高中数学公式及知识点归纳

高中数学公式及知识点速记
、函数、导数
1、 函数的单调性
(1)
设
X
i
、
X
2
［a,b］, x
i
X
2
那 么
f(xj f(X
2
)
0 f (x)
在
［a,b］
上是增 函数；
f(xj f(X
2
)
0 f (x)
在
［a,b］
上是减函数。
⑵

设函数
y f(x)
在某个区间内可导，若
f (x)
为减函数。
2、 函数的奇偶性
0,
则
f(x)
为增函数；若
f (x) 0
，则
f(x)
对于定义域内任意的
x
，都有
f( x) f (x)
，贝
y
f (x)
是偶函数；
对于定义域内任意的
x
，都有
f( x) f (x)
，则
f (x)
是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称。
灵犀一指：
若奇函数在
x 0
处有定义，则有
f (X) 0
。
xx
3、对数的性质及运算公式：①
a b log b x
②
log 1
0
,
loga
=
x
:③
aaa

9b
a
'°

a
b
:④
lOg
a
MN log
a
log
a
,
log
a
log
a
M log
a
N
:⑤
N
MNM
log
a
b
n

=
—log
a
b
； ?
log
a
b m
m
log
c
b
log
c
a
lgb
lga
4、函数
y
几何意义
f (x)
在点
x
o
处的导数的
函数
y f (x)
在点
x
o
处的导数是曲线
y f(x)
在
P(x
o
,f(x
。
)
)
处的切线的斜率
的切线方程是
y y
0
f (x
0
)(x x
0
)
。
5、几种常见函数的导数
①
C
0
:②
(x
n
)
x ' x
f (X
0
)
，相应
nx
n 1

:③
(sin x) cosx
:④
(cosx)
'
sinx ?
，⑤
(a
x
)
a
x
ln a
；
1
xln a
:⑧
(ln x)
'
1
x
U
、
’
u v uv
z
c
、
2
(v 0)
。
v v
I I
⑥
(e ) e
；⑦
(log
a

x)
6、 导数的运算法则
(
1
)
(u v) u v
； (2)
(uv) u v uv
； ( 3)
(
一)

7、 会用导数求单调区间、极值、最值
8、求函数
y f x
的极值的方法是:
(1)如果在
X
。
附近的左侧
f x 0
,
解方程
右侧
f
右侧

f X 0
。当■
f X
0

时:
0
X
X
0
, 那么
f X
0
是极大值;
0
, 那么
f X
0
是极小值。
1
,
tan
cos

⑵
如果在
x
0
附近的左侧
f x 0
,
9、同角三角函数的基本关系式：
f
、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
sin
2
cos
2

10、正弦、余弦的诱导公式


k
的正弦、余弦，等于 的同名函数，前面加上把
看成锐角时该函数的符号;


的正弦、余弦，等于 的余名函数，前面加上把
看成锐角时该函数的符

2
号。

11、
和角与差角公式



sin(
sin
cos cos
sin
；



cos(
cos
cos msin
sin

tan
tan

tan(
o

1 mtan tan

12、二倍角公式


sin 2
2sin cos
；
2 . 2
cos sin
c 2

cos2
2ta n
2cos
1 2sin
2



tan 2
1 tan
2
°



2 cos
2
1 cos 2
1 ,cos
2

cos 2
；

2



公式变形.
(
1)
降幂公式2sin 1
cos 2

cin
.2 1
cos2
；


,oil 1


2



2sin cos si n2 ,sin cos -si n2
2



(2)
sin2

1 cos 2
tan

1 cos2
sin 2


13、三角函数的周期 函

数
y sin( x
x ? R及函数
y cos(
,x?
R(A,
3
, 为常数，且 A
M
0,


的周期
T
—；函数
y tan( x )
,
x Z
(A,
3
,为常数，且A
M
0,


0)的周期



14、函数
y sin(
)
的周期、最
单调区间、图象变换

值、

15、辅助角公式：
asin x
bcosx
a
2

b
2

sin(x
)
，其中
tan


16、正弦定理:

