1,+∞) (
D )(-∞, -1)∪( 0,1)
【答案】 C
由分段函数的表达式知,需要对
a 的正负进行分类讨论。
a
0
a<0
a
0
a
0
f ( a)
f (
a)
log
log
log
1
或
1
2
a log
1
a
或
1
(
a)
2
(
a)
a
2
1
或
-1
a
0
a
a
a
2
2
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于
0,同事要注意底数在(
0,
等号的方向不要写错。
ⅳ解分段函数方程
8.(2009 北京文)已知函数
3
x
,
x
1,
f (
x)
若
f ( x)
2
,则
x
.
x,
x
1,
.w
解析
5.u.c
本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求
x
的值
.
属于基础知识、基本运算的考查
.
x
1
,
x
1
无解,故应填
由
x
log
3
2
log
3
2
.
3
x
2
x
2
x
2
方法四 求函数的解析式
1. 求下列函数的解析式
① 已知
f x
3
, 求f
1
1
3
( x).
x
x
2
x
②
已知
f
1
lg x,求 f ( x).
x
③
已知 f(x)是二次函数,若
f(0)=0, 且
f(x+1)=f(x)+x+1, 求 f(x).
④
已知 f(x)满足
2 f
x
1
f
3x.
求
f(x).
x
方法五
函数图像的考察
)上时,不
3
1
1. (2009山东卷理
)函数
e
x
e
e
x
x
y
e
x
的图像大致为
(
).
y
y
y
y
1
O
1
1
1
1
O
x
O 1
x
O 1
x
1
x
B
D
A
C
解析 函数有意义 ,需使
e
x
e
x
0
,其定义域为
x | x
0
,排除
C,D,又因为
y
e
e
x
x
e
e
x
x
e
2 x
e
2
x
1
1
1
2
,所以当
x 0
e
2x
1
时函数为减函数 ,故选 A.
2(. 2009
广 东 卷 理 )已知甲、乙两车由同一起点同时出发
,并沿同一路线
(假定为直线) 行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为
v
甲
和v
乙
2
所示).那么对于图中给定的
(如图
t
0
和 t
1
,下列判断中一定正确的是
(
)
A. 在
t
1
时刻,甲车在乙车前面
C. 在
t
0
时刻,两车的位置相同
B.
t
1
时刻后,甲车在乙车后面
D.
t
0
时刻后,乙车在甲车前面
解析
则在
由图像可知,曲线
v
甲
比
v
乙
在
0~
t
0
、0~
t
1
与
x
轴所围成图形面积大,
t
0
y
、
t
1
时刻,甲车均在乙车前面,选
A.
P(x, y)
3.(2009 江西卷文)如图所示,一质点
P(x, y)
在
xOy
平面上沿曲线运动,
速度大小不变,其在
大致为
x
轴上的投影点
Q( x,0)
的运动速度
V
V (t )
的图象
O
Q( x,0)
x
(
)
V (t)
V (t )
V (t )
V (t )
A
B
C
D
O
t
O
t
O
t
O
t
解析
由图可知,当质点
P( x, y)
在两个封闭曲线上运动时,投影点
Q( x,0)
的速度先由正到
0、到负数,再到
0,到正,故
A
错误;
质点
P( x, y)
在终点的速度是由大到小接近
此
C
是错误的,故选
0,故
D
错误;质点
P( x, y)
在开始时沿直线运动,故投影点
Q( x,0)
的速度为常数, 因
B
.
x
4( 2010山东理数) (11)函数
y
=2 -
x
的图像大致是
2
4
【解析】因为当 x=2 或 4 时, 2
-
x
x
=0
,所以排除
B
、
C
;当
x=-2
时,
2
-
x
=
2
x
2
1
4<0
,故排除
D,所以选
A。
4
5( 2010安徽文数) 设
abc
0
,二次函数
f ( x)
ax
2
bx c
的图像可能是
【解析】当
a
0
时,
b
、
c
同号,(C)(D
)两图中
c
0
,故
b
0,
b
2a
0
,选项(
D
)符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分
标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
方法六
映射概念的考察
2
a
0
或
a
0
两种情况分类考虑 .另外还要注意
c 值是抛物线与 y
轴交点的纵坐
1. 设
f
:
x
x
A.
是集合 A 到集合 B 的映射,如果 B=
1,2
B.
1
C.
或
,则 A∩B=( )
或
2
D.
