(完整版)文科高中数学公式大全(超全完美)

托普高考教育
高
一、函数、导数
中文科数学公式总结
1 ．元素与集合的关系:
x?A?x?C
U
A
,
x?C
UA?x?A
.
??A?A??

集合
{a
1,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2
n 个；真子集有
2
n
?1
个；非空子集有
2
n
?1
个；非空的真子集有
2
n
?2
个.
2. 真值表
常见结论的否定形
ｐ ｑ 非ｐ
真 真 假
真 假 假
假 真 真
假 假 真
原结论
是
都是
大于
小于
对所有
x
，成立
反设词
不是
不都是
不大于
不小于
存在某
x
，不成立
ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真
真
真
假
真
假
假
假
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个
式;
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
至多有
n
个
p
或
q

p
且
q

?p
且
?q

?p
或
?q
对任何
x
，不成立 存在某
x
，成立
四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）
原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ
3. 充要条件（记
p
表示条件，
q
表示结论）
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
4. 全称量词
?
表示任意，
?
表示存在；
?
的 否定是
?
，
?
的否定是
?
。
例：
?x?R,x?x?1?0
的否定是
?x?R,x?x?1?0

5. 函数的单调性
第1页（共9页）
22

托普高考教育
(1)设
x
1
、x2
?[a,b],x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是增函数；
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[a,b]
上是减函数. (2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，若
f
?
(x)? 0
，则
f(x)
为增函数；若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
6. 复合函数
y?f[g(x)]
单调性判断步骤：
（1）先求定义域 （2）把原函数拆分成两个简单函数
y?f(u)
和
u?g(x)

（3）判断法则是同增异减（4）所求区间与定义域做交集
7. 函数的奇偶性
(1)前提是定义域关于原点对称。
(2)对于定义域内任意的
x
，都有< br>f(?x)?f(x)
，则
f(x)
是偶函数；
对于定义域内任意的
x
，都有
f(?x)??f(x)
，则
f(x)
是奇函数。
(3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
8．若奇函数在
x
=0处有意义，则一定存在
若奇函数在
x
=0处无意义，则利用
f
?
0
?
?0
；
f
?
?x
?
??f
?
x
?
求解；
nn?1
9．多项式函数
P(x)?a
n
x?a
n?1x???a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数
P(x)是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
10. 常见函数的图像：
11. 函数的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(a?x)? f(a?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是
x?a

(3)对于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b? x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是
x?
12. 由
a?b
;
2
f(x)
向左平移一个单位得到函数
f(x?1)

f(x)
向上平移一个单位得到函数
f(x)?1

由
f(x)
向右平移一个单位得到函数
f(x?1)

由
由
f(x)
向下平移一个单位得到函数
f(x)?1

若将函数y?f(x)
的图象向右移
a
、再向上移
b
个单位，得到函数< br>y?f(x?a)?b
的图象；若将曲线
f(x,y)?0
的图象向右移
a
、向上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象 .
13. 函数的周期性
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f (x)
的周期
T??a?
；
（2）
f(x?a)??f(x)，则
f(x)
的周期
T?2?a?

（3）
f(x?a )?
1
，则
f(x)
的周期
T?2?a?

f(x )
（4）
f(x?a)?f(x?b)
,则
f(x)
的周期
T??a?b?
；
14. 分数指数
(1)
a
m
n?
n
a
m
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）.
第2页（共9页）

托普高考教育
(2)< br>a
?
m
n
?
1
a
m
n
?< br>1
n
a
m
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
15．根式的性质
n
（1）
(
n
a
)
?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； < br>当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
16．指数的运算性质
(1)
a?a?a
rs
rsr?s
?
a,a?0
.
?a,a?0
?
(a?0,r,s?Q)
(2)
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)

rrr
(3)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
(4)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
17. 指数式与对数式的互化式:

log
a
N?b?a
b
?N< br>(a?0,a?1,N?0)
.

18．对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
rs
M
?log
a
M?log
a
N
; < br>N
n
n
n
(3)
log
a
M?nloga
M(n?R)
; (4)
log
a
m
N?log
a
N(n,m?R)
m
(1)
log
a
(MN)?log
a
M?loga
N
; (2)
log
a
（5）
log
a
a?1
（6）
log
a
1?0

log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
19. 对数的换底公式 :
log
a
N?
倒数关系式：
log
a
b?log
b
a?1

log
a
N
20. 对数恒等式：
a?N
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
).
21. 零点存在定理：
如果函数
f(x)
在区间（a, b）满足
f(a)?f(b)?0
，则
f(x)
在区间（a, b）上存在零点。
22. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程
是
y?y
0
?f
?
(
x
0
)(
x?x
0
)
.
23. 几种常见函数的导数
'n?1
(1)
C
?
?0
（C为常数） (2)
(x
n
)?nx(n?Q)