2R =

sin A sin B si nC
sin A
—
sin B sin C

17、余弦定理

a
2
b
2

c
2

2bc cos A
2
；
b
c
2
a
2

2ca cos B
；
c

2

a b
2 ,2
2abcosC
o

b
2

2 2
c a
2
2

cos A
a b
2 .2
c
2
o

2bc
；
cosB
a
c
18
2ac
—；
cosC
2ab

、 三角形面积公式

S
1 1

absinC bcsin A
-casi nB
。


19
2 2
2


、 三角形内角和定理
在厶ABC中,有
ABC
(A B)
。
>
0)
3>

20、
a
与
b
的数量积
(< br>或内积
)
：
a b |a| |b|cos
21、 平面向量的坐标运算
uuu uuu UJU
(1)设
A(X
i
, ^1
)
,
B
(X
2
,y
2
)
,则
AB OB OA (x
?
“y
Y
i
)
。

—* —? ―? —p-
⑵

设 ^(为，
％
)
,
b
=
(X
2
,y
2
)
，则
a b
=
xM
2
y”
2
。
(3)设
a
=
(x, y)
，则
a
22、 两向量的夹角公式
Jx
2
y
2
。
a b x
.
x
2
y
.
y
2

,
2
|
a
||
b
|
设
a

=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
, y
2
)
，且
b 0
,则
cos
帀

23、 向量的平行与垂直
—- —? —+
2
f
2 2

W Y
1
(
X
2
Y
2
a b b a
—F —F —F f ■ *
x
1
y
2
x
2
y
1
0
。

a b 0 yy 0
。
a b(a 0)
灵犀一指：
涉及到平面向量问题时，可建坐标系将问题转化坐标借助函数、方程、不等式知识。
三、数列
24、 数列的通项公式与前 n项的和的关系
a
n

n 1
S
n
S
n 1
,n
2
数列
(
｛
a
n
｝
的前
n
项的和为色
a
1
a
?
L
25、等差数列的通项公式：
a
n
a-
i
(n 1)d dn a
1
d (n N )
。

26

、等差数列其前 n项和公式为
s
n


n(a
1
a
n
)
2
na
1

3d
27、等比数列的通项公式
d
2
1
n
(
印

d )n
。

2 2
a
n
4q
n1 1
q
n
(n N
*
)
。
q
a
28、等比数列前n项的和公式为
印
(
1 q )
q

S
n
1 q
n a
1
,q 1

4
1
或
S
n
aa
1 n
q c

1 q
,q


1
。



n ai,q 1
a
n
an b
二②
S
n
aq
n

:②
S
.
A

灵犀一指：
(1)等差数列：①
An
2
Bn
等。
Aq
n

等。

(2)等比数列：①
a
n
*数列重点考查内容：

(1
)求数列的通项：①公式法；②
S
n
法；③累加法、迭乘法；④构造法等。
(2)求数列的前
n< br>项和：①公式法；②裂项相消法；③错位相减法；④分组求和法等。
四、不等式

29、已知
x, y
都是正数，则有
x
一
立。
-


xy
，当
x y
时等号成
(1
)若积
xy
是定值
p
，则当
x y
时和
x y
有最小值
2 p
;
(2
)若和
x y
是定值
s
，则当
x
xy
有最大值一
s
。
1
2
y
时积
4
* .拓展与补充：
(1)重要不等式:
a
2

b
2
2ab
。
，(当且仅当
a
=
b
时，取“=”
(2)均值不等式:
a
2

b
2

_b
2
、
ab
2
1 1
(a, b R
)
。(当且仅当
a
a b
=)
五、解析几何
30、直线的五种方程
(1)
点斜式:
y y
i
k(x xj
(直线
I
过点
R
(
X
1
, y
1
)
，且斜率为
k
)。
(2)
斜截式:
y
kx
b
(b为直线
I
在y轴上的截距
)
°
(3)
两点式:
y
x x
1

y
2
y
1
X
2
(
y
1
y
2)
(
只(知力)
、
卩
2
化，丫
2
)< br>(
人

(4)
截距式:
x
y
x
))。
1
(
a
、
b
分别为直线的横、纵截距，
a
、
b 0
)
。
(5)
般式:
a
b
Ax
By C
0
(其中A、B不同时为0)。
31、两条直线的平行和垂直
若
1
1
: y k
1
x bi
,
l
2
: y k
2
x d °
①
I
1
III
2
k
1
k
2
,b b
2
:②
1
1
I
2
k
i
k
2
1
°
32

