高中数学必修五小题巧练-人教版高中数学知识点总结免费下载
重点高中数学公式汇总(上海
版)
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:
2
集合命题不等式公式
1、
C
U(
A?B
)
=_____
C
U
A?C
U
B
____;
C
U
(A?B)
=_____
C
U
A?C
U
B
______。
2、
A?B?A?
_
_
A?B
___;
A?B?B?
__
A?B
__;
C
U
B?C
U
A?
__
A?B
___;
A?C
U
B???
____
A?B
____;
C<
br>U
A?B?U?
______
A?B
_____。
3、含n
个元素的集合有:__
2
n
__个子集,__
2
n
?
1
__个真子集,__
2
n
?1
__个非
空子集,__<
br>2
n
?
2
__个非空真子集。
4、常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 否 至少有一个 一个都没有
都是 不都是
至多有一个 至少有两个
大于 小于等于 至少有n个 至多n-1个
小于 大于等于
至多有n个 至少n+1个
至少有一个x不(非p)且(非
对所有x都成立 P或q
成立 q)
对任何x都不成至少有一个x成(非p)或(非
P且q
立 立
q)
5、四种命题的相互关系:__原命题___与___逆否命题__互为等价命题;____否<
br>命题____与____逆命题___互为等价命题。
6、若
p?q
,则p是
q的___充分____条件;q是p的____必要____条件。
7、基本不等式:
(
1)
a,b?R
:________
a
2
?b
2
?
2ab
_____________等且仅当
a?b
时取等号。
(2)a,b?R
?
:__________
a?b?2ab
________
__等且仅当
a?b
时取等号。
(3)绝对值的不等式:__________||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
_________
8、均值不等式:
a,b?R
?
时,
a?b
a
2
?b
2
_____________
?
_____
ab_____
?
______
?
_______
11
2
2
?
ab
2
等且仅当
a?b
时取等号。
9、分式不等式:
10、
?
f(x)?g(x)?0
?
f(x)?g
(x)?0
f(x)f(x)
?0?
?
?0?
?
g(x)g(x)
?
g(x)?0
?
g(x)?0
绝对值<
br>第 3 页
不等式:
|f(x)|?a(a?0)?_
___f(x)??a或f(x)?a________________
|f(x)|?a(a?0)?____?a?f(x)?a__________
11、指、对数不等式:
(1)
a?1
时:
a
f
(x)
?a
g(x)
?_____f(x)?g(x)_______
log
a
f(x)?log
a
g(x)?_______0?f(x)?g(x)_
_______
a
f(x)
?a
g(x)
?______f(x)?
g(x)________
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
______f(x)?g(x)?0________
(2)
0?a?1
时:
函数公式
1、函数
y?f(x)
的图象与直线
x?a
交点的个数为
1 个
2、一元二次函数解析式的三种形式:
b
2
4ac?b
2
(a?0)
_;
一般式:y?ax?bx?c(a?0)
__;顶点式:
y?a(x?)?
2a4a
2
?b+b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
)(x?)(
a?0)
___________。
零点式:____
y?a(x?
2a2
a
3、二次函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
,x?[m,n]
的最值:
b
?
f(n)??n
?
bm
?n
2a
?
?
f(m)??
?
bb
?
?<
br>2a2
0
1、
a?0
时,
y
max
?
?
y
min
?
?
f(?)m???n
2a2a
?
f(n)?
b
?
m?n
?
?<
br>b
?
2a2
?
f(m)??m
?
2a
?b
?
f(n)??n
?
bm?n
2a
?
?f(m)??
?
bb
?
?
2a2
2
0
、
a?0
时,
y
max
?
?
f(?)m??
?n
y
min
?
?
2a2a
?<
br>f(n)?
b
?
m?n
?
?
b
?
2
a2
?
f(m)??m
?
2a
?
4、奇函数
f(?
x)?
_____
?f(x)
_____,函数图象关于 原点 对称;
偶函数
f(?x)?
_____
f(x)
____=___
f(|x|)
___,函数图象关于 y轴
对称。
奇函数若在x=0有意义,则
f(0)
= 0
5*、若
y?
f(x)
是偶函数,则
f(x?a)
=______
f(?x?a)
_______;
第 4 页
若
y?f(
x?a)
是偶函数,则
f(x?a)
=______
f(?x?a)
_______。
6、函数
y?f(x)
在
x?[m,n]
单调递
增(减)的定义:_____________任取
x
1
,x
2
?[
m,n]
,且
x
1
?x
2
,若
f(x
1<
br>)?f(x
2
)
,则函数
y?f(x)
在
x?[m,
n]
单调递
增;若
f(x
1
)?f(x
2
)
,则函数
y?f(x)
在
x?[m,n]
单调递减________。 <
br>7、如果函数
f(x)
和
g(x)
在R上单调递减,那么
f(
x)?g(x)
在R上单调递__减
___,
f[g(x)]
在R上单调递_
__增____。
8、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。(填写“相同”或“相反”)
9、互为反函数的两个函数的关系:
f(a
)?b?
___
f
?1
(b)?a
_____。
10、<
br>y?f(x)
与
y?f
?1
(
x
)
互为反函
数,设
f(x)
的定义域为D,值域为A,则有
f[f
?1
(x)
]?
____
x(x?A)
_____;
f
?1
[f(x)
]?
______
x(x?D)
______。
11、定义域上的单调函数一定有反函数。(填写“一定有”,“可能有”,“一定没
有”)
12、奇函数如果存在反函数,则反函数的奇偶性 奇函数 ;
互为反函数的两个函数具有相同的单调性。(填写“相同”或“相反”)
13、函数
y?f(x)
的图像向右移
a
个单位,上移b个单位,得函数
____
y?f(x?a)?b
____的图像;
曲线
f(x,y)?0
的图像向
右移
a
个单位,上移b个单位,得曲线
f(x?a,y?b)?0
的图像。
1、函数图像的对称性与周期性
(1)一个函数
y?f(x)
本身的对称性与周期性
解析式满足
f(a?x)?f(b?x)
图像满足
?