1
2集合 M=
a,b, c
,
N=
B.5C. 6
1,0.1
映射 f:
M
D. 7
N
满足
f(a)+(b)+f(c)=0,
那么映射 f:
M
N
的个数是(
)
A.4
3集合 M=
a,b, c
到集合
N=
1,0.1
一共有
个不同的映射。
2
方法七函数值域和最值的求法
1.利用二次函数在有限区间上的范围求值域
1
求函数 y=
x
6x
5
的值域
2.分离常数法
求函数 y=
3x
x 2
的值域
3.换元法
求函数 y=
4.数形结合法
求函数
y=
x 4 1 x
的值域
x 1
x 4
的值域
2
5.判别式法
求函数 y=
2
x
2
x
2
的值域
x
x
1
方法八
5
函数奇偶性和周期性的考察
1.(2009 全国卷Ⅰ理)函数
f ( x)
的定义域为
R,若
f ( x
1)
与
f ( x
1)
都是奇函数,则
(
)
A.
f ( x)
是偶函数
B.
f (x)
是奇函数
C.
f ( x)
f ( x 2)
D.
f (x
3)
是奇函数
答案
D 解析
f (x
1)
与
f ( x 1)
都是奇函数,
f ( x 1)
f ( x 1), f ( x 1)
f ( x 1)
,
函
数
f (x)
关 于 点
( 1 , 0
,
)
及 点
(
1 , 0
对
)
称
, 函 数
f ( x)
是 周 期
T
2 [
1
数 .
f ( x
1
4)
,
f (x
1
4)
f ( x
3)
f ( x
3)
,即
f (x
3)
是奇函数。故选
D
2.(2009山东卷理 )定义在 R 上的函数 f(x)满足
f(x)=
log
2
(1
x),
x
0
,
f (x
1)
f ( x
2), x
0
则 f(
2009)的值为
(
)
A.-1
B. 0
C.1
D. 2
答案
C 解析
由已知得
f (
1)
log
2
2 1
,
f
(0)
0
,
f (1)
f
(0)
f ( 1)
1
,
f (2)
f (1)
f (0)
1
,
f (3)
f (2)
f
(1)
1
(
1)
0
,
f (4)
f
(3)
f (2)
0
(
1)
1
,
f (5)
f
(4)
f (3)
1
,
f
(6)
f (5)
f (4)
0
,
所以函数 f(x)的值以 6
为周期重复性出现
.,所以 f ( 2009)= f ( 5) =1,故选
C.
3.( 2009
江西卷文)已知函数
f ( x)
是
(
,
)
上的偶函数,若对于
x
0
,都有
f (
x
2)
f ( x)
,且当
f ( x)
log
2
(x
1)
f
(
2008)
f (2009)
,则
的值为
(
)
A .
2
B.
1
C.
1
D.
2
答案
C 解析
f (
2008)
f (2009)
f (0)
f (1)
log
1
2
log
2
2
1
,故选
C.
方法九
函数奇偶性和对称性考察
x
2
的图像
(
)
1.(2009 全国卷Ⅱ文)函数
y
log
2
2
x
(A ) 关于原点对称
(B)关于主线
y
x
对称
(C) 关于
y
轴对称
( D
)关于直线
y
x
对称
答案
A 解析 由于定义域为( -2,2)关于原点对称,又
f(-x)=-f(x) ,故函数为奇函数,图像关于原点对称,选
A。
4
x
1
2.(2010 重庆理数) (5)
函数
f
x
的图象
2
x
A.
关于原点对称
B. 关于直线 y=x 对称
C. 关于
x 轴对称
D. 关于 y 轴对称
( 1)]
的周期函
[0, 2)
时,
6
x
解析:
f (
x)
4
x
1
1
2
x
4
x
2
x
f (x)
f ( x)
是偶函数,图像关于
y 轴对称
方法十
函数奇偶性和单调性的考察
1.(2009山东卷文 )已知定义在 R
上的奇函数
f ( x)
,满足
f (x
4)
(
B.
).
f (x)
,且在区间
[0,2]上是增函数
,则
A.
f (
25)
f (11)
f (80)
f (80)
f (
25)
f (80)
f
(
25)
f (11) f (
f
(80)
25)
f (11)
C.
f (11)
D.
答案
D 解 析 因 为
f
( x)
满 足
f ( x 4)
f ( x
)
,
所 以
f ( x 8)
f
(3)
f ( x )
,
所以 函数是
以
8
为周 期的周 期 函 数
,
则
f (
25)
f (80)
f (
f (0)
1)
,
f (80)
0
f (0)
,
f (11)
,
又 因 为
f ( x)
在
,
而
R 上是奇函数,
f (0)
f (
x
4
0
)
, 得
f (
25)
,
f (
1)
f
(1)
f
由
得
f (11)
即
f (3)
f ( 3)
f (1
4)
f (1)
,又因为
f ( x)
在区间
[0,2]上是增函数
,所以
f (1)
f
(0)
0
,所以
f (1)
0
,
f (
25)
f (80)
,
故选
D.