、平面两点间的距离公式
d
A,B
J
(
X
2
X
1
)
2

(y
2
yj
2

1 k
AB?
X
2
X
1
(其中
A
(x
1
,y
1
)
,
B
(x
2
,y
2
)
)。
33、 点到直线的距离
d
1

Ax
°
By
0
2

C 1
(
点
p(X
o
, y
o
)
，直线
I
:
Ax By C 0
)。
A B
34、 圆的三种方程
(1) 圆的标准方程 :
(x
a)
2
(y b)
2

2


(2) 圆的一般方程
2
r
;
y
2
Dx Ey F
2 2
:
X
0
(
D E 4F
> 0)；
(3) 圆的参数方程:
X a rcos

。
y
b
rsi n
35、

直线与圆的位置关系

直线
Ax By C
0
与圆
(x a)
2
(y b)
2

r
2
的位置关系有三种
：
d
r
相离
0

d r
相切
0
;
d r
相交
0
。

；



22

弦长
=
2Jr

d

,
Aa Bb C
其中
d

J A
2

B
2

。

灵犀一指:
b
时，取

(1 )过圆外一点(
X
0
,
y
o

)作圆
x
2
y
2
D
X
Ey
2
y
0
0
的切线，切线长为
；
Xo
2

(2)
2
D
X
0

Ey
0
C

；
圆(两圆一般方程分别为
y
当两圆相交时，两
2
2
D
1
X
E
1
y C
1

线的方
0
和
程为
0
(
X
y
2 2
) 公共
X
y
D
2
X

22
(
X
、椭圆、

36
双曲线、抛物线的图形、定义、标准方
椭圆:
2
爲
1(a b 0)
,
a

2
2
2
E
2
y C
2
)
1
，参数方程是
几何性质
b
X
-2
a
2
c
c
2

b
，离心率
e
a cos
y
bsi n
。
2
双曲线:
抛物线:
离。
詁
1(a
>
o
,
b
>
o)
,
2

b
,离心率
e — 1
,渐近线方程是
a
P

,焦点(号
,0)
,准线
X
p
2
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距
37、双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1 )若双曲线方程为
(2)若渐近线方程为
2
X
~~
2
a
2
y_
b
2

2
X
渐近线方程:
~~
2
a
2
2
y
b
2

X
~2
2
双曲线可设为
2
a
y b
0
,焦点在
y
轴上)。
⑶若双曲线与务
2
a
*焦点三角形的面积公式：
(
1
)椭圆：
b
2
tan
X
2
1
有公共渐近线，可设为
a
2
2
y
b
2

0
,焦点在
X
轴上,
S
PF
1
F
2
S
2
(其中
P
为椭圆上任意
亠占
八、、：
一占
八、、：

F
1
PF
2

F
1
PF
2

O
)
⑵双曲线：

b
2
PFF
12
(其中
P
为双曲线上任意
tan —
一
O
)
2

38、抛物线
y
2
2px
的焦半径公式
抛物线
y
2

2px(p
离。)
*弦长公式:
0)
焦半径
| PF | X
。

。(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距
p
2
39、过抛物线焦点的弦长
AB V1 k

X
2

X
1



AB
X
i
X
2
2
-
X
1

1 k

..