关于直线
x?
关于点
(
a?b
对称
2
f(a?x)??f(b?x)
?
f(a?x)?f(b?x)
a?b
,0)
对称
2
?
以
|a?b|
为周期
以2
|a?b|
为周期
f(a?x)??f(b?x)
?
图像对称性
同时关于
x?a,x?b
对
图像周期性
以2
|a?b|
为周期
?
第 5 页
称
同时关于
(a,0),(b,0)
对称
同时关于
x?a,(b,0)
对称
(2)两个函数图像的对称性:
y?f(a?x),y?f(b?x)
图像关于
x?
?
?
以2
|a?b|
为周期
以4
|a?b|
为周期
b?a
对称;
2
y?f
(a?x),y??f(b?x)
图像关于
(
b?a
,0)
对称;
2
y?f(x)
和
y?f
?1
(x)
图像关于__
__直线
y?x
_____对称。
2、写出满足下列恒等关系的一个(组)具体的函数:
恒等关系
f(x?y)?f(x)?f(y)
具体函数
y?kx
y?a
x
(a?0且a?1)
y?log
a
x(a?0且a?1)
y?x
k
(k为有理数)
f(x?y)?f(x)f(y)
f(xy)?f(x)?f(y)
f(xy)?f(x)f(y)
f(x?y)?
f(x)?f(y)
1?f(x)f(y)
y?tanx
1
**
f(x)f(y)?[f(x?y)?f(x?y)]
2
y?cosx
y?cosx
**
f
(
x
)
?f
(
y
)
?
2
f
(
x?yx?y
)
f
()
22
幂指对函数公式
1、
a?___a_____,a
n
m
m
n
?
m
n
?____
1
n
a
m<
br>______(a?0,m,n?N
*
,n?1)
?
___a___ n为奇数
n
n
n
n
(
a
)
?
2、
_____
|a|
_____,
a?
?
___?a___
n为偶数
?
3、有理指数幂的运算性质:
第 6 页
a
r
a
s
?___a
r?s
____;(a
r
)
s
?____a
rs
______;(ab)
r?___a
r
b
r
___.(a?0,b?0,r,s?Q)
4
、指数式与对数式的互化:
log
a
N?b?
_____
a
b
?N
______.(
a?
0,
a?
1,
N?<
br>0)
5、对数换底公式:
log
a
N?_
log<
br>a
m
b
n
?
n
?log
a
b
m
log
c
N
_.(a?0,a?1,N?0)
,推论
:
log
c
a
6、对数的四则运算:
(a?0,a?1,M,N?0
)
M
?log
a
M?log
a
N;log
a
M
n
?n?log
a
M
N
7、对数
恒等式
a
log
a
N
?
_______N________
_
(a?0,a?1,N?0)
8、幂函数:
y?x
?
(
?
为常数,
?
?0
),图像恒过点(1,1),画出幂函数在第一象限的图像。
log
a
(MN)?log
a
M?loga
N;log
a
?
>1
?
=1
0<
?
<1
?
<0
9、指数函数与对数函数
定义域
值域
奇偶性
单调性
y?a
x
(a?0,a?1)
y?log
a
x(a?0,a?1)
R
(0,??)
(0,??)
R
非奇非偶
a>1 增 0非奇非偶
a>1 增 0图像
三角比公式
第 7
页
1、设
?
终边上任意一点坐标为
P(x,y
)
,这点到原点的距离为
r?x
2
?y
2
(
r?<
br>0)
,
yxyxrr
则
sin
?
?
,co
s
?
?
,tan
?
?
,cot
?
?
,sec
?
?
,csc
?
?
。
rrxyxy<
br>2、同角三角比公式:平方关系:1=
cos
2
?
?sin
2
?
=
sec
2
?
?tan
2
?
=
csc
2
?
?cot
2
?
。
商数关系:
tan
?
?
sin
??
cos
?
(
?
?k
?
?
,
k?Z
)
cot
?
?(
?
?k
?
,k?Z)
cos
?
2sin
?
倒数关系:
sin
?
cs
c
?
?1(
?
?k
?
,k?Z)
co
s
?
sec
?
?1(
?
?k
?
?
tan
?
cot
?
?1(
?
?
k
?
,k?Z)
2
?
2
,
k?Z
)
3、两角和与两角差公式:
_______
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
)
tan
?
?tan
?
___
tan(?
?
?
)?
__
1
m
tan
?
tan
?
cos(
?
?
?
)?
___
c
os
?
cos
?
msin
?
sin
?
)<
br>___。
b
4、辅助角公式:
asinx?bcosx?__a
2<
br>?b
2
sin(x?arctan)___(a?0)
a
5、二倍角公式
;
sin2
?
?2sin
?<
br>cos
?
;
cos2
?
?
cos
2
?
?sin
2
?
?
2cos
2
?
?1?
1?2?sin
2
?
;
2tan
??
k<
br>??
__(
?
?k
?
?,
?
??,k?Z)
2
1?tan
?
224
1?cos
?
1
?cos
?
?
?
6、半角公式:
sin
?
?
;
cos?
?
22
22
tan2
?
?
_
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
??(?
?k
?
,k?Z)
21?cos
?
sin
?
1?cos
?
7、万能置换公式:
tan??
?
2tan
sin
?
?
?
2
,
cos
?<
br>?
1?
tan
2
1?tan
2
?
?
2
,
tan
?
?
2
2tan
?
2
。
1?tan
2
其中
?
?k
?
?
??
2
1?tan
2
?
2
2
8、(理)三角比的
积化和差与和差化积公式
11
sin
?
cos
?
?[si
n(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)]co
s
?
sin
?
?[sin(
?
?
?
)?s
in(
?
?
?
