高中数学公式大全(文科)教学文案

高数学公式大全
科)
文中(

高中数学常用公式及结论
1 元素与集合的关系:
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.??A?A??

n
2 集合
{a
1
,a
2< br>,L,a
n
}
的子集个数共有
2
个；真子集有
2< br>n
?1
个；非空子集有
2
n
?1
个；非空的真子集< br>有
2
?
2
个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;

(2) 顶点式
f (x)?a(x?h)?k(a?0)
;（当已知抛物线的顶点坐标
(h,k)
时，设 为此式）

(3) 零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x2
)(a?0)
；（当已知抛物线与
x
轴的交点坐标为
(x1
,0),(x
2
,0)
时，设为此式）

2
（4）切线式：
f(x)?a(x?x
0
)?(kx?d),(a?0)
。（ 当已知抛物线与直线
y?kx?d
相切且切点
n
2
2
的横坐 标为
x
0
时，设为此式）

4 真值表： 同真且真，同假或假

5 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）


原命题
若ｐ则ｑ

互
否


否命题
若非ｐ则非ｑ











互



否


互逆


为

逆


互逆


互

为

逆
否



逆命题

若ｑ则ｐ

互

否



逆否命题

若非ｑ则非ｐ






充要条件： (1)、
p?q
，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

（2）、
p?q
，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；

(3)、p ≠> p ，且
q?p
，则P是q的必要不充分条件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。

6 函数单调性:

增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。

（2 ）、数学符号表述是：设f（x）在x
?
D上有定义，若对任意的
x
1
,x
2
?D,且x
1
?x
2
，都有

f (x
1
)?f(x
2
)
成立，则就叫f（x）在x
?
D上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设 f（x）在x
?
D上有定义，若对任意的
x
1
,x
2
?D,且x
1
?x
2
，都有

f(x
1
)?f(x
2
)
成立，则就叫f（x）在x
?
D上是减函数。D则就 是f（x）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性：

函数 单调

单调性

内层函数

↓

↑

↑

↓

外层函数

复合函数

等价关系：

↓

↑

↑

↑

↓

↓

↑

↓

(1)设
x
1
,x
2
?
?< br>a,b
?
,x
1
?x
2
那么

(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
f(x
1
)?f(x
2< br>)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.

(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x
2
(2)
设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，则f(x)
为减函数.


7函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）

奇函数：

定义：在前提条件下，若有
f(?x)??f(x)或f(?x) ?f(x)?0
，

则f（x）就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .

偶函数：

定义：在前提条件下，若有
f(?x)?f(x)
，则f（x）就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；

（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）

(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对
称 ，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．



8函数的周期性：

定义：对函数f（x），若存在T
?
0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f
（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：

f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；



9常见函数的图像：

y
y
y
y
k<0
o
k>0
xo
a<0
x
y=a
x
01
o
x
y=log
a
x
0a>1

a?b10对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b ?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是
x?
;两个
2< br>b?a
函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.

2
11分数指数幂与根式的性质：


(1)
a
m
n
y=kx+b
a>0
2

y=ax+bx+c

o
1
a>1
x
?< br>n
a
m
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）.

m
n
（2）
a
?
?
1m
n
?
1
n
a
n
（3）
(
n
a
)
?a
.

a
m
（
a?0,m ,n?N
，且
n?1
）.

?
（4）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
?
a,a?0
.