(
X
2

X
2
X
1
)
2


2
p
。
4
X
2
X
1

六、立体几何
40、证明直线与直线平行的方法
(1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平行且相等)

41、 证明直线与平面平行的方法
（1） 直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）
（2） 先证面面平行
42、 证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理（一个平面内的
43、 证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
44、 证明直线与平面垂直的方法
（1） 直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内 两条相交直线垂直）
（2） 平面与平面垂直的性质定理 （两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）
45、 证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）
46、 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=
2 rl
，表面积=
2 rl 2 r
2

圆椎侧面积=
rl
，表面积=
rl r
2

两条相交直线分别与另一平面平行）
V
柱体
Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）。
V
锥体
-Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）
3
球的半径是
R
，则其体积
V
4

R
3
,其表面积
S 4 R
2
。
3
47、 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算
48、 点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
49、 直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。 正棱锥的性质：侧
棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
50、 平均数、方差、标准差的计算
平均数
：
X
标准差
：
s
X
1
X
2
n
1

[(x
X
n
x)
2

(
方差
：
S
2

丄
[
(
X
1
X
)
2
(
X
2
X
)
2
(
X
n
X
)
2
]

n
X
2
x)
2

(
X
n
n
X
)
2
]
____
51、回归直线方程
X
i
x y
i
i 1
—2
n
X
i
y
i
nx y
2 2
。
$$ a bx
，其中
i 1
X
i
X
bX
X
i
2
nx
52、独立性检验:
K
2

n (ac bd)
（a b）（c d）（a c）（b d）
53、古典概型的计算（必须要用列举法
重复、不遗漏）。
八、复数
54、复数的除法运算
、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不

a bi (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad )i
c di
(c
di)(c di)
c
1 2
d
2

55
、
复数
z
a bi
的模
|z|
=
|a bi|
=
.a
2

b
2
。
九、参数方程、极坐标化成直角坐标




56、
cos x
2
x y
2 2


,
tan
。
sin y
x
0)
【同步范例】
示例1：(奇函数) 定义在 R上的以
3为周期的奇函数，且
f(2) 0
在区间(0, 6)内整数解

的个数的最小值是( )
A. 2 B . 3 C . 4 D .
5
听课笔记

:
示例2：已知性质
M
：
点P (
x
,
y
)满足
5
x
7
y
，则下列命题正确的序号是 ___________________
x
①点P(0，0)满足性质M②点P(
lg 5
，
lg 7
)满足性质M
；
③点P(
x
，
y
)满足
1 2
y
④所有满足性质 M的点P(
x
，
y
)共线。
听课笔记：
在
［x
0
,］
］上是减函数。
听课笔记：
sin x x, x [0, ],cos x
1 1
3
0

3
(
X
0
[0
,])
，那么
①
f (x)
的最大值为
f (x
0
)
:②
f (x)
的最小值为
f(X
o
)
:③
f (x)
在
［0, X
。
］
上是减函数；④
f(x)
示例4：(导数与函数含参分类讨论)
(
2010佛山市质检)已知函数
f(x) x
2
ax blnx
(实
数
a
，
b
为常数)。
(I)
若
a 1,b 1
，求函数
f (x)
的极值；
(n)
若
a b 2
，讨论函数
f(x)
的单调性。

示例3:(导数与函数)已知函数
f (x)
(2)等比数列
a
n
的前
n
项和
S
n
=
a 2
n
a 2
，则
a
n
= 。
听课笔记：
；

听课笔记:
示例5:(三角函数)已知函数
f(x)
(I )求
f (x)
的最大值和最小值；
(II )若不等式
f (x) m 2
在
x
听课笔记：















2
冗 厂
2sin x . 3cos2x
,
x —
4
n n
4 2
n n
上恒成立，求实数
m
的取值范围。
4 2
1 ——-
示例6：(平面向量)在
ABC
中，若
BC 4
—
cosB —
,则
AB AC
的最小值为 ___________________
2
听课笔记：
示例7：(等差、等比数列的性质)
。
(
1)在等差数列｛
a
n
｝中，已知
S
oo
= 10,
S
o
= 100 —贝
y
S
io
=