)]
22
,
11
cos<
br>?
cos
?
?[cos(
?
?
?
)?cos
(
?
?
?
)]sin
?
sin
?
??[c
os(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]<
br>22
,
sin
?
?sin
?
?2sin
,
?
?
2
k
?
?
?
(
k?Z
)
?
?
?
2
2
cos
?
?<
br>?
2
2
,
sin
?
?sin
?
?2
cos
?
?
?
2
2
sin
?
?
?
2
2
cos
?
?cos
?
?
2cos
?
?
?
cos
?
?
?
cos?
?cos
?
??2sin
,
?
?
?
sin
?
?
?
第 8 页
abc
???2
R
,其中R是三角形外接圆半径。
sinAsin
BsinC
b
2
?c
2
?a
2
222
10
、余弦定理:
a
?
b
?
c
?
2bccosA
;
cosA?
。
2bc
11a?b?c
11、三角形面积公式:
S?absinC?
p(p?a)(p?b)(p?c),其中p?
222
x
1
y
1
1
r
2
uuur
2
uuuruuur
2
11
uuu
?x
2
y
2
1?ABAC?(AB?AC)<
br>
22
x
3
y
3
1
9、正弦定理:
(第三格用行列式表示,第四格用向量表示)
诱导公式
1、
1
o
?
?
180
o
rad
,
1rad?
180
?
11
lR
=
?R
2
22
2、扇形的弧长公式
l?
?
R;扇形的面积公式
S?
3、在直角坐标系中用“+”、“—”标出各个三角比在各个象限中
的符号。
第 9 页
sin
?
cos
?
tan
?
cot
?
sec
?
csc
?
4、诱导公式
(k?Z)
诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限
三角函数图像与性质
名称
解析式
定义域
值域
增区间
减区间
奇偶性
周期性
正弦函数
y?sinx
x?R
y?
?
?1,1
?
余弦函数
正切函数 余切函数
y?cosx
x?R
y?
?
?1,1
?
y?tanx
x?k
?
?
y?cotx
x?k
?
,k?Z
?
2
,k?Z
y?R
y?R
??
?
?
2
k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
偶函数
周期
2k
?
,k?0
最小正周期
2
?
x?2k
?
,y
max
?1
??
??<
br>?
k
?
?,k
?
?
?
22
??
无
?
3
?
?
?2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??<
br>无
奇函数
周期
k
?
,k?0
最小正周期
?
无最大(小)值
?
k
?
,k
?
?
?
?
奇函数
周期
k
?
,k?0
最小正周期
?
无最大(小)值
奇函数
周期
2k
?
,k?0
最小正周期
2
?
x?2k
?
?
?
2
,y
max
?1
最值
x?2k
?
?
?
2
,y
min
??1
x?2k
?
?
?
,y
min
??1
零点
对称轴
对称中
心
x?k
?
直线
x?k
?
?
?
2
点
(k
?
,0)
x?k
?
?
?
2
x?k
?
无
点
(
k
?
,0)
2
x?k
?
?
无
?
2
直线
x?k
?
点
(k
?
?
?
,0)
2
第
10 页
点
(
k
?
,0)
2
图象
(一)弦曲线
y?Asin(
?
x?
?
)
的物理意义
1、
振幅A:表示离开平衡位置的最大值
2、
周期
T?
2
?
(二)参数
A,
?
,
?
,m
对
y?Asin(
?
x?
?
)
图象影
响
1、
位置变化
,表示往复振动一次所需的
时间
?
其他
3、
频率
f?
1
?
?
,表示单位时间内往复振
T2
?<
br>y?sin(x?
?
)
左右平移
y?sinx?m
上下平移
动次数
4、
?
x?
?
叫做相位,
?<
br>叫做初相;
x??
?
表
?
示相位移。
初相
?
表示振动开始时物体的位置。
反三角函数与三角方程
反三角函数图像与性质
名称
解析式
定义域
值域
增区间
减区间
奇偶性
最值
反正弦函数
y?arcsinx
x?
?
?1,1
?
y?[?
2、
形状变化
y?Asinx
上下伸缩
y?sin
?
x
左右伸缩
反余弦函数 反正切函数 反余切函数
y?arccotx
y?arccosx
x?
?
?1,1
?
y?
?
0,
?
?
y?arctanx
x?R
y?(?
x?R
y?(0,
?
)
??
,
]
22
??
,)
22
?
?1,1
?
无
奇函数
x?1,y
max
?
无
R
无
R
?
?1,1
?
非奇非偶函数
?
2
x??1,y
max
?
?
无
奇函数
非奇非偶函数
无最大(小)值 无最大(小)值
第 11 页
x??1,y
min
??
?
2
x?1,y
min
?0
零点
对称轴
对称中
心
x?0
无
x?1
无
x?0
无
无
无
(0,0)
(0,)
2
?
(0,0)
?
点
(0,)
2
图象
2、恒等式(写明x的取值范围):
arcsin(sinx)?
x,x?[?
??,]
;
arccos(cosx)?
x,x?[0,
?
]
;
arctan(tanx)?
x,x?(?,)
2222
??
sin(arcsinx)?x,x?[?1,1]
;
cos(arccosx)?x
,x?[?1,1]
;
tan(arctanx)?x,x?R
arcsi
n(?x)?
?arcsinx,x?[?
??
,]
;
arccos
(?x)?
22
?
?arccosx,x?[0,
?
]
;<
br>?
arctan(?x)?
?arctanx,x?(?
??
,);
arcsinx?arccosx?
,x?[?1,1]
222
3、最简单的三角方程:
方程 方程的解集 方程 方程的解集
s
inx?a
{x|x?k
?
?(?1)
k
arcsina,k?Z}
sinx?sin
?
{x|x?2k
?
?
?
或2k
?
?
?
?
?
,k?Z}
,
|a|?1
cosx?a
{x|x?2k
?
?arccosa,k?Z}
cosx?cos
?
