2017高中数学全国联赛分数-2019嘉祥初中升高中数学试卷
高中数学必修1函数的基本性质
1.奇偶性
(1)定义:如果对于函数f(
x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)
定
义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性
质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,
又是偶函数。
注意:
1
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○
2
由函数
的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也○
一定是
定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
1
首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○
2
确定f(-x)与f(x)的关系; ○
3
作出相应结论: ○
若f(-x) =
f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x)
或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:
①图象的对
称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条
件是它的图
象关于y轴对称;
②设
f(x)
,
g(x)
的定义域分别是
D
1
,D
2
,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇?
奇=偶,偶+偶=偶,偶
?
偶=偶,奇
?
偶=奇
2.单调性
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内
的某个区间D内的任意两个自变量
x
1
,x
2
,当x
1
时,都有f(x
1
)
)(f(x1
)>f(x
2
)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);
注意:
1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
○
2
必须是对于区间D内的任意两个自变量x
1
,x
2
;
当x
1
时,总有f(x
1
)
(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)
在这一区间具有(严格的)
单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。
(3)设复合函数y= f[g(x)],其中u=g(x) , A是y=
f[g(x)]定义域的某个区间,B是映射g : x→u=g(x) 的象集:
①若u=g(x)
在 A上是增(或减)函数,y= f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=
f[g(x)]在A上是增
函数;
②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=
f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y= f[g(x)]在A上是减
函数。
(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
1
任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
○
2
作差f(x
1
)-f(x
2
);
○
3
变形(通常是因式分解和配方)○;
4
定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负)○;
5
下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)○。
(5)简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
第 1 页 共 4 页
增函数
f(x)?<
br>增函数
g(x)
是增函数;减函数
f(x)?
减函数
g(x)
是减函数;增函数
f(x)?
减函数
g(x)
是增
函数;减
函数
f(x)?
增函数
g(x)
是减函数。
3.最值
(1)定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①
对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
②存在x
0
∈I,使得f(x
0) = M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值:一般地,设函数y=f(x)的
定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
②存在x
0∈I,使得f(x
0
) = M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。
注意:
1
函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x
0
∈I,使得f(x
0
)
= M; ○
2
函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都
有f(x)≤M(f(x)≥M)○。
(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:
1
利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○
2
利用图象求函数的最大(小)值; ○
3
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○<
br>如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在
x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]
上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
4.周期性
(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=
f(x),则称f(x)为周
期函数;
(2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作<
br>f(x?
TT
存在一个最小的正数,则称它为f(x)
)?f(x?),
若f(x)的周期中,
22
T
|
?
|
。
的最小正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为
四
.典例解析
【奇偶性典型例题】
例1.以下五个函数:(1)
y?
(5)
y?log
2
(
x?
1
4
x
(2)
y?x?1
;(3)
y?2;(4)
y?log
2
x
;
(x?0)
;
x
x
2
?1)
,其中奇函数是____ __,偶函数是__
____,非奇非偶函数是 _________
点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问
题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解
析式能化简,一般应考虑先化简,但化简
必须是等价变换过程(要保证定义域不变)。
题型二:奇偶性的应用
例2.设f(x)是定
义在R上的奇函数,若当x≥0时,f(x)=log
3
(1+x),则f(-2)=____
_。
例3.已知
f(x)
奇函数,当
x
∈(
0,1)时,
f(x)?lg
1
,那么当
x
∈(-1,0)时,f(x)
的表达式是 .
1?x
例
4<
br>.若奇函数
f(x)
是定义在(
?1
,
1
)上的增函
数,试求
a
的范围:
f(a?2)?f(a
2
?4)?0
.
2
解:由已知得
f(a?2)??f(a?4)
第 2 页 共
4 页
222
因
f(x)
是奇函数,故
?f(a?4)?f(4?a)
,于是
f(a?2)?f(4?a)
.
又
f(x)
是定义在(
?
1
,
1
)上的增函数,从而
?
?3?a?2
?
a?2?4?a
2
?
?
?3?a?2
?
?1?a?2?1?
?
1?a?3
?
?1?a
2
?4?1<
br>?
?
?
?5?a?3或3?a?5
即不等式的解集是
(3,2
)
【单调性典型例题】
例1.(1)
设函数f(x)?(2a?1)x?b是R上的减函数,
则a的范围为(
)
A.
a?
1111
B.
a?
C.
a??
D.
a?
2222
2
(2)函数
y?x?bx?c(x?[0,??)
)是单调函数的充要条件是( )
A.
b?0
B.
b?0
C.
b?0
D.
b?0
(3)
已知
f(x
)
在区间
(??,??)