?a,a?0
?
12 指数式与对数式的互化式:

log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

指数性质：

(1)1、
a
?p
?
r
1
mnmn
0
a?(a)

a?1
； （2）、（） ； (3)、
a?0
p
a
sr?s
(4)、
a?a?a
指数函数：

(a?0,r,s?Q)
； (5)、
a?
n
a
m
；

m
n
(1)、
y?a(a?1)
在定义域内是单调递增函数；

（2）、
y?a
(0
?a?
1)
在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点（0 ，1）

对数性质：

(1)
log
a
M? log
a
N?log
a
(MN)
；（2）
log
a
M?log
a
N?log
a
m
n
(3)
log
a
b?m?log
a
b
； (4)
log
a
m
b?
x
x
M
；

N
n
?log
a
b
；

m
?b


(5)
log
a
1?0
(6)
log
a
a?1
； (7)
a
log
a
b



对数函数：

(1)、
y?log
a
x(a?1)
在定义域内是单调递增函数；

（2）、
y?
log
a
x< br>(0
?a?
1)
在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）

(3)、
log
a
x?0?a,x?(0,1)或a,x?(1,??)

(4)、
log
a
x?0?a?(0,1)则x?(1,??)
或
a?(1,??)则x?(0,1)

13对数的换底公式 :
log
a
N?
对数恒等式：
a
n
log
a
N
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).

log
m
a
?N
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
).

n< br>log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
).

m
14对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

M< br>(1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a< br>N
; (2)
log
a
?log
a
M?lo g
a
N
;

N
n
n
n
(3)log
a
M?nlog
a
M(n?R)
; (4) log
a
m
N?log
a
N(n,m?R)
。

m
15 等差数列：

推论
log
a
m
b?
通项公式： （1）
a
n
?a
1
?(n?1)d
，其中
a
1
为首项，d为公差，n为项数，
a
n
为末项。

（2）推广：
a
n
?a
k
?
(
n?k< br>)
d

（3）
a
n
?S
n
?Sn?1
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）

前n项和： （1）
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
；其中
a
1
为首项，n为项数，
a
n
为末项。

2
n(n?1)
d

（2）
S
n
?na< br>1
?
2
（3）
S
n
?S
n?1
?a
n
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）

（4）< br>S
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
（注：该公式对任意数列都适用）

（5） 1+2+3+…+n=
n(n?1)

2

等比数列：

通项公式：（1）
a
n
?a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q(n?N
*
)
，其中
a
1
为首项，n为项数，q为公比。

q
n?k（2）推广：
a
n
?a
k
?q

（3）
a
n
?S
n
?S
n?1
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）
S
n
?Sn?1
?a
n
(n?2)
（注：该公式对任意数列都适用）

（2）
S
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
（注：该公式对任意数列都适用）

?
na
1
?
（3）S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
?
1?q
?
(q?1)
(q?1)



16 同角三角函数的基本关系式 ：
sin
?
?cos
?
?1
，
tan
?
=
17 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

18和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
? cos
?
sin
?
;

22
sin
?
，

cos
?
cos(?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
;

tan
?
?tan
?< br>tan(
?
?
?
)?
.

1
m
tan
?
tan
?
19 二倍角公式及降幂公式

2tan
?
.

sin2?
?2sin
?
cos
?
?
1?tan
2?
1?tan
2
?
cos2
?
?cos
??sin
?
?2cos
?
?1?1?2sin
?
?.

1?tan
2
?
2tan
?
sin2?
1?cos2
?
tan2
?
?
.

tan
?
??
1?tan
2
?
1?co s2
?
sin2
?
1?cos2
?
1?cos2
?

sin
2
?
?,cos
2
?
?
22

20三角函数的周期公式

函数
y?sin(
?< br>x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
2
??
?
T?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且 A≠0)的周期
T?
.

|
?
||
?
|
2
三角函数的图像：
2222
y=sinx
-π2
-2π
-3π2
-π
y< br>1
y=cosx
π2
π
3π2
2π
y
1o
-1
x
-2π
-3π2
-π
-π2
o
-1
π2
π
3π2
2π
x
21 正弦定理 ：
abc
???2R
（R为
?ABC
外接圆的半径）.
< br>sinAsinBsinC
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
?a:b:c?sinA:sinB:sinC




22余弦定理：

a
2
?b
2
?c
2?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.

23面积定理：

111
（1）S?ah
a
?bh
b
?ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高）.

