高中数学微积分公式大全

微积分公式
D
x
sin x=cos x
cos x = -sin x
tan x = sec
2
x
cot x = -csc
2
x
sec x = sec x tan x
csc x = -csc x cot x
D
x
sin
-1
(
x
)=
a
?1
? sin x dx = -cos x + C
? cos x dx = sin x + C
? tan x dx = ln |sec x | + C
? cot x dx = ln |sin x | + C
? sec x dx = ln |sec x + tan x | + C
? csc x dx = ln |csc x – cot x | + C
? sin
-1
x dx = x sin
-1
x+
1?x
2
+C
sin
-1
(-x) = -sin
-1
x
cos
-1
(-x) = ? - cos
-1
x
tan
-1
(-x) = -tan
-1
x
cot
-1
(-x) = ? - cot
-1
x
sec
-1
(-x) = ? - sec
-1
x
csc
-1
(-x) = - csc
-1
x
x
sinh
-1
()= ln (x+
a
2
?x
2
) x
?
R

a
22
a?x
x
? cos
-1
x dx = x cos
-1
x-
1?x
2
+C
cosh
-1
()=ln (x+
x
2
?a
2
) x≧1
x
a
cos
-1
()=
? tan
-1
x dx = x tan
-1
x-?ln (1+x
2
)+C
a
-1
(
x
)=
1
ln (
a?x
) |x| <1 tanh
-1
x dx = x cot
-1
x+?ln (1+x
2
)+C
x?a
a2aa?x
? cot
-1
tan ()=
2

aa?x
2
-1
(
x
)=
1
ln (
x?a
) |x| >1
2
-1-1
coth
? sec x dx = x sec x- ln |x+
x?1
|+C
x
a2ax?a
-1
cot ()=
a
? csc
-1
x dx = x csc
-1
x+ ln |x+
x
2
?1
|+C
x?1
1?x
2
-1
sech()=ln(+)0≦x≦1
x
?a
2
-1
ax
x
sec ()=

22
a
xx?a
x1
1?x
2
-1
-1< br>csc (xa)=
csch ()=ln(+) |x| >0
2
ax
x
D
x
sinh x = cosh x
cosh x = sinh x
tanh x = sech
2
x
coth x = -csch
2
x
sech x = -sech x tanh x
csch x = -csch x coth x
? sinh x dx = cosh x + C
? cosh x dx = sinh x + C
? tanh x dx = ln | cosh x |+ C
? coth x dx = ln | sinh x | + C
? sech x dx = -2tan
-1
(e
-x
) + C
? csch x dx = 2 ln |
1?e
?x
1?e
?2x
| + C
2
duv = udv + vdu

? duv = uv = ? udv + ? vdu
→? udv = uv - ? vdu
cos
2
θ-sin
2
θ=cos2θ
cos
2
θ+ sin
2
θ=1
cosh
2
θ-sinh
2
θ=1
cosh
2
θ+sinh
2
θ=cosh2θ

sin 3θ=3sinθ-4sin
3
θ
cos3θ=4cos
3
θ-3cosθ
→sin
3
θ= ? (3sinθ-sin3θ)

→cos
3
θ=?(3cosθ+cos3θ)
e
jx
? e
?jx
e
jx
?e
?jx
sin x = cos x =
2j
2
x
D
x
sinh
-1
()=
a
x
cosh
-1
()=
a
1
a?x
1
22

? sinh
-1
x dx = x sinh
-1
x-
1?x
+ C
? cosh
-1
x dx = x cosh
-1
x-
x
2
?1
+ C
2

? tanh
-1
x dx = x tanh
-1
x+ ? ln | 1-x
2
|+ C
x?a
? coth
-1
x dx = x coth
-1
x- ? ln | 1-x
2
|+ C
x?a
? sech
-1
x dx = x sech
-1
x- sin
-1
x + C
-1
tanh()=
2