f (11)
2.(2009 全国卷Ⅱ文)设
( A)
a b c
答案
a
lg e,b (lg e)
, c
lg
e,
则
(B)
a
c b
(C)
c a
2
(
)
b
(
D
)
c b
a
B 解析
本题考查对数函数的增减性,由
1>lge>0, 知
a>b,又 c=
1
lge, 作商比较知
c>b,选 B。
2
3.(2009
辽宁卷文)已知偶函数
f ( x)
在区间
0,
)
单调增加,则满足
f (2 x
1)
<
f ( )
的
x
取值范围是
1
3
12
12
3
3
(
12
3
)
12
2
(A)(,)
答案
B.[, )
C.(,)
D.[,)
3
3
A
2
3
1
3
2
3
解析
由于 f(x) 是偶函数 ,故 f(x) =f(|x|)
∴得 f(|2x - 1|) <f(
1
3
),再根据 f(x)的单调性得 |2x
-1| <
1
3
解得
<x<
f ( x
2
)
f ( x)
满足:对任意的
x
1
,
x
2
f ( x
1
)
0
.则
()
4.(2009
陕西卷文)定义在 R 上的偶函数
[0,
)( x
1
x
2
)
,有
x
2
x
1
(A)
f (3)
f ( 2)
A
f ( 2)
f (1)
由
f (1)
f (3)
B.
f
(1)
f (3)
f ( 2)
f
(1)
f (3)
f ( 2)
f
(x
2
)
C.
D.
答案
解析
( x
2
x
1
)( f (
x
2
)
等价,于
f (
x
1
))
0
f ( x
1
)
x
1
0
则
f ( x)
在
x
2
x
1
, x
2
( ,0](
x
1
x
2
)
上单调递增
,
又
f ( x)
是偶函数
,故
f ( x)
在
7
x
1
, x
2
(0,
f (3)
f (
2)
]( x
1
x
2
)
单调递减
.且满足
n
f (1)
,故选
A.
N
时
,
f
(
*
2)
f (2)
,
3>2
1 0
,得
5.(2009陕西卷理 )定义在 R 上的偶函数
的
f ( x)
满足:对任意
x
1
,
x
2
(
*
,0]( x
1
x
2
)
,有
(x
2
x
1
)( f ( x
2
) f (
x
1
))
0
.
则当
n
N
时,有
n)
f (n
(
)
(A)
f (
1)
f ( n
1)
B.
f (n
D.
f
(n
1)
f (
n)
f (n
1)
f (
n)
f
( x
1
))
1)
f ( n )f (n 1)
0
C. C.
f (n
答案C
1)
f (
n)
f (n
1)
解析:
x
2
1)
f ( n
1)
x
2
)
( x
2
f ( x) 在
(
]为减函数
f ( n )
f ( n
x
1
, x
2
x
1
时,
(
, 0](
x
1
x
1
)( f ( x
2
)
1)
f
( x
2
)
f ( x
1
)
1)
, 0]
为增函数
f ( n
而
n+1>n>n-1>0,
f ( x ) 为偶函数
f (
x )在 (0,
f ( n
6.(2009 江苏卷)已知
a
5
1
,函数
f
( x)
a
,若实数
m
、
n
满足
f (m)
f (n)
,则
m
、
n
的大小关系为
2
x
x
.
解析
a
5 1
(0,1)
,函数
f (x)
a
在
R
上递减。由
f (
m)
2
f ( n)
得:
m
7.(2010 安徽文数)( 7)设
a
(
)
, b
3
5
5
2
(
), c (
2
5
5
3
2
5
2
)
,则 a, b,c 的大小关系是
5
(A ) a> c> b
(B )a> b>c
5
2
( C) c> a> b
(D )b>c> a
7.A【解析】
y
x
在
x
0
时是增函数,所以
a c
,
y
( )
在
x
0
时是减函数,所以
c b
。
2
x
5
方法十一抽象函数的解法
1.( 2009 四川卷理)已知函数
f ( x)
是定义在实数集
R
上的不恒为零的偶函数,且对任意实数
x
都有
xf ( x 1)
(1 x) f (x)
,则
f ( f ( ))
的值是
2
A.0
5
(
)
5
B.
1
2
C.1
D.