{x|x?2k
?
?
?
,k?Z}
,
|a|?1
tanx?a
{x|x?k
?
?arctana,k?Z}
{x|x?k
?
?
?
,k?Z}
tanx?tan
?
数列公式
定义
通项公
式
通项公
式的推
等差数列
{
a
n
}
a
n?1
?a
n
?d
,(
n?N
*
)<
br>
等比数列
{a
n
}
a
n?1
?
q,(a
n
?0,q?0,n?N
*
)
a
n
a
n
?a
1
q
n?1
a
n
?a
1
?(n?1)d
累加法
第
12 页
累乘法
导方法
推广的
通项公
式
m?n?p?q
时
求和公
式
前n项
和公式
推导的
方法:
S
n
,S
2n
,S
3n
间的关
系
充要条
件
a
n
?a
m
?(n?m)d
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
a
n
?a
m
q
n?m
a
m
a
n
?a
p
a
q
n(a
1
?a
n
)
2
n(n?1)
?na
1
?
d
2
S
n
?
?
na<
br>1
(q?1)
?
na
1
(q?1)
??
S
n
?
?
a
1
?a
n
q
?
?
a
1
(1?q
n
)
(
q?1)
?
(q?1)
?
1?q
?
?
1?q
倒序相加法 错位相减法
2(S
2n
?S
n
)?S<
br>n
?(S
3n
?S
2n
)
等差中项:a?a
a
n
?
n?1n?1
,
2
n?2,n?
N
*
S
n
=
An
2
?Bn
<
br>(S
2n
?S
n
)
2
?S
n
?(S
3n
?S
2n
)
a
n
2
?a<
br>n?1
?a
n?1
(充分非必要)
n?2,n?N
*
S
n
?A?q
n
?(?A)
2、a与b的等差中
项____
a?b
_______;a与b的等比中项_____
?ab
__
_____。
2
(n?1)
?
S
3、数列的通项公式与前n项和的关系:
a
n
?
?
1
。
*
?
S
n
?S
n?1
(n?2,n?N)<
br>4、
a
n
?
ka
n?1
?
b
(k≠
0,k≠1,b≠0),求通项时,将该式变形
a
n
?
bb
(
n?2,n?N
*
)。
?k(a
n?1
?)
k?1k?
1
5、已知
{
a
n
}
为等差数列,
{b
n
}
为等比数列,则
(1)求数列
{
a
n
?bn
}
前n项和用分组求和法;(2)求数列
{a
n
?b
n
}
前n项和用错
位相减法;
(3)求数列
{
6、
lim
1
}
前n项和用裂项相消法。
a
n
a
n
?1
1
=__0__;
lim
C
=__
C
__;(
其中
C
为常数),
n??
n
n??
|q|?1
?<
br>0
?
limq
n
?
?
1q?1
n??
?
不存在|q|?1或q??1
?
第 13 页
7、无穷等比数列各项和:
S?limS
n
?n??
a
1
,其中公比q的取值范围为
1?q
__
|q
|?1,q?0
__
8、已知
lim
a
n
?
A<
br>,
limb
n
?B
,则
lim(a
n
?b<
br>n
)?A?B
;
lim(a
n
?b
n
)?A
?B
;
n??n??n??n??
lim
a
n
A
?
(b
n
?0,B?0)
n??
bB
n
矩阵行列式公式
1、通过对线性方程组增广矩阵的变
换可以得到线性方程组的解,这里所用的矩
阵变换有下列三种:
(1)互换矩阵的两行;
(2)把某一行同乘(除)以一个非零的数;
(3)某一行乘以一个数加到另一行。
通过上述三种矩阵变换,使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时,其增广矩阵的
最后一个列向量给出了
方程的解。
2、已知矩阵
A
n?k
,矩阵
B
k?m
,矩阵
C
n?m
,如果矩阵C中第i行,第j列的元素
c
ij为A的第i个行向量与B的第j个列向量的数量积,
i?1,2,Ln,j?1,2,Ln
,那
么C=AB。
(1)只有当A的列数和B的行数相等时,矩阵之积AB才有意义; (2)一般的,
AB___?____BA
。(填
?
或
?
)
?
4
??
4812
?
????
例如:若A?
?
123
?
,
B?
?
5
?
,则AB=
?
32
?
,
BA=
?
51015
?
。
?
6
??
61
218
?
????
?
x
??
ab
?
3、矩
阵变换:向量
??
的左边乘一个2阶方阵
??
,就可以得到另一个向量
?
y
??
cd
?
?
x'
??
ab
??
x
?
?
x'
?
,即
?
????
??
,这个矩阵变换把向量
?
xy
?
变换成向量
?
x'y'
?
。
??
y'cdy
y'
??????
?
?
a
1
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
按对角线法则展开
a
1
b
2
c3
?a
2
b
3
c
1
?a
3
b
1
c
2
?a
3
b
2
c
1
?a
2
b
1
c
3
?a
1
b
3c
2
c
3
4、
a
2
a
3<
br>按第一行展开
a
1
b
2
b
3
c
2<
br>c
3
?b
1
a
2
a
3
a
1
c
2
c
3
?c
1
a
2
a
3
b
2
b
3
,
c
2
的代数余子式是
?
b
1
a
3
b
3
a
?
ax?b
1
y?c
1
5、二元一次方程<
br>?
1
记D=
1
a
2
?
a
2
x?b
2
y?c
2
b
1
b
2
,Dx=c
1
c
2
b
1
b
2
,Dy=
a
1
a
2
c
1
c
2
第 14
页
?
x?
?
?
当
D?0时,方程组有唯一解,其解为
?
?
y?
?
?
D
x
D
;
D
y
D
当
D?
0,
且D
x
?
0
或D
y
?
0
时,方程组无解; <
br>当
D?D
x
?D
y
?
0
时,方程组有无数多
解。
?
a
1
x?b
1
y?c
1
z?d<
br>1
?
