2017高中数学竞赛初赛答案-高中数学最值问题格式
.
一、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
周期、最值、单调区间、图象变换
1、同角三角函数的基本关系式
22
高中数学公式汇总(文科)
6
函数
y?sin(
?
x?
?
)
的
7、辅助角公式
3、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x
)
在
y?asinx?bcosx?a?bsin(x?
?
)
b
2、正弦、余弦的诱导公式
其中
tan
?
?
a
k
?
?
?
的正弦、余弦,等于
?
的同名
函数,前面加
abc
上把
?
看成锐角时该函数的符号;
8、正弦定理
???2R
.
?
sinAsinBsinC
k
?
??
?
的正弦、余弦,等于
?
的余名函数,前
2
9、余弦定理
面加上把
?
看成锐角时该函数的符号。
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
3、和角与差角公式
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
sin(
?
?
?
)?sin
?
c
os
?
?cos
?
sin
?
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?<
br>msin
?
sin
?
;
10、三角形面积公式
t
an
?
?tan
?
111
tan(
?
?
?
)?
.
S?absinC?bcsinA?casinB
.
1
m
tan
?
tan
?
222
4、二倍角公式
sin
?
.
sin
?
?cos?
?1
,
tan
?
=
cos
?
22<
br>P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
,相应的切线方程
是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
4、几种常见函数的导数
'
①
C
?0
;
②
(x)?nx
n'n?1
; ③
(sinx)?cosx
x
'
'
④
(cosx)??sinx
;⑤
(a)?al
na
;⑥
x'
'
(e
x
)
'
?e
x
; ⑦
(log
a
x)?
11
'
;⑧(lnx)?
xlnax
'''
5、导数的运算法则
(1)
(u?v)?u?v
. (2)
(uv)?uv?uv
.
'''
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)<
br>. (3)
()?
2
vv
6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是:解
方程
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?
2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
二、函数、导数
2tan
?
1、函数的单调性
tan2
?
?
.
2
1?tan
?
(1)
设
x
1
、x
2
?[a,b],x
1
?x
2
那么
公式变形:
f(x
1
)?f(x
2
)?
0?f(x)在[a,b]
上是增函数;
1?cos2
?
2cos
2
?
?1?cos2
?
,cos
2
?
?;
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数.
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导,
1?
cos2
?
22
2sin
?
?1?cos2
?
,s
in
?
?;
若
f
?
(x)?0
,则
f(x)
为增函数;
2
若
f
?
(x)?0
,则
f(x)
为减函数.
5、三角函数的周期
函数
y?sin(
?
x?
?
)
,x∈R及函数
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的
x
,都有
f(?x)?f(x)
,则
f(x)
y?cos(
?
x?
?
)
,x∈R(A,ω,
?
为常数,且A≠0,
是偶函数;
2
?
ω>0)的周期
T?
;函数
y?tan(
?
x?
?
)
,
对于定义域内任意的
x
,都有
f(?x
)??f(x)
,则
f(x)
?
是奇函数。
?
奇函数的图
象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对
x?k
?
?,k?Z
(A,ω,<
br>?
为常数,且A≠0,ω>0)
2
称。
?
的周期
T?
.
?
'.
11、三角形内角和定理
在△ABC中,有
A?B?C?
?
?
C?
?
?(A?B)
f
?
?
x
?
?0
.当
f
?
?
x
0
?
?0
时
:
(1) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?
x
?
?
0
,
那么
f
?
x
0
?
是极大值;
(2) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?
x
?
?0<
br>,
那么
f
?
x
0
?
是极小值.
三、不等式
1、已知
x,y
都是正数,则有
当
x?y
时等号成立。
若积
xy
是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
;
x?y
?xy
,
2
四、复数 与平面向量
1、复数的除法运算
r
r
a
·<
br>b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
.
五、数列
1、数列的通项公式与前n项的和的关系
.
a?bi(a?bi)(c?di)
??
.
c?di(c?di)(c?d
i)
n?1
?
s
1
,
a
n
?
?
s?s,n?2
?
nn?1
(
数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
).
2、等差数列的通项公式
六、解析几何
1、直线的五种方程
(1)点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过
点
P
1
(x
1
,y
1
)
,
且斜率
为
k
).
(2)斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
xy
(3
)截距式
??1
(
a、b
为横、纵截距,
a、b?0
) <
br>ab
Ax?By?C?0
2、复数
z?a?bi
的模
|z|<
br>=
|a?bi|
=
a
2
?b
2
.
3、
a
与
b
的数量积(或内积)
a?b?|a|?|b|cos
?
4、平面向量的坐标运算
(1)设
u
AB
uur
A
(x
1<
br>?
u
,
OB
u
y
ur
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
,则
?
u
OA
uur
?(x
2
?x
1
,y
2
?y<
br>1
)
.
(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
,则
a?b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
.
(3)设
a
=
(x,y)
,则
a?x
2
?y
2
5、两向量的夹角公式
设a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
,且
b?0
,则
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
2222
1
?y
1
?x
2
?y
2
6、向量的平行与垂直
ab
?
b?
?
a
?x
1
y2
?x
2
y
1
?0
.
a?b(a?0)
?
a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
17平面向量的坐标运算
(1)设
a
r
=
(x
r
1
,y
1
)
a
r
,
b
=
(x
2
,y
2
)
,则
+
b
r
=<
br>(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
).