(3)
(sinx)
?
?cosx
(4)
(cosx)
?
??sinx

1
1
(6)
(log
a
x)
?
?

x
xlna
xxxx
(7)
(e)
?
?e
(8)
(a)
?
?alna
.
(5)
(lnx)
?
?
24. 导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)

（1）
(u?v)?u?v
（2）
(uv)?uv?uv
（3）
()?
vv
2
''''''
25. 复合函数的求导法则
''''
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有 导数
u
x
?
?
(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
y
u
?f(u)
，则
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托普高考教育
''''''
复合函数
y ?f(
?
(x))
在点
x
处有导数，且
y
x
?y
u
?u
x
，或写作
f
x
(
?
(x))?f(u)
?
(x)
.
26. 求切线方程的步骤：
① 求原函数的导函数
f
?
(x)

② 把横坐标
x
0
带入导函数
f
?
(x)
，得到
f
?< br>(x
0
)
，则斜率
k?f
?
(x
0
)

③ 点斜式写方程
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)

27. 求函数的单调区间
① 求原函数的导函数
f
?
(x)

② 令
f
?
(x)?0
，则得到原函数的单调增区间。
② 令
f
?
(x)?0
，则得到原函数的单调减区间。
28. 求极值常按如下步骤：
① 求原函数的导函数
f
?
(x)
；
② 令方程
f
?
(x)
=0的根，这些根也称为可能极值点
③ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。(可以通过列表法) 如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，
右侧
f
?
(x)?0
，则
f
(
x
0
)
是极大值；如 果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极小值.
④ 将极值点带入到原函数中，得到极值。
29. 求最值常按如下步骤：
① 求原函数的极值。
② 将两个端点带入原函数，求出端点值。
③ 将极值与端点值相比较，最大的为最大值，最小的为最小值。
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
30. 同角三角函数的基本关系式 sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
ta n
?
=
31. 正弦、余弦的诱导公式
sin
?
.
cos
?
奇变偶不变，符号看象限。
32. 和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
;
cos(
?
??
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin< br>?
;
tan
?
?tan
?
tan(
??
?
)?
.
1
m
tan
?
tan
?
33. 二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
第4页（共9页）

托普高考教育
tan2
?
?
2tan
?
.
2
1?ta n
?
2cos
2
?
?1?cos2
?
,cos2
?
?
1?cos2
?
;
2
公式变形：

1?cos2
?
2sin
2
?
?1?cos2< br>?
,sin
2
?
?;
2
34. 三角函数的周期 < br>函数
y?sin(
?
x?
?
)
，周期
T?< br>2
?
?
2
?
函数
y?cos(
?
x ?
?
)
，周期
T?
；
?
?
函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
周期
T
?.
?
35. 函数
y?sin(
?
x?
?
)
的周期、最值、单调区间、图象变换（熟记）

36. 辅助角公式（化一公式）
；
y?asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x ?
?
)
其中
tan
?
?
36. 正弦定理
b

a
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
37. 余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
38. 三角形面积公式
S?
111
absinC?bcsinA?casinB
.
222
39. 三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C??
?C?
?
?(A?B)

sin(A?B)?sinC

40.
a
与
b
的数量积(或内积)
41. 平面向量的坐标运算
uuuruuuruuur
（1）设A
(x
1
,y
1
)< br>，B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA ?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
（3）设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a ?b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
（4）设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)< br>，则
a?b
=
x
1
x
2
?y
1y
2
.
(5)设
a
=
(x,y)
，则
a?
（2）设
a< br>=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a?b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
x
2
?y
2

42. 两向量的夹角公式
设a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b?0
，则
43. 向量的平行与垂直
ab
?
b?
?
a

?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0.
第5页（共9页）

托普高考教育
a?b(a?0)

?
a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
44. 向量的射影公式
若，
a
与
b
的夹角为
?
，则
b
在
a
的射影为
|b|cos
?

三、数列
45. 数列
{a
n
}
的通项公式与前n项的和的关系（递推公式）
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?L ?a
n
).
a
n
?
?
s?s,n?2
?
nn?1
46. 等差数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N*
)
；
47. 等差数列
{a
n
}
的前n项和公式
s
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1< br>?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
48. 等差数列
{a
n
}
的中项公式
49. 等差数列
{a
n
}
中，若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

50. 等差数列
{a
n
}
中，
s
n
，< br>s
2n
?s
n
，
s
3n
?s
2n< br>成等差数列
51. 等差数列
{a
n
}
中，若
n< br>为奇数，则
s
n
?na
n?1

2
52. 等比数列的通项公式
a
n
?a
1
q
n?1
?a
1
n
?q(n?N
*
)
；
q
53. 等比数列前n项的和公式为
?
a
1
(1?q< br>n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1,q?1
?
?
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1?
na,q?1
?
1
?
1
当
q?1
时 ，
a
n
?na
1