2
)
1
答案
A 解析
令
x
1
,则
2
1
1
1
f (
)
f (
2
2
2
1
2
)
1
2
f (
1
2
f ( ) 0
;令
x
0
,则
f (0)
0
2
由
xf ( x 1)
(1
x) f ( x)
得
f ( x 1)
x
1
f ( x)
,所以
x
f ( )
5
2
5
2
f (
3
)
3
2
2
5
3
f
(
3
)
3
5
2
3
1
2
f ( )
1
2
0
2
f ( f (
5
2
))
f (0)
0
,故选择
A。
2.(2009 山东卷理
)已知定义在
R 上的奇函数
f (x)
,满足
f (x
4)
f ( x)
,且在区间
[0,2]上是增函数
,若方程
f(x)=m(m>0)
在区间
8
8,8
上有四个不同的根
x
1
, x
2
, x
3
,
x
4
,则
x
1
x
2
x
3
x
4
_________.
答案
-8 解析
因为定义在 R 上的奇函数,满足
f ( x
4)
4)
所以
f ( x)
,
f (x
4)
f (
x)
,所以
,
由
f (x)
为奇函数
,所以函
8
为周期的周期函数
,又因为
数图象关于直线
x
2
对称且
f (0)
0
,
由
f (x
f ( x)
知
f ( x
8)
f (x)
,所以函数是以
f ( x)
在区间
[0,2]上是增函数
,所以
f
( x)
在区间
[-2,0]上也是增函数
.如图所示
,那么方程
f(x)=m(m>0) 在区间
8,8
12
上有四个不同的根
x
1
, x
2
, x
3
,
x
4
,不妨设
x
1
x
2
x
3
x
4
由对称性知
x
1
x
2
12 x
3
x
4
4
所以
x
1
x
2
x
3
x
4
4
8
y
f(x)=m (m>0)
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
方法十二
对数函数的考察
3( 2010全国卷 1 文数) (7)已知函数
f (x)
(A)
(1,
| lg x |
.若
a
)
(D)
b
且,
f (a)
f (b)
,则
a
)
b
的取值范围是
)
(B)
[1,
)
(C)
(2,
[2,
C【命题意图】做本小题时极易忽视
a的取值范围,而利用均值不等式求得
a+b=
a
1
a
2
,从而错选
D,【解析
1】因为
f(a)=f(b),
所以
|lga|=|lgb|,
所以
a=b(舍去 ),或
b
1
a
,所以 a+b=
a
1
a
又 0f (a)
a
1
a
由“对勾”函数的性质知函数
f (a)
在
a
(0,1)上为减函数,所以
f(a)>f(1)=1+1=2,
即 a+b 的取值范围是 (2,+∞ ).
f a f
b
【解 析 2 】由 0
( )=
1 b
( )得:
0
a
1
1 y
0
x
1
z x y
,利用线性规划得:
,化为求
的取值范围问题,
ab
1
y
xy
1
z x
y
yx
z
,
y
1
x
1
x
2
1
过点
1,1
时 z 最小为 2,∴ (C)
(2,
)
4( 2010全国卷 1
理数)(
10)已知函数
f
(
x
)=|lg
x
|.
若 0f
(
a
)=
f
(
b
),则 a+2b 的取值范围是
(A)
(2
2,
)
(B)
[2
2,
)
(C)
(3,
)
(D)
[3,
)
方法十三函数创新题的解法
1.(2009 浙江理)对于正实数
, 记
M
为 满 足 下 述 条 件
的 函 数
f ( x)
构 成 的 集 合 :
x
1
, x
2
(
R
且
x
2
x
1
, 有
( x
2
x
1
) f ( x
2
) f (
1
x )
( x
2
x
1
)
.下列结论中正确的是
)
9
A.若
f (x)
B.若
f (x)
M
1
,
g(x)
M
2
,则
f ( x)
g ( x)
M
1
f ( x)
g( x)
2
M
1
,
g( x)
M
2
,且
g( x)
0
,则
M
1
2
C.若
f (x)
D .若
f
(x)
答 案
M
1
g
(x)
M
1
g( x)
解 析
,
M
2
M
,则
f ( x)
1
g( x)
M
1
2
2
,,则
2
,且
f ( x)
g
(x)
M
1 2
C
对 于
(x
2
x
1
)
f ( x
2
)
f (
1
x )
(
2
x
x )
, 即
有
f ( x
2
)
x
2
f ( x
1
)
x
1
,
令
f (x
2
)
f (x
1
)
x
2
x
1
2
k
,有
k
,不妨设
f ( x) M
1
,
g (
x)
M
2
,即有
1
k
f
1 2
,
k
g
2
,因此有
1
k
f
k
g
1
2
,因此有
f ( x)
g(
x)
M
.
1
2
2.( 2009福建卷理) 函数
f (x)
ax
bx c(a
2
0)
的图象关于直线
x
b
2a
对称。据此可推测,
对任意的非零实数
a,b,c,m,
n,p,关于 x
的方程
m
f ( x)
nf (
x)
p
0
的解集都不可能是
(
)
A.
1,2
D 解析
B
1,4
2
C
1,2,3,4
D
1,4,16,64
答案
对方程
m[ f (x)]
nf
(x)
P
0
中
m,n, p
分别赋值求出
f ( x)
代入
f ( x)
0
求出检验即得
.
10
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