6、三元一次方程
?
a
2
x?b
2y?c
2
z?d
2
?
ax?by?cz?d
333
?
3
a
1
b
1
b
2
b3
c
1
d
1
b
1
b
2
b3
c
1
a
1
d
1
d
2
d3
c
1
a
1
b
1
b
2
b3
d
1
d
2
d
3
记D=
a
2
a
3
c
2
,Dx=
d
2
c3
d
3
c
2
,Dy=
a
2
c
3
a
3
c
2
,Dz=
a
2
c
3<
br>a
3
?
?
x?
?
?
当
D?0
时,方程组有唯一解,其解为
?
y?
?
?
?
z?
?
D
x
D
D
y
D
D
z
D
;
当
D?0
时,方程组无解或有无穷多解。
7、算法部分请看书
向量复数公式
rrrr
rr
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
,
1、向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2<
br>,y
2
)
,则
a?b?
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
,
rrr
rr
?
a?
(
?
x
1
,
?
y
1
)
,
a?b?
|a||b|cos
?
=
x
1?x
2
?y
1
?y
2
,向量夹角
rr
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b<
br>,
|a|?
x
1
2
?y
1
2
。 <
br>cos
?
?
rr
=
|a||b|
x
1
2
?y
1
2
x
2
2
?y
2
2<
br>rr
2、设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
,则
rrrr
rr
??
ab
?
a?
?
b
?
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
?
a?b?
?|a||b|
rr
rrrr
??
a?b
?
a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
?
|a?b|?|a?b|
rrrr
3、向量
a
与向量b
夹角为锐角
?
a?b?0
且
a
不平行于
b<
br>
r
rr
4、向量
a
在向量
b
上的投影为<
br>|a|cos
?
uuuruuur
5、定比分点公式:
P<
br>1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2<
br>,y
2
)
,
PP
1
?
?
PP
2
,则P坐标为
第 15 页
(
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
,)
。
1?
?
1?
?
6、
?ABC<
br>顶点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y2
),C(x
3
,y
3
)
,则
?ABC
重心坐标为
(
x
1
?x
2
?x
3
y<
br>1
?y
2
?y
3
,)
。
33
7、三角形四心定义:内心:三角形角平分线的交点;
外心:三角形中垂线的交点;
重心:三角形中线的交点;
垂心:三角形高的交点;
三角形四“心”向量形式的充要条件:
设O为
?A
BC
所在平面上一点,
a,b,c
是
A,B,C
对应的边。
uuur
2
uuur
2
uuur
2
(1)
O为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
uuuruuuruuurr
(2)
O为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
(3)
O为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OA?OC
uuuruuur
uuur
ABAC
(4)
AP?
?<
br>(
uuur
?
uuur
)
(
?
?R
),则P的轨迹过三角形的内心
ABAC
uuuruuuruuuruuuruuur
uuuruuur
AB?
?
AC(
?
?0)
OA?tOB
?(1?t)OC
8、A、B、C三点共线
?
(
OA
、
OB
、
?
uuur
OC
的关系式)
9、复数
z?a?
bi,(a,b?R)
,则
|z|
=
a
2
?b
2<
br>;
z
是纯虚数
?
a?0,b?0
。
10、
|z
1
?z
2
|
的几何意义是:
Z
1
,Z
2
两点间的距离。
r
2
r
2
r
2
22
2
11、
|z|
?
|z|
?
z
;<
br>|a|
?
|a|
?
a
(填写
?,?
)
12、
z?R
?
z?z
。
13、负实数
a
的平方根是
??a?i
。
14、实数a
的立方根是
3
a,
15、实系数一
?1?3i
3?a
。
2
元二次方程
ax
2
?bx?c?0
的解
第 16
页
?
?b?b
2
?4ac
______?>0
?
__
2a
?
?
b
x?
?
__?___
____??0
2a
?
?
?b?4ac?b
2
?i
_________??0
?
___
2a
?
16、实系数一元二次
方程
ax
2
?bx?c?0
的两根为
x
1
,x2
,则
?
?
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
|x
1
?x
2
|
=
?
|2b|
?
?
??0
??0
。
直线公式
y?y
2
(x
1
?x
2
)
1、
已知
A
(
x
1
,
y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,则
k
AB
?
1
x
1
?x
2
|AB|?
(x
1
?x<
br>2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
=
1?k
2
|x
1
?x
2
|
=
1?
1
|y
1
?y
2
|
k
2
2、直线的方程:(应用以上直线方程时应考虑其存在的条件)
第
17 页
(1)点方向式:
x?x
0
y?y<
br>0
(过
P(x
0
,y
0
)
,一个方向向量为
(u,v)
,
uv?0
)
?
uv
当
u?
0
时,该直线方程为
x?x
0
;当
v?0
时,该直线方程为
y?y
0
(2)点法向式:
a
(
x?x
0
)
?b
(
y?y
0
)
?
0
(过
P(x
0
,y
0
)
,一个法向量为
(a,b))
(3)点斜式:
y?y
0
?k
(
x?x
0
)
(过
P(x
0
,y
0
)
,斜率为k)
当斜率不存在时,该直线方程为
x?x
0
(4)一般式:
Ax?By?C?0
(A、B不同时为零)
(5)斜截式:
y?kx?b
(斜率为k,在y轴上的截距为b)
当斜率不存在时,该直线方程为
x?0
?
x?x
0
?ut
(6)(理)参数方程:
?
(过
P(x
0
,y
0<
br>)
,一个方向向量为
(u,v)
)
y?y?vt
0
?
?
x?x
0
?tcos
?
(7)(理)参数方程:
?
(过
P(x
0
,y
0
)
,倾斜角为
?
)
y?y?tsin
?
0
?
3、直线斜率
k和倾斜角
?
的关系:
(k?0)
?
arctank
?
?
??
(k不存在)
k?
tan
?
