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高中数学公式大全最新整理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-14 12:05
tags:高中数学公式

2019高中数学期末考试卷-高中数学a版教师用书有哪些


高中数学公式大全(简化版)
目录
2 函数 …………………………………………………………………………………………… 02
3 导数及其应用……………………………………………………………………………………07
4 三角函数 ………………………………………………………………………………………09
5 平面向量…………………………………………………………………………………………10
6 数列 ……………………………………………………………………………………………11
7 不等式……………………………………………………………………………………………12
8 立体几何与空间向量 …………………………………………………………………………13
9 直线与圆 ………………………………………………………………………………………16
10圆锥曲线 ………………………………………………………………………………………18
11排列组合与二项式定理 ………………………………………………………………………19
12统计与概率 ……………………………………………………………………………………20
13复数与推理证明 ………………………………………………………………………………23
§02. 函数
1. 函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
?
?
a,b
?
,x
1
?x
2< br>那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)?
?0?
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f( x)在
?
a,b
?
上是增函数;
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
x
1
?x
2
对于 复合函数的单调性:
f
?
(即
f
?
x
?

g
?
x
?
的增减性相同,那么符合函数就是增函数(同增);
?
g
?
x
?
?
?
同增异减

f
?
x
?

g
?
x
?
的 增减性相反,那么符合函数就是减函数(异减))
(2)设函数
y?f(x)
在某个 区间内可导,如果
f
?
(x)?0
,则
f(x)
为增函数; 如果
f
?
(x)?0
,则
f(x)
为减函
数.
2.函数的奇偶性
判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。
f(x)偶函数?
f(?x)?f(x)
?
f(x)图象关于
y
轴对称 < br>f(x)奇函数
?
f(?x)??f(x)
?
f(x)图象关于原点对 称


注:①f(x)有奇偶性
?
定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义
?
f(0)=0
对于复合函数:
f
?
?
g
?
x
?
?
?
内偶则偶,两奇为奇
奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么
这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
若 函数
y?f(x)
是偶函数,则
f(x?a)?f(?x?a)
;若函数y?f(x?a)
是偶函数,则
f(x?a)?f(?x?a)

对 于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是函数
x?
两个函数
y?f(x?a)

y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
a?b
;
2
a?b
对称.
2

f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
(,0)
对称;

f(x)??f(x?a)
,则函数
y?f(x)
为周期为
2a
的周期函数.
nn?1多项式函数
P(x)?a
n
x?a
n?1
x?L?a
0
的奇偶性
a
2
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项的系数全为零.(常数按偶次项看待)
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项的系数全为零.
3. 函数的周期性

T

f(x)
周期
?f(x?T)?f(x)
恒成立(常数
T?0

(1)
f(x)?f(x?a)
,则
f(x)
的周期T=a; (2)
f(x)?f(x?a)?0


f(x?a)?
1
1
(f(x)?0)
, 或
f(x?a)??
(f(x)?0)
,
f(x)
f(x)
4. 函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
? f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?
两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(x)< br>和
y?f
?1
a?b
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)

2
(x)
的图象关于直线y=x对称.
若将函数
y ?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位,得到函数
y?f (x?a)?b
的图象;若将曲线
f(x,y)?0


图象右移
a
、上移
b
个单位,得到曲线
f(x?a,y?b)?0< br>的图象.
互为反函数的两个函数的关系
?1
f(a)?b?f(b)?a
.

几中常见抽象函数原型
(1)
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.正比例函数f(x)?cx

(2)
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0< br>.指数函数
f(x)?a
x

(3)
f(xy)?f(x)? f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.对数函数
f(x)?log
a
x

(4)
f(xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
.幂函数
f(x)?x
?

'
(5),
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)

f(0)?1,lim
x?0
g(x)
?1
. 余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx

x
5. 二次函数
解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)零点式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
p,q
上的最值只能在
x??
如下:
2
2
2
??
b
处及区间的两端点处取得,具体
2a
b
b
?
?
p,q
?
,则
f(x)
min
?f (?),f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?

2a
2a
b
?
?
p,q
?

f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?

f(x)
min
?
min
?
f(p),f(q)
?
.
x??
2a
b
?< br>?
p,q
?
,则
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
, (2)当a<0时,若
x??
2a
b
?
?
p,q
?
,则
f(x)
max
? max
?
f(p),f(q)
?

f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
.
x??
2a
(1)当a>0时,若
x??
6. 指数函数与对数函数
y=a与y=log
a
x
x



定义域、值域、过定点、单调性


注:y=a与y=log
a
x图象关于y=x对称(互为反函数)
分数、指数、有理数幂
x

a?
m
n
1
n
a
m

a?0,m,n?N
,且
n?1
);a
?
?
m
n
?
1
a
m
n
a?0,m,n?N
?
,且
n?1
).
?
a,a?0
.
(a)?a


n
为奇数时,
a?a
; 当
n
为偶数时,
a?|a|?
?
?a,a?0
?
n
n
n
n
n
n
有理指数幂的运算性质

a?a?a
rs
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
.