54. 等比数列
{a
n
}
的中项公式
55. 等比数列
{an
}
中，若
m?n?p?q
，则
a
m
?an
?a
p
?a
q

56. 等比数列
{an
}
中，
s
n
，
s
2n
?s
n
，
s
3n
?s
2n
成等比数列
四、均值不等式
?
57. 均值不等式：如果
a,b?R
，那么
a?b?2ab
。“一正二定三相等”
x?y
?xy
，当
x?y
时等号成立。
2
（1） 若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；
1
2
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
s
.
4
五、解析几何
58. 已知
x,y
都是正数，则有
59. 斜率的计算公式
第6页（共9页）

托普高考教育
（1）
k?tan
?
（2）
k?
60. 直线的五种方程
y
2
?y
1
A
（3）直线一般式中
k??

x
2
?x
1
B
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
（4）截距式
??
1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
61. 两条直线的平行
若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x ?b
2

（1）
k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;

（2）
k
1
,k
2
均不存在
62. 两条直线的垂直
若
l
1
:y?k
1
x?b
1，
l
2
:y?k
2
x?b
2

（1）
k
1
k
2
??1
.
（2）
k
1
?0,k
2
不存在
63. 平面两点间的距离公式
d
A,B
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(
A< br>(x
1
,y
1
)
，
B
(x
2
,y
2
)
).
64. 点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P( x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C ?0
).
65. 圆的三种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
22
222
DE
圆心坐标
(?,?)
半径=
22
66. 直线与圆的位置关系
2
D
2
?E
2
?4F

2
22< br>直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系 有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
. 弦长=
2r
2
?d
2

Aa?Bb?C
其中
d?
.
22
A?B
67. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
x
2
y
2
a
2
c
222
椭圆：
2
?
2
?1(a? b?0)
，
a?c?b
，离心率
e??1
.准线方程：
x? ?

c
ab
a
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托普高考教育
x
2
y
2
a
2c
222
双曲线：
2
?
2
?
1
(a> 0,b>0)，
c?a?b
，离心率
e??1
，准线方程：
x??< br>
c
a
ab
渐近线方程是
y??
2
b
x
.
a
抛物线：
y
?
2px
，焦点
(
pp
,0)
,准线
x??
。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的 距离.
2
2
68. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2?0?
y??x
.
ab
ab
a
x
2
y
2
xy
b
(2)若渐近线方程为
y??x
?< br>??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
. ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共 渐近线，可设为
2
?
2
??
（
??0
，焦点在x
轴上，
??0
，焦点
abab
在
y
轴上）.
69. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
抛物线
y?2px (p?0)
焦半径
|PF|?x
0
?
70. 过抛物线焦点的弦长< br>AB?x
1
?
2
2
p
.（抛物线上的点到焦点距离等 于它到准线的距离。）
2
pp
?x
2
??x
1
? x
2
?p
.
22
六、立体几何
71. 证明直线与直线平行的方法
（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等）
72. 证明直线与平面平行的方法
（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）
（2）先证面面平行
73. 证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）
．．．．
74. 证明直线与直线垂直的方法
转化为证明直线与平面垂直
75. 证明直线与平面垂直的方法
（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）
．．．．
（2 ）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）
76. 证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）
77. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=
2
?
rl
，表面积=
2
?
rl?2
?
r

2
圆椎侧面积=
?
rl
，表面积=
?
rl?
?
r

2
1
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高）.
3
1
V
锥体
?Sh
（
S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高）.
3
第8页（共9页）

托普高考教育
球的半径是
R
，则其体积
V?
4
3
?
R
,其表面积
S? 4
?
R
2

3
78. 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算（构造二面角的平面角）
79. 点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
80. 直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
81. 平均数、方差、标准差的计算
x
1
?x
2
??x
n
1
2222
方差:
s?[(x
1
?x)?(x
2
?x)??(x
n?x)]

n
n
1
[(
x
1
?x)
2
?
(
x
2
?x
)
2
??
(
x
n
?x
)
2
]

标准差:
s?
n
平均数:
x?
82. 回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
i?1i?1
?
b??
nn
$$
2
y?a?bx
，其中
?
22
.
x?xx?nx
??
??
ii
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx
n(ac?bd)
2
2
83. 独立性检验
K?

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
84. 古典概型的计算（必须要用列举法
、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏）
．．．．．．．．．
85. 几何概型的计算，转化为体积，面积，长度之比。
八、复数
86. 复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
87. 复数
z?a?bi
的模
|z|
=
|a?bi|< br>=
a
2
?b
2
.
88. 复数
z?a?bi
的共轭复数
89. 复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
90. 复数的周期
T?4

ac?bdbc?ad
?
2
i(c?di?0)

222
c?dc?d
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