上是减函数,
a,b?R
且
a?b
?0
,则下列表达正确的是(
)
A
.
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
B
.
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)
C
.
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
D
.
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)
提示:
a?b
?0
可转化为
a??b
和
b??a
在利用函数单调性可得
.
(4)
如右图是定义在闭区间上的函数
y?f(x)
的图象,该函数的单调增区
间为
例2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间
(1)
y??x?2|x|?1
(2)
y?|?x?2x?3|
例
3
.根据函数单调性的定义,证明函数
在
上是减函数.
例
4.
设
f(x)<
br>是定义在
R
上的函数,对
m
、
n?R
恒有
f
(m?n)?f(m)?f(n)
,且当
x?0
时,
0?f(x)?1
。
(
1
)求证:
f(0)?1
;
(
2
)证明:
x?R
时恒有
f(x)?0
;
(
3
)求证:
f(x)
在
R
上是减函数;
(
4
)若
f(x)?f(2?x)?1
,求
x
的范
围。
22
1111
则
f(?0)?f()f(0)
,因为
f()?0
所以
f(0)?1
2222
(2)
设
x?0
则
?x?0
由条件可知
f(?x)?o
又因为
1?f(0)?f(x?x)?
f(x)f(?x)?0
,所以
f(x)?0
∴
x?R
时,恒有
f(x)?0
(
3
)设
x
1
?x
2
则
f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
?x
1
)
=
f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)f(x
1
)
=
f(x
1
)[1?f(x
2
?x
1
)]
解:
(1)
取
m=0
,
n=
因为
x
1
?x
2
所以
x
2
?x
1?0
所以
f(x
2
?x
1
)?1
即
1
?f(x
2
?x
1
)?0
又因为
f
(x
1
)?0
,所以
f(x
1
)[1?f(x
2<
br>?x
1
)]?0
所以
f(x
1
)?
f(x
2
)?0
,即该函数在
R
上是减函数
.
(4)
因为
f(x)?f(2?x)?1
,所以
f(x)?f(2
?x)?f(2x?x
2
)?f(0)
所以
2x?x
2<
br>?0
,所以
x的范围为x?2或x?0
例
5
:(复合函数单调性)
1.
函数
y??x
2
?2x?3
的增区间是(
)
.
A
.
[
?
3,
?
1]
B
.
[
?
1,1] C
.
(??,?3)
D
.
[?1,??)
2.
函数
y
=
1
x
2
?2x?80
的单调递增
区间为(
)
第 3 页 共 4 页
A
.
(??,?8)
B
.
(??,1)
C
.
(1,??)
D
.
(?8,??)
题型五:周期问题
例6.已知函
数
y?f(x)
是定义在
R
上的周期函数,周期
T?5
,函
数
y?f(x)(?1?x?1)
是奇函数又
知
y?f(x)
在[0,1]
上是一次函数,在
[1,4]
上是二次函数,且在
x?2时函数取得最小值
?5
。
①证明:
f(1)?f(4)?0
;
②求
y?f(x),x?[1,4]
的解析式;
③求
y?f(x)
在
[4,9]
上的解析式。
解:∵f(x)
是以
5
为周期的周期函数,∴
f(4)?f(4?5)?f(?
1)
,
又∵
y?f(x)(?1?x?1)
是奇函数,∴
f(1)
??f(?1)??f(4)
,∴
f(1)?f(4)?0
。
②当
x?[1,4]
时,由题意可设
f(x)?a(x?2)?5
(a?0)
,
由
f(1)?f(4)?0
得
a(1?2)?5?a
(4?2)?5?0
,∴
a?2
,∴
f(x)?2(x?2)?5(1?x?
4)
。
③∵
y?f(x)(?1?x?1)
是奇函数,∴
f(0)?0
,
又知
y?f(x)
在
[0,1]
上是一次函数,
∴可设<
br>f(x)?kx(0?x?1)
,而
f(1)?2(1?2)?5??3
, <
br>∴
k??3
,∴当
0?x?1
时,
f(x)??3x
,
从而当
?1?x?0
时,
f(x)??f(?x)??3x
,故
?1?x?1
时,
f(x)??3x
。
∴当
4?x?6
时,有
?1?x?5?1
,
∴
f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15
。
当
6?x?9
时,
1?x?5?4
,
∴
f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]?5?2(x?7)?5
22
2
222
2
?
?3x?15,4?x?6
∴
f(x)?
?
。
2
2(x?7)?5,6?x?9
?
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