,
?
?[0,)?(,
?
)
;
?
=
?
2
22
?
?
?
?arctank(k?0)
ur
r
4、已知直线的法向量为n?(a,b)
,则该直线的方向向量为
d?
(b,?a)
,斜率为a
k?
?
(
b?0
)
b
5、两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
?
k?k
2
|b?b|
l
1
l
2
?
?
1
;此时两平行直线
l
1
,l<
br>2
间的距离
d?
12
;
1?k
2
?
b
1
?b
2
l
1
?l
2
?
k<
br>1
k
2
??1,或一个为零另一个不存在
。
(2)若
l
1
:
A
1
x?B
1
y?C
1
?
0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?
C
2
?0
第 18 页
l
1
l
2
?
A
1
B
1
?0即A
1<
br>B
2
?A
2
B
1
?
AB
?
22
;此时两平行直线
l
1
,l
2
间的距离
??
?
A
1
C
1
?0即AC?AC
1221?
AC
2
?
2
;
d?
|C
1
?C
2
|
A?B
22
l
1
?l
2
?
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0<
br>。
6、两直线夹角公式:
(1)
tan
?
=
|<
br>k
2
?k
1
|
(
l
1
:y?k1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
)
1?k
1
k
2
(2)
cos
?
=
|A
1
A
2
?B
1
B
2<
br>|
A
1
?B
1
22
A
2
?B
2
22
(
l
1
:
A
1
x?B
1
y?C
1
?
0
,
l
2
:A
2x?B
2
y?C
2
?0
)
7、常见的直线系方程:
(1)定点直线系方程:经过定点
P(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除
直线
x?x
0
),其中k是待定的系数。
(2)共点直线系方程:经过两直
线
l
1
:
A
1
x?B
1
y?C
1
?
0
,
l
2
:A
2
x?B
2y?C
2
?0
的交点的直线系方程为
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(
A
2
x?B
2
y?C
2
)
?
0
(除l
2
),其中?
是
待定的系数。
(3)平行直线系方程:与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程为
Ax?By?C
'
?0(C
'
?C)<
br>。
(4)垂直直线系方程:与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线系方程为<
br>Bx?Ay?C
'
?0
。
8、点
P(x
0
,y
0
)
到直线
Ax?By?C?0
的距离d=
ax
0
?by
0
?c
a?b
22
|Ax
0
?
By
0
?C|
A?B
22
。
9、
?
?<
br>的符号确定了点
P(x
0
,y
0
)
关于直线
l:ax?by?c?0
的相对位
置。在直线同侧的所有点,
?
的符号是相同
的,在直线异侧的所有点,
?
的符号
是相反的。(填写“相同”或“相反”)
10、点
A
(
x
1
,
y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
在直线
Ax?By?C?0异侧
第 19 页
?
(Ax
1
?By
1
?C)(Ax
2
?By
2
?C)?0
。
11、点
A
(
x
1
,
y
1
),
B(x
2
,y
2
)
在直线
Ax?By?C?
0
同侧
?
(Ax
1
?By
1
?C)(
Ax
2
?By
2
?C)?0
直线与圆锥曲线联立勿忘△
1、对于
曲线C和方程
F(x,y)?0
,满足:(1)曲线C上的点的坐标都是方程
(2)以
方程
F(x,y)?0
的解为坐标的点都是曲线C上的点,我
F(x,y)?0
的解;
们就把方程
F(x,y)?0
叫做曲线C的方程,曲线C叫做方程
F
(x,y)?0
的曲线。
2、圆的方程:
(1)圆的标准方程:
(x?a
)
2
?(y?b)
2
?r
2
。
(2)圆的一般方
程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
0
(D
2
?E
2
?4F?0)
。
?
x?a?rcos
?
(3)圆的参数方程:
?
?
?[0,2
?
),
?
是参数
。
y?b?rsin
?
?
(4)圆的复数方程:<
br>|z?z
0
|?r
3、已知点M
(
x
0<
br>,
y
0
)
,圆C:
(x?a)
2
?(y?b
)
2
?r
2
。
点在圆外
?
|CM|?r?(x<
br>0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
;
点在圆上
?
|CM|?r?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
;
点在圆内<
br>?
|CM|?r?(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
。
4、直线
l
:
Ax?
By?C?0
与圆C:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r<
br>2
相交
?
d?
|Aa?Bb?Cc|
a?b
22
?r
;相切
?
d?
|Aa?Bb?Cc|
a?b22
?r
;
第 20 页
相离
?
d?
|Aa?Bb?Cc|
a?b
22
?r
。
5、圆C
1
与圆C
2
位置关系:
外离
?|C1
C
2
|?r
1
?r
2
;外切
?|C
1
C
2
|?r
1
?r
2
;相交
?
|r
1
?r
2
|?|C
1
C
2
|?r1
?r
2
;
内切
?
|
C
1
C
2
|
?
|
r
1
?r
2
|(r
1
?r
2
)
;内含
?|C
1
C2
|?|r
1
?r
2
|(r
1
?r
2
)
。
6、圆的切线方程:
(1)过圆C:
x
2
?y
2
?r
2
上一点M
(x
0
,y
0)
的圆的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2<
br>。
(2)过圆C:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?
r
2
上一点M
(x
0
,y
0
)
的圆的切线
方程为
(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)
2
?r
2
。
(3)过圆C:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
0(
D
2
?E
2
?
4
F?
0)
上一点M
(x
0
,y
0
)的圆
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?D
x0
?xy?y
?E
0
?F?
0
。
22
(4)斜率为k的圆C:
x
2
?y
2
?r
2
的切
线方程为
y?kx?rk
2
?1
。
7、圆的弦AB的长度=
2R
2
?d
2
(圆半径为R,圆心到AB距离为d)
8、椭圆的
定义是平面内到两个定点F
1
,F
2
的距离之和等于常数2a(2a大于|F
1
F
2
|)
x
2
y
2
的点的轨迹
。焦点在x轴的椭圆标准方程为
2
?