? csch
-1
x dx = x csch
-1
x+ sinh
-1
x + C
aa?x
2
x

γ
coth
-1
()=

a
a
R b
α
?a
x
-1
sech()=
c
22
a
xa?x
2
e
x
?e
?x
e
x
?e?x
sinh x = cosh x =
22
正弦定理:
β
b
c
a
= ==2R
sin
?
sin
?
sin
?
csch
-1
(xa)=
?a
xa?x< br>22

余弦定理: a
2
=b
2
+c
2
-2bc cosα
b
2
=a
2
+c
2
-2ac cosβ
c
2
=a
2
+b
2
-2ab cosγ


sin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β
sin α + sin β = 2 sin ?(α+β) cos ?(α-β)

cos (α±β)=cos α cos β
?
sin α sin β
2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β)
2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β)
2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β)
2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)
23n
x
x
x
e
x
=1+x+++…++ …
2!
3!
n!
sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β)
cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β)
cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β)
tan (α±β)=
n
tan
?
?tan
?
?cot
?
cot
?
, cot (α±β)=
?ta n
?
tan
?
cot
?
?cot
?
?1
= n
i?1
n
(?1)
n
x
2n?1< br>x
3
x
5
x
7
sin x = x-+-+…++ …
(2n?1)!
3!5!
7!
(?1)
n
x
2 n
x
2
x
4
x
6
cos x = 1-+-+…++ …
(2n)!
2!4!6!
(?1)
n
xn?1
x
2
x
3
x
4
ln (1+x) = x-+-+…++ …
(n?1)!
2
3
4
(?1)
n< br>x
2n?1
x
3
x
5
x
7
-1tan x = x-+-+…++ …
(2n?1)
35
7
?
i
= ?n (n+1)
i?1
?
i
2
=
i?1
n
n
1
n (n+1)(2n+1)
6
?
i
i?1
3
= [?n (n+1)]
2

x-1
e
-t
dt = 2
t
2x-1
e
?t
dt =
t
??
00
1
??
2
Γ(x) =
?
?
0
1
(ln)
x-1
dt
t
(1+x)
r
=1+rx+
r(r?1)
2
r (r?1)(r?2)
3
x+x+… -12!3!
β(m, n) =
?
x
0
m-1
(1-x)
n-1
dx=2
?
?
?
2
0
sin
2m-1
x cos
2n-1
x dx
=
希腊字母 (Greek Alphabets)
大写
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
小写
?
0
x
m?1
dx
m?n
(1?x)
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
读音
alpha
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
大写
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
小写
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
读音 大写
iota Ρ
kappa Σ
lambda Τ
mu Υ
nu Φ
xi Χ
omicron Ψ
pi Ω
小写
ρ
σ, ?
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
读音
rho
sigma
tau
upsilon
phi
khi
psi
omega

倒数关系: sinθcscθ=1; tanθcotθ=1; cosθsecθ=1
sin
?
cos
?
商数关系: tanθ= cotθ=
cos
?
sin
?
平方关系: cos
2
θ+ sin
2
θ=1; tan
2
θ+ 1= sec
2
θ; 1+ cot
2
θ= csc
2
θ

順位高
; ? 顺位高d 顺位低
順位低
0*? =
10
1?
*? = = 0* =
00
??
0
0
=
e
0(??)

?
0
=
e
0??

1
?
=
e
0??

顺位一: 对数; 反三角(反双曲)
顺位二: 多项函数; 幂函数
顺位三: 指数; 三角(双曲)

算术平均数(Arithmetic mean)
X?
中位数(Median)
众数(Mode)
几何平均数(Geometric mean)
调和平均数(Harmonic mean)
X
1
?X
2
?...?X
n

n
取排序後中间的那位数字
次数出现最多的数值
G?
n
X
1
?X
2
?...?X
n


分配
Discrete
Uniform
Continuous
Uniform
Bernoulli
Binomial
Negative
Binomial
Multinomial
Geometric
平均差(Average Deviatoin)

