高一数学必修公式

推导公式：(a+b+c)(sinA+sinB+sinC)=2R(其中，R为外接圆半径)
由正弦定理有

asinA=bsinB=csinC=2R

所以

a=2R*sinA

b=2R*sinB

c=2R*sinC

加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入

(a+b+c)( sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB+sinC )=2R

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)(cotB-cotA)

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

对数的性质及推导

用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a为底，b的对数

*表示乘号，表示除号

定义式：

若a^n=b(a>0且a≠1)

则n=log(a)(b)

基本性质：

1.a^(log(a)(b))=b

(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

(a)(MN)=log(a)(M)-log(a)(N);

(a)(M^n)=nlog(a)(M)

推导

1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)

2.

MN=M*N

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

3.与2类似处理

MN=MN

由基本性质1(换掉M和N)

a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]a^[log(a)(N)]

由指数的性质

a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(MN)=log(a)(M)-log(a)(N)

4.与2类似处理

M^n=M^n

由基本性质1(换掉M)

a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n

由指数的性质

a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}

又因为指数函数是单调函数，所以

log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

其他性质：

性质一：换底公式

log(a)(N)=log(b)(N)log(b)(a)

推导如下

N=a^[log(a)(N)]

a=b^[log(b)(a)]

综合两式可得

N={b^[log(b)(a)]}^[lo g(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

又因为N=b^[log(b)(N)]

所以

b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

所以

log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}

所以log(a)(N)=log(b)(N)log(b)(a)

性质二：（不知道什么名字）

log(a^n)(b^m)=mn*[log(a)(b)]

推导如下

由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]

log(a^n)(b^m)=ln(a^n)ln(b^n)

由基本性质4可得

log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)][m*ln(b)]=(mn)*{ [ln(a)][ln(b)]}

再由换底公式

log(a^n)(b^m)=mn*[log(a)(b)]

---------- ----------------------------------（性质及推导完）

公式三:

log(a)(b)=1log(b)(a)

证明如下:

由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)log (b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1

=1log(b)(a)

还可变形得:

log(a)(b)*log(b)(a)=1

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·商的关系：

tanα=sinαcosαcotα=cosαsinα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

万能公式：

sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]

cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]

tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]

常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π2＋α）＝cosα

cos（π2＋α）＝－sinα

tan（π2＋α）＝－cotα

cot（π2＋α）＝－tanα

sin（π2－α）＝cosα

cos（π2－α）＝sinα

tan（π2－α）＝cotα

cot（π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα

cos（3π2＋α）＝sinα

tan（3π2＋α）＝－cotα

cot（3π2＋α）＝－tanα

sin（3π2－α）＝－cosα

cos（3π2－α）＝－sinα

tan（3π2－α）＝cotα

cot（3π2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

一般的最常用公式有:

Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA

Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA

Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB

Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB

Tan(A+B)=(TanA+TanB)(1-TanA*TanB)

Tan(A-B)=(TanA-TanB)(1+TanA*TanB)

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

·积的关系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanα·tanβ)

·辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(12)sin(α+t)，其中

sint=B(A^2+B^2)^(12)

cost=A(A^2+B^2)^(12)

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin(α2)=±√((1-cosα)2)

cos(α2)=±√((1+cosα)2)

tan(α2)=±√ ((1-cosα)(1+cosα))=sinα(1+cosα)=(1-cosα)sinα

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))2=versin(2α)2

cos^2(α)=(1+cos(2α))2=vercos(2α)2

tan^2(α)=(1-cos(2α))(1+cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]

cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]

tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(12)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(12)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(12)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(12)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]cos[(α-β)2]

sinα- sinβ=2cos[(α+β)2]sin[(α-β)2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]cos[(α-β)2]

cosα- cosβ=-2sin[(α+β)2]sin[(α-β)2]

·其他：

sinα+sin(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π*3n)+…… +sin[α+2π*(n-1)n]=0

cosα+cos(α+2πn)+cos (α+2π*2n)+cos(α+2π*3n)+……+cos[α+2π*(n-1)n]=0

以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

部分高等内容

·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)](2i)

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)][ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z1！＋z^22！＋z^33！＋z^44！＋…＋z^n n！
＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

·三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指 数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角
函数的类似的性质，二者相映成趣 。

特殊三角函数值

a0`30`45`60`90`

sina012√22√321

cosa1√32√22120

tana0√331√3None

cotaNone√31√330

三角函数的计算

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0 ..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...cn.. .及a都是常数,这种级数称为
幂级数.

泰勒展开式(幂级数展开法):

f(x)=f(a)+f'(a)1!*(x-a)+f''(a)2!*(x-a)2 +...f(n)(a)n!*(x-a)n+...

实用幂级数：

ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...

ln(1+x)=x-x23+x33-...(-1)k-1*xkk+...(|x|<1)

sinx=x-x33!+x55!-...(-1)k-1*x2k-1(2k-1)!+... (-∞
cosx=1-x22!+x44!-...(-1)k*x2k(2k)!+...(-∞
arcsinx=x+12*x33+1*3(2*4)*x55+...(|x|<1)

arccosx=π-(x+12*x33+1*3(2*4)*x55+...)(|x|<1)

arctanx=x-x^33+x^55-...(x≤1)

sinh x=x+x33!+x55!+...(-1)k-1*x2k-1(2k-1)!+...(-∞
coshx=1+x22!+x44!+...(-1)k*x2k(2k)!+...(-∞
arcsinhx=x-12*x33+1*3(2*4)*x55-...(|x|<1)

arctanhx=x+x^33+x^55+...(|x|<1)

< br>----------------------------------------------- ---------------------------------

傅立叶级数(三角级数)

f(x)=a02+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx)

a0=1π∫(π..-π)(f(x))dx

an=1π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dx

bn=1π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dx

注意：正切也可以表示为“Tg”如：TanA=TgA

Sin2a=2SinaCosa

Cos2a=Cosa^2-Sina^2

=1-2Sina^2

=2Cosa^2-1



三角函数公式

两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)

倍角公式
tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式
sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))

和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)24 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…
+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3

正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=12*l*r

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)2a -b-√(b2-4ac)2a

根与系数的关系 X1+X2=-ba X1*X2=ca 注：韦达定理

判别式
b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根
降幂公式
（sin^2）x=1-cos2x2
（cos^2）x=i=cos2x2


万能公式
令tan(a2)=t
sina=2t(1+t^2)
cosa=(1-t^2)(1+t^2)