(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
rs
(ab)
r
? a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
.
注: 若a>0 ,p是一个无理数,则a表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂
都适用.
指数式与对数式的互化式

p
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
(
a?0,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
log
ab
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
n
推论
log
a
m
b?
对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;
(2)
log< br>a
M
?log
a
M?log
a
N
;
N
n
(3)
log
a
M?nlog
a
M(n?R )
.
注:性质
log
a
1?0

log
a
a?1

a
log
a
N
?N


常用对数lgN?log
10
N

lg2?lg5?1

自然对数
lnN?log
e
N

lne?1

7. 函数图像与方程
描点法
函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调)
取特殊点如零点、最值点等
图象变换
平移:“左加右减,上正下负”
y?f(x)?y?f(x?h)
??y?f(
伸缩:
y?f(x)????????
对称:“对称谁,谁不变,对 称原点都要变”
x轴
y?f(x)???y??f(x)
y轴
y?f(x) ???y?f(?x)

每一点的横坐标变为原来的
?

1
?
x)

y?f(x)?
原点
???y??f(?x)
注:
y?f(x)
直 线x?a
?
y?f(2a?x)

翻折:
y?f(x)?y?|f(x)|
保留
x
轴上方部分,
并将下方部分沿
x
轴翻折到上方
y
y=f(x)
y
y=|f(x)|
a
o
b
c
x
a
o

b
c
x

y?f(x)?
y?f(|x|)
保留
y
轴右边部分,
并将右边部分沿
y
轴翻折到左边
y
y=f(x)
y
y=f(|x|)
a
o
b
c
x
a
o

b
c
x

零点定理

f(a)f(b)?0,则
y?f(x)

(a,b)
内有零点
(条件:
f(x)

[a,b]
上图象连续不间断)


注:①
f(x)
零点:
f(x)?0
的实根
②在
[a,b]
上连续的单调函数
f(x)

f(a)f(b)? 0


f(x)

(a,b)
上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点---
f(a)f(b)?0

§03. 导数及其应用
1.导数几何意义

f(x)
在点x
0
处导数
f
'
(x
0
)
:指点x
0
处切线 斜率
2.导数公式
(C)
?
?0
(C为常数)
(x
n
)
?
?n?x
n?1

(sinx)
?
?cosx

(e
x
)
?
?e
x

(lnx)
?
?1x
'

(u?v)
'
?u?v
'
.

?
?
u
?
u'v?uv'
?
v
?
?=
v
2

y
'''
x
=
y
u
.
u
x

3.导数应用
单调性:如果< br>f
'
(x)?0
,则
f(x)
为增函数
如果
f
'
(x)?0
,则
f(x)
为减函数
极大值点:在x
0
附近
f(x)
“左增右减↗↘”
极小值点:在x
0
附近
f(x)
“左减右增↘↗”

f
'
(x
0
)?0

求极值:
f(x)
定义域→
f
'
(x)

f
'
(x )
零点→列表:
x
范围、
f
'
(x)
符号、f(x)
增减、
f(x)
极值
求[a,b]上最值:
f(x)
在(a,b)内极值与?(a)、?(b)比较
4.三次函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d

f

(x)?3ax
2
?2bx?c

图象特征:“↗↘↗” “↘↗↘”
a?0,??0

a?0,??0

(cosx)
?
??sinx

(uv)
'
?u
'
v?uv
'
.


极值情况:
??0?f(x)
有极值
??0?f(x)
无极值
5.定积分
定理:
性质:
?< br>?
?
b
a
b
f(x)dx?F(b)?F(a)
其中
F
'
(x)?f(x)

kf(x)dx?k
?
f(x)dx
(k为常数)
a
b< br>a
b
a
f(x)?g(x)dx?
?
f(x)dx?
?
g(x)dx

aa
bb
应用:
② 直线x=a,x= b,x轴及曲线y=f(x)(f(x)≥0)围成曲边梯形面积
S?
?
b
a
f(x)dx

②如图,曲线y
1
=f
1
(x), y
2
=f
2
(x)在[a,b]上围成图形的面积S=S
曲边梯形A MNB
-S
曲边梯形DMNC


?
b
a
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx
a
b







§04. 三角函数

1.特殊角的三角函数值
?

sin
?