2
?
1(
a?b?0)
,长轴长为2a,
ab
短轴长为2b,焦点坐标为
(?a
2
?b
2
,0)
,对称轴为x轴、y轴,对称中心为
(0,0)
。
?
x?acos
?
x
2
y
2
??<
br>1(
a?b?
0)
9、椭圆
2
的参数方程是
?
?
?[0,2
?
),
?
是参数
;
ab
2
y?bsin
?
?
复数方程是
|z?
z
1
|?|z?z
2
|?2a,2a?|Z
1
Z
2
|
。
xy
x
2
y
2
10、点M
(
x
0
,
y
0
)
在椭圆
2
?2
?1(a?b?0)
内部
?
0
2
?
0
2
?
1
。
ab
ab
22
11、双曲线的定义是
平面内到两个定点F
1
,F
2
的距离之差等于常数2a(2a小于
x
2
y
2
|F
1
F
2
|)的点的轨迹。焦点
在x轴的双曲线标准方程为
2
?
2
?
1(
a?
0,
b?
0)
,
ab
第 21 页
实轴长为2a,虚轴长为2b,焦点坐标为
(?a
2
?b
2
,0)
,对称轴为x轴、y轴,
对称中心为
(0,0)
。
12、双曲线<
br>x
2
y
2
?
2
?
1(
a?
0,
b?
0)
2
ab
的参数方程是
?
x?asec
?
?
?[0,2
?
),
?
是参数
;
?
y?btan
?
?
复
||z?z
1
|?|z?z
2
||?2a,2a?|Z
1
Z
2
|
。
数方程是
x
2
y
2<
br>b
13、(1)双曲线
2
?
2
?
1(
a?<
br>0,
b?
0)
的渐进线方程为
y??x
。
ab
a
x
2
y
2
xy
(2)渐进线
为
??
0
的双曲线方程可设为
2
?
2
?
?
,
?
?0
。
ab
ab
14、抛物线的定义是平面
内到一个定点F和到一条定直线
l
(F不在
l
上)距离相
等的点的轨
迹。
pp
15、抛物线
y
2
?2px(p?0)
,焦点坐
标为
(,0)
,准线方程为
x??
,
p
的几何
22
意义是焦点到准线的距离。
16、(1)曲线
F(x,y)?0
关于点M<
br>(
x
0
,
y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
?x,2y
0
?y)?0
。
(2)曲
线
F(x,y)?0
关于直线
x?y?C?0
成轴对称的曲线是
F(
?y?c,?x?c)?0
。
*****(3)曲线
F(x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的点是
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)
。 A
2
?B
2
A
2
?B
2
排列组合二项
式定理概率统计公式
1、排列数公式:
P
n
m
?__n(n?1)
L
(n?m?1)__?__
2、组合数
第 22 页
n!
___(n,m?N
*
,m?n)
(n?m)!
公式:
m
C
n
?_
_
n(n?1)
L
(n?m?1)n!
__?__(n?N
*
,m?N,m?n)
m!m!(n?m)!
mn?mmm?1
?
_
C
n
_
;
C
n
?C
n
3、组合
数性质:
C
n
=
C
n
m
?1
。
4、组合数恒等式:
?1
(1)
C
r
r
?Cr
r
?1
?C
r
r
?2
?L?C
n<
br>r
=
C
n
r
?1
;
012n
?C
n
?C
n
?L?C
n
(2)
C
n
=
2
n
;
024135
?C
n
?C
n<
br>?L
=
2
n?1
=
C
n
?C
n?C
n
?L
。
(3)
C
n
1k
(4
)
nP
n
k
?
?
1
?_P
n
_;
n
m?1m
C
n?1
?_C
n
_.
m
mm
_
C
n
5、排列数与组合数的关系:
P
n
m
?
_
P
m
0n1n?1rn?rrnna?C
n
ab?L?C
n
ab?L?C
n
b(n?N<
br>?
)
,
6、二项式定理
(
a?b
)
n=
C
n
其中通项公式
T
r?1
=
C
n
r
a
n?r
b
r
。
7、二项式系数,当n是偶数
时,中间一项
C
取得最大值,当n是奇数时,中间
两项
C
n?12
n
n
2
n
?C
n?1
2
n
取得最大值。
8、记必然事件为
?
,不可能事件为
?
,随机事件为A
P(?)?_1__;P(?)?_0__;P(A)?__[0,1]___
设E、F是两个随机事件(填写独立、对立、互斥)
(1)满足
E?F??
且
E?F??
的E和F叫做对立事件; (2)(理)E、F不可能同时出现,则E和F叫做互斥事件;此时
P(E?F)?P(E)?P(
F)
(3)(理)E、F互相之间没有影响,则E和F是互相独立事件;此时
P(E
F)?P(E)P(F)
9、(理)概率加法公式:
P(A?B)
=
P(A)?P(B)?P(AB)
。
10、设总体有N个个体,它们分别是
x
1
,x
2
,x
3
,Lx
N
,且它们的平
均数为
?
则总体方差
?
2
=
1
[(x
1
?
?
)
2
?(x
2
?
?
)
2
?L?(x
n
?
?
)
2
]
N
第 23 页
?
叫做总体标准差,反映总体中各个个体之间的差别的大小。
11、抽样方法:
(1)随机抽样:抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被
选入
样本。(抽签、利用随机数抽样等)
(2)系统抽样:把总体的每一个个体编号,按某种相等的间隔抽取样本的方法。
(3)分层抽样:把总体分成若干个部分,然后再每个部分进行随机抽样的方法。
将总体个数N分成k层,每层的个体数分别记作
N
1
,N
2
,N3
,LN
k
,
在每层中分别随机抽取
n
1
,
n
2
,n
3
,Ln
k
个个体组成容量为
n
的样
本。
nn
n
1
n
n
?