(2)设
a
r
=
(x
r
1
,y<
br>1
)
,
b
=
(x
2
,y
a
r
-
b
r
2
)
,则
=
(x
1?
(4)设
a
r
x
2
,y
1
?y2
)
.
=
(
r
(5)设
a
r<
br>x,y),
?
?R
,则
?
=
(x
r
a
=
(
?
x,
?
y)
.
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
,则
'.
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn
?a
1
?d(n?N
*
)
;
3、等差数列其前n项和公式为
s
n(a
1
?a
n
)n(n?1)
n
?
2
?na
1
?
2
d
?
d
2
n
2
?(a
11
?
2
d)n
.
4、等比数列的通项公式
an?1
?
a
1
n
?a
1
q
q
?q
n
(n?N
*
)
;
5、等比数列前n项的和公式为
?
a
1
(1?q
n
)
s
?
,q?
1
n
?
?
1?q
.
?
?
na
1
,q?1
(4)一般式 (其中A、B不同时为0).
2、两条直线的平行和垂直
若l
1
:y?k
1
x?b
1
,
l
2:y?k
2
x?b
2
①
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2<
br>;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
3、平面两点间的距离公式
d
A,B
?(
x
2
?x
1
)
2
?(y
2
2
?y
1
)
(A
(x
1
,y
1
),B
(x
2
,y
2
)
).
4、点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|A
2
?B
2
(点
P(x
0
,y<
br>0
)
,直线
l
:
Ax?By?C?0
).
5、 圆的三种方程
(1)圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
(2)圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
>0).
(3)圆的参数方程
?
?
x?a?rcos
?
y?b?rsin
?
.
?
6、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的
位置关系有
三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
弦长=
2r
2
?d
2
其中
d?
Aa?Bb?C
A
2
?B
2
.
.
七、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、
八、立体几何
几何性质
1、证明直线与直线平行的方法
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
22
(1)三角形中位线 (2)平行四边形(一组对边平
xy
222?
?
2
?x
2
?y
2
1、椭圆:
2
?
2
?1(a?b?0)
,
a?c?b
,
行且相等)
?
?
cos
?
?x
?
ab
?
?
y
2、证明直线与平面平行的方法
?
sin
?
?y
?
?
x?acos
?
c
?
tan
?
?(x?0)
x
?
(1)直线与平面平
行的判定定理(证平面外一条直线
离心率
e??1
,参数方程是
?
.
a
?
y?bsin
?
与平面内的一条直线平行)
(2)先证面面平行
十、概率统计
x
2
y
2
222
2、双曲线:
a
2<
br>?
b
2
?1
(a>0,b>0),
c?a?b
,
3、证明平面与平面平行的方法
离心率
e?
c
a
?1
,渐近线方程是
y??
b
平面与平面平行的判定定理(一个平面内的两
条相交
a
x
.
....
直线分别与另一平面平行)
4、证明直线与直线垂直的方法
3、抛物线:
y
2
?2px,焦点
(
p
2
,0)
,准线
x??
p
2
。
转化为证明直线与平面垂直
抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.
5、证明直线与平面垂直的方法
(1)直线与平面垂直的判定定理(直线与平面内两条
..
4、双曲线的方程与渐近线方程的关系
相交
..
直线垂直)
x
2
y
2
(2)平面与平面垂直的性质定理(两个平面垂直,一
(1)若双曲线方
程为
a
2
?
b
2
?1
?
个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面)
6、证明平面与平面垂直的方法
渐近线方程:
y??
b
a
x
.
平面与平面垂直的判定定理(一个平面内有一条直线与
另一个平面垂直)
(2)若渐近线方程为
y??
b
a
x
?
7、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=
2
?
rl
,表面积=
2
?
rl?2
?
r
2
双曲线可设为
x
2
y
2
2
?
2
??
.
圆椎侧面积=
?
rl
,表面积=
ab
?
rl?
?
r
2
x
2
y
2
V?
1
柱体
(3)若
双曲线与
3
Sh
(
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的
高).
a
2
?
b
2
?1
有公共渐近线,
x
2
y
2
V
1
锥体
?
可设为
3
Sh
(
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高
).
a
2
?
b
2
??
(
??0
,焦点在x轴上,
??0
,焦点在y轴上).
球的半径是
R
,体积
V?
4
3
?
R
3
,表面积
S?4
?
R
2
.
8、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面
5、抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
角的定义及计算 <
br>抛物线
y
2
?2px(p?0)
焦半径
|PF|?x
p
9、点到平面距离的计算(定义法、等体积法)
0
?
2
.
10、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行
(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。)
且相等,与底面垂直。
正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面
6、过抛物线焦点的弦长
AB?x
1
?x
2
?p
正多边形的中心。
'.
1、平均数、方差、标准差的计算
平均数:
x?
x
1
?x
2
??x
n
n
方差:
s
2
?
1
[(x
2<
br>n
1
?x)?(x
2
?x)
2
??(x
n<
br>?x)
2
]
标准差:
s?
1
[(x
2
n
1
?x)
2
?(x
2
?x)??(x
n
?x)
2
]
2、回归直线方程
$$
y?a?bx
,
其中
.
、独立性检验
K
2
?
n(ac?bd)2
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
4、古典概型的计算(必须要用
列举法
...
、列表法
...
、树状图
...
的方法把所有
基本事件表示出来,不重复、不遗漏)
3
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