示例& (求数列的通项)求下列数列的通项公式:
(1 )已知数列
a
n
满足
a
1
=1,
a
n 1


a
n
3a
n
1
a n 1
(3 )已知数列
a
n
满足
a
1
=1 ,且
a
n
a
n 1
.n
1
- 厂
n

(
2)
，则
a
n
=
0
. n
(4)
数列
a
n

中,

S
a
1

=2，前
n
项和
n

(
M
S
n 1

2)
2
(n
N
*
)
，则数列
a
n
的通项公式

是
0
(5) 已知数列
a
n
满足 =1,
a
n 1
2a
n
2
，则
a
n
=
o
(2 )已知数列
a
n
中，
3
1
=2，且」 ，则
a
n
= _________
a
n 1
n 1

听课笔记:
(6)已知数列 a
n

满足 a
1

=1， .... a
n 1

、a
n

aa
nn 1
，贝
V
a
n = _________________
示例9:(数列求和)
(1)求和:

1
14 4 7
(3n 2) (3n 1)
(2)记等差数列｛
a
n
｝的前n项和为
S
n
，已知
a
2
a
4
6
,
S
4
10
。

(i)
求数列｛
a
n
｝的通项公式;

(n)
令
b
n
a
n
2
n
(n N )
，求数列｛
b
n
｝的前项和
T
n
。

示例10：(不等式)(1) (2010年全国卷
)
已知函数
f(x) Igx
，若
0 a b
且
f(a) f (b)
,
则
a 2b
的取值范围是
()
(A)
(2 2,)
(B)
[2
、
2,

)
(C)
(3, )
(D)

[3,)
a
和
b
(
a
<
b
)，其全程的平均
a b
2
(2) ( 2012陕西卷 ?文) 小王从甲地到乙地的往返时速分别为
时速为

)
A.
a
ab
B .
v= .. ab

C .、、
ab
a b



听课笔记：

2
D . v=

x y
示例11:(圆锥曲线的定义)
(
1)
F
i
、
F
2
是椭圆孑+
^
2
= 1(
a
>
b
>0)的两焦点，
P
是椭圆上任一点，
过一焦点引 RPR的外角平分线的垂线，则垂足
A.圆 B ?椭圆 C ?双曲线
Q的轨迹为
()
D ?抛物线
2 2

（2）已知M（-3, 0）、N（3, 0）、B（1 , 0），动圆C与直线MN切于点B,过M N与圆C相切的
两直线相于点
p，则
点P 的轨迹「程为

)

交
2

方



A.
x
2

y
（
2
1(x 1)
B
2
y
1(x

8

.

x
8
1)

2
2
2
C. x
2

y

1(x 0)
D
.
x
y



8

10
1(x 1)
(3)
ABC
B (-3 , 8), C( -1 , -6
，另一个顶点
A在抛物线
y
2

4x
上移动，则此三角

中,
形重心G的轨迹方程为 _________________ 。
（4）已知圆的方程为
x
2
y
2
4
，若抛物线过点 A（-1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线,
则抛物线的焦点的轨迹方程为 。
听课笔记:
X y
2 2
示例12：（圆锥曲线---焦点三角形）（1）已知
F
i
、
F2
是椭圆
2
1
（
a
>
b
> 0）
a b
的两个焦点，
P
为椭圆
C
上一 点，且
PF
1

PF
2
。
若
PF
1
F
2
的面积为9,则
b=
2
（2）已知双曲线
2
1
、
LULUT uujur

x
y
1
的焦点为F

2

F
2
,点M在双曲线上且
MF
1
MF
2
0,
则点M到
x

轴的距离为（ )
4
A.兰 B .
5
C
.二 D .
3
3

3
听课笔记：


示例13:（圆锥曲线大题 ---弦长、基本量）
已知椭圆的中心在坐标原点
O
，焦点在坐标轴上,
直线
y x 1
与椭圆交于
P
和
Q
，且
OP
OQ
,
PQ
求椭圆方
程。

。

示例14:（圆锥曲线大题--- 定值）如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，0为半圆圆心，且 0D 丄AB,Q为
线段0D的中点，已知|AB|=4 ,曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB| 的值不变。
（I ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C的方程；
II）过点B的直线
I
与曲线C交于M、N两点，与0D所在直线交于E点，
uuuu UJIT UULT uuu
EM
,
MB,EN
2
NB,求证
：
,
2
为定值。
下面命题中真命题的序号是 。