222
111
（2）
S?absinC?bcsinA?casinB
.
222

24三角形内角和定理 ：

在△A BC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B)
.< br>
??
222
25实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

rr
(1) 结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
;

rrr
(2)第一分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
;

r
r
r
r
(3)第二分配律：λ(
a
+
b
)=λ
a< br>+λ
b
.

r
r
r
r
r
r
26
a
与
b
的数量积(或内积)：
a
·
b
=|
a
||
b
|
cos
?
。

27平面向量的坐标运算：

r
rr
r
(1)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
+
b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)< br>.

r
rr
r
(2)设
a
=
(x< br>1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
-
b
=
(x
1< br>?x
2
,y
1
?y
2
)
.

uuuruuuruuur
(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则
A B?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1)
.

rr
(4)设
a
=
(x,y),
?
?R
，则
?
a
=
(
?
x,
?
y)
.

r
rr
r
(5)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x2
,y
2
)
，则
a
·
b
=
( x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.

28 两向量的夹角公式：

r
r
r
x
1x
2
?y
1
y
2
a?b
r
r
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b=
(x
2
,y
2
)
).

cos?
?
r
?
2222
|a|?|b|
x
1
?y
1
?x
2
?y
2

29 平面两点间的距离公式：


d
A,B
?(x
2
? x
1
)?(y
2
?y
1
)
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).

22
rr
r
r
(x,y)< br>(x,y)
bb
30向量的平行与垂直 ：设
a
=
11
,=
22
，且
?
0
，则：

r
r
r
r
a
||
b
?
b
=λ
a
< br>?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.（交叉相乘差为零）

r
r
r
r
r
r
b0
a
?
(
a
?
)
?

a
·
b
=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
. （对应相乘和为零）

31三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC
x?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
的重心的坐标是
G(
1
,)
.

33






32常用不等式：

22
（1）
a,b?R
?
a? b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．

a?b
?
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2 ）
a,b
?
R
?
2
（3）
a?b?a?b?a?b
.

33极值定理:已知
x,y
都是正数，则有

（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；

（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
2
s
.

4

34 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

x?a?x
2
?a
2
??a?x ?a
.

x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.

35斜率公式 ：

y?y
k?21
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.

x
2
?x
1
36 直线的五种方程：

（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直 线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)< br>，且斜率为
k
)．

（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).

y?y
1
x?x
1
?
（3）两点式
(
y
1
?y
2
)(
P
1
(x
1
,y< br>1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)).

y
2
?y
1
x
2
?x
1
两点式 的推广：
(x
2
?x
1
)(y?y
1
)?(y2
?y
1
)(x?x
1
)?0
（无任何限制条件！）< br>
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线 的横、纵截距，
a?0、b?0
)

ab
37夹角公式：

k?k
1
|
. (
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2< br>,
k
1
k
2
??1
)

(1)tan
?
?|
2
1?k
2
k
1
AB? A
2
B
1
|
.(
l
1
:A
1x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A< br>2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1< br>A
2
?B
1
B
2
?0
).

(2)
tan
?
?|
12
A
1
A
2?B
1
B
2
?
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
与l
2
的夹角是.

2
38
l
1
到
l
2
的角公式：

k?k
1
(1)
tan
?
?
2
.(
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)

1?k
2
k
1
AB?A
2< br>B
1
(2)
tan
?
?
12
.(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2?0
).
A
1
A
2
?B
1
B
2
?
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1到l
2
的角是.

2

|Ax
0
?By
0
?C|
39点到直线的距离 ：
d?
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l：
Ax?By?C?0
).

22
A?B
40圆的四种方程：

222
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.

22
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).

2 22
41点与圆的位置关系：点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种：

若
d?(a ?x
0
)?(b?y
0
)
，则
d?r?
点
P
在圆外;

22

d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.

222
42直线与圆的位 置关系：直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关 系有三种
Aa?Bb?C
(
d?
):

22
A?B
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.

43 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半 径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d
，则：

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;