变异数(Variance)
标准差(Standard Deviation)
机率函数f(x)
1
n

1
b?a

p
x
q
1-x
(x=0, 1)
?
?
n
?
?
xn-x
?
x
?
?
?
pq

?
?
k?x?1
?
?
?
x
?
?
?
p
k
q
x

f(x
1
, x
2
, …, x
m-1
)= n!
p
x
1
p
x
2
x
m
x! ...x
12
...p
m

1
!x
2m
!
pq
x-1

H?
1
1

n
(
111
x
??. ..?
x
)
1
x
2n
?
n
|X
i
?X|
1
n

?
n
n
(X
i?X)
2
X
i
?X)
2
1
1
n
or
?
(
n?1

?
n
(X
2n
i
?X)
(X
i
?X)
2
1
1n
or
?
n?1
期望值E(x) 变异数V(x)
11
2
2
(n+1)
12
(n+1)
11
2
(a+b)
12
(b-a)
2

p pq
np npq
kq
kq
p

p
2

np
i

np
i
(1-p
i
)

1

q
p
p
2

动差母函数
m(t)
1e< br>t
(1?e
nt
)
n
1?e
t
e
b t
?e
at
(b?a)t

q+pe
t

(q+ pe
t
)
n

p
k
(1?qe
t
)
k

三项
(p
1
e
t1
+
p
2
e
t2
+ p
3
)
n

pe
t
1?qe
t

Hypergeometri
c
?
?
k
? ?
N?k
?
?
?
x
?
?
?
??
?
n?x
?
?
?
n
?
?
k
?
?
N
?
?

?

?
N
?
?
?
n
?
?
?
Poisson
e
?
?
?
x
λ
x!

Normal
1
?
1x?
?
2
μ
2
(
?
)
2
??
e

Beta
1
x
?
?1
(1?x)
?
?1
?
B(
?
,
?
)

?
?
?

Gamma
?
?
(
?
x)
?
?1
e
?
?
x
?(

?

?
)
Exponent
?
e
?
?
x

1
?

Chi-Squaredχ
2
=f(χ
2
)
n?
?
2
E(χ
2
)=n

=
1
?
n
(
?
2
)
2
?1
e
2

?
?
n
?
2
?
?
2
2
?
Weibull
1
?
x?
?
1
?
?
e

?
?
?
?
?
?
?
1
?
?
?
?1
?
?

1 000 000 000 000 000 000 000 000 10
24
yotta Y
1 000 000 000 000 000 000 000 10
21
zetta Z
1 000 000 000 000 000 000 10
18
exa E
1 000 000 000 000 000 10
15
peta P
1 000 000 000 000 10
12
tera T 兆
1 000 000 000 10
9
giga G 十亿
1 000 000 10
6
mega M 百万
1 000 10
3
kilo K 千
100 102 hecto H 百
10 101 deca D 十
0.1 10
-1
deci d 分，十分之一
?
?
N?n
?
?
N?1
?
?
k
?
?
n
?
?
N
?
?

λ
σ
2

??< br>(
?
?
?
?1)(
?
?
?
)
2

?
?
2

1
?
2

V(χ
2
)=2n

2
?
?
?
?
2
??
1
?
?
?
?
?
?
?
?1
?
?
??
2
?
?
?
?1< br>?
?
?
?

e
?
?
(e
t
?1)

e
?
t?
1
?
2
t
2
2


?
?
?
?
?
?
?
?
?t
?
?

?
?
?t

(1?2t)
?
n
2


?

0.01 10
-2
centi c 厘（或写作「厘」），百分之一
0.001 10
-3
milli m 毫，千分之一
0.000 001 10
-6
micro ? 微，百万分之一
0.000 000 001 10
-9
nano n 奈，十亿分之一
0.000 000 000 001 10
-12
pico p 皮，兆分之一
0.000 000 000 000 001 10
-15
femto f 飞（或作「费」），千兆分之一
0.000 000 000 000 000 001 10
-18
atto a 阿
0.000 000 000 000 000 000 001 10
-21
zepto z
0.000 000 000 000 000 000 000 001 10
-24
yocto y



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