2
?
3
?L?
k
?
N
1
N
2
N
3
N
k
N
12、样本为
x
1
,x2
,x
3
,Lx
n
,样本容量为
n
,则 总体均值的点估计值为
x
=
x
1
?x
2
?x<
br>3
?L?x
n
n
1
[(x
1
?x
)
2
?(x
2
?x)
2
?
L
?(x
n
?x)
2
]
n?1
总体标准差的点估计值为
s?
均值的
?
估
计区间为
[x?
?
,x?
?
]
。
13、(理)取离散值的随机变量叫做离散型随机变量,其取值概率可用下表给出
x
i
x
1
x
2
……
x
n
P(
?
?x
k
)
p
1
p
2
……
p
n
随机变量所有的取值
x
1
,x
2
,L,x
n
对应的概率所成的数列p
1
,p
2
,L,p
n
叫做随机变
量的概率分
布律。
随机变量
?
的数学期望为
E
?
=
x
1
p
1
?x
2
p
2
?L?x
n
p
n
随机变量
?
的方差
D
?
=
(x
1
?E
?
)
2
p
1
?(x
2
?E
?
)
2
p
2
?L?(x
n
?
E
?
)
2
p
n
数学期望是随机变量的加权平均数
,表示随机变量取值的平均水平,因此也叫做
随机变量的均值;随机变量的方差或标准差刻画了随机变量
取值的离散程度。
第 24 页
14、(理)把直角坐标系的远点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并且取相同的
单位长度。
设M是平面内的任意一点,它的直角坐标为
(x,y)
,极坐标为
(
?
,
?
)
?
?
2
?x
2
?y
2
?
x?
?
cos
?
?
则
?
,
?
。
y
y?
?
sin
?
?
?
tan
?
?(x?0)
x
?
15、
(理)
?
?
?
0
?a
?
对应的曲线叫做等速螺线(
阿基米德螺线)
立体几何公式
1、
如果直线
l
上有两个点在平面
?
上,那么直线
l
与平面?
的关系是直线
l
在平
面
?
上
如果平面
?
与平面
?
相交,那么它们所有的交点构成的图形是直线
确定平面的条件是不在同一直线上的三点确定一个平面,或直线和直线外一
点确定一个平面,或两条相交
直线确定一个平面,或两条平行直线确定一个平面。
平行与同一直线的两条直线平行。
如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等或互补。
2、空间直
线
l
1
与直线
l
2
所成角是指在直线
l
1
上任取一点M,过M作
l
2
的平行线
l
3
,
l
1
与
l
3
的夹角就是直线
l
1
与直线
l
2
所成角,范围是
[0,
?
2
]
。
空间直线
l
与平面
?
所成角是指当直线
l
与
平面
?
不垂直时,直线
l
与平面
?
所成角是指直线
l
与其在平面上
?
的投影
l'
所成的角,范围是
[0,]<
br>。
2
空间平面
?
1
与平面
?
2所成角是指在两平面的交线
l
上任取一点O,过点O分
别在两平面上作垂线OM、
ON,
?MON
就是平面
?
1
与平面
?
2
所成角,范围是
[0,
?
)
。
?
3、与平面上任何直线都垂直的直线叫做平面的垂线。如果一条直线与平面上的
第
25 页
两条相交直线垂直,那么它与平面上的任意直线都垂直。 4、已知平面
?
与平面
?
互相平行,平面
?
与它们的交
线分别为直线a,b,那么
直线a,b的位置关系是
ab
。
已知直线
l
平行于平面
?
,平面
?
经过
l
且与平面
?
相交于直线
l'
,那么直线
l
与
l'
的
位置关系是
ll'
。
5、请写出定理“在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一
条斜线的射影垂
直,那么它也和这条斜线垂直”的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直。
6、斜二测法规定在x轴方向上线段的长度是其表
示的真实长度的一半,在y轴
和z轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等。
斜二测画法中原图形和直观图的面积比为
1:
2
。
4
7、祖暅原理
是:体积可以看成是由面积叠加而成,用一组平行平面截两个空间
图形,若在任意等高处的截面面积都对
应相等,则两空间图形的体积相等。
8、圆柱是由长方形绕其一条边所在直线旋转形成的,圆锥是由直
角三角形绕其
一条直角边所在直线旋转形成的,球是由半圆绕其直径所在直线旋转形成的。
9、设几何体的底面周长为C,母线或斜高长为
h'
,则圆柱或直棱柱的侧
面积为
1
Ch'
;圆锥或正棱锥的侧面积为
Ch'
;半径为R的球的
表面积为
4
?
R
2
。
2
14
10、柱体
体积公式为
Sh
,锥体体积公式为
Sh
,半径为R的球的体积为
?<
br>R
3
。
33
11、半径为R的球的小圆半径为
r
=
R
2
?d
2
(球心到小圆所在平面距离为d)
12、球面距离是指联结球面上两点的路径中,通过该两点的大圆劣弧的长度。
13、(理)
已知空间中,直线
l
1
,
l
2
方向向量分别为
d<
br>1
,
d
2
,平面
?
、
?
分别法向量为
n
1
,
n
2
,则
第 26 页 <
/p>
uuruur
d
1
?d
2
uruur
|
直线
l
1
与
l
2
所成角
?<
br>满足:
cos
?
?|
u
|d
1
||d
2
|
uurur
d
1
?n
1
urur
|
直线
l
1
与平面
?
所成角
?
满
足:
sin
?
?|
u
|d
1
||n
1|
uruururuur
n
1
?n
2
n
1?n
2
ruur
或
cos
?
?
uruur
平面
?
与平面
?
所成二面角
?
满足:
cos
?
?
u
|n
1
||n
2
||n<
br>1
||n
2
|
uuuurur
AM?n
1
r
|
点A到平面
?
的距离d=
|
u
|n<
br>1
|
第 27 页
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