0
0
?

6
1

2
3

2
3

3
?

4
2

2
?

3
3

2
1

2
?

2
1
?

0
3
?

2
?1

cos
?
1
2

2
1
0
?1

0
tg
?
0
3

0


2.弧长
l?
?
?r
扇形面积
S?lr

1
2
3. 同角三角函数的基本关系式
sin
2
??cos
2
?
?1

tan
?
=
si n
?

tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
4. 正弦、余弦的诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限);符号:“一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5. 和差角公式

sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?< br>msin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
6. 二倍角公式
tan
?
?tan
?
.
1
m
tan?
tan
?
sin2
?
?sin
?
cos?
.
cos2
?
?cos
2
?
?si n
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2?
.
tan2
?
?
2tan
?
.
1?tan
2
?
b
,a要为正 ).
a
7. 辅助角公式
22

asin
?
?bcos
?
=
a?bsin(
?
?
?
)
(其中
tan
?
?
8. 正弦定理
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
9. 余弦定理
b
2
?c
2< br>?a
2
a?b?c?2bccosA
;(求边) cos
A
=(求角)
2bc
222
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
10. 面积定理
111
ah
a
?bh
b
?ch
c

h
a
、h
b
、h
c
分别表示 a、b、c边上的高).
222
111
(2)
S?absinC?bcsi nA?casinB
.
222
(1)
S?
11.三角函数的图象性质
y=sinx y=cosx y=tanx





单调性:
(?,)

(0,
?
)

(?,)


值域
奇偶
周期
对称轴
中心
注:
k?Z

sinx
[-1,1]
奇函数

cosx
[-1,1]
偶函数

tanx

奇函数
π


??
22
??
22
x?k
?
?
?
2

x?k
?
?
k
?
,0
?

?
?
2?k
?
,0
?

?
k
?
2,0
?

§05. 平面向量
1. 实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,量那么
结合律:λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb.
2.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a+b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a-b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
uuuruuuruuur
(3)设A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
,则< br>AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x,y),
?
?R
,则
?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5 )设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2< br>,y
2
)
,则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
3.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ.
a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
4. 对空间任意两个向量a、b(b≠0 ),a∥b
?
存在实数λ使a=λb.
uuu ruuur
uuuruuuruuur
P、A、B
三点共线
?
AP| |AB
?
AP?tAB
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
uuuruuur
r
uuur
uuu
AB||CD
?
AB

CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD< br>且
AB、CD
不共线.
5. 两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
6. 向量的平行与垂直


设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,且b
?
0,则
平行:
ab?
a?
?
b
?
x
1
y
2
?x
2
y
1

b?0

垂直:a?b?a?b?0
?x
1
x
2
?y
1
y2
?0

7. 三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别 为
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)

C(x
3
,y
3
)
, 则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
§06. 数 列
1. 等差数列
定义:
a
n?1
?a
n
?d
通项:
a
n
?a
1
?(n?1)d

求和:
S
n
?
中项:
b?
n(a
1
?a
n)
1

?na
1
?n(n?1)d

2
2
a?c

a,b,c
成等差)
2

性质:若
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
2. 等比数列
定义:
a
n?1< br>?q(q?0)
a
n
通项:
a
n
?a
1q
n?1


?
na
1
(q?1)
?
n
求和:
S
n
?
?
a1
(1?q)

(q?1)
?
?
1 ?q
中项:
b?ac

a,b,c
成等比)
性质:若
m?n?p?q

a
m
?a
n
?a
p
?a
q

3. 数列通项与前
n
项和的关系
?
s
1
?a< br>1
(n?1)
a
n
?
?
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
s?s(n?2)
n?1
?
n
2
?a
1
?a
2
?L?a
n
).
4. 数列求通项常用几种方法
累加、累乘、取倒数、待定系数、构造辅助数列。(特征根法和不动点法)
5. 数列求和常用方法
公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法


§07. 不 等 式
1.常用不等式:
22
(1)
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)
a,b?R
?< br>?
(3)
ab?(
a?b
?ab
(当且仅当a=b时取“=” 号).
2
a?b
2
)
(当且仅当a=b时取“=”号).

2
备注:求最值条件是“一正、二定、三相等”

2. 柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(a c?bd)
2
,a,b,c,d?R.

(5)
a?b?a?b?a?b
.
3. 极值定理
已知
x,y
都是正数,则有
(1)若积
xy
是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
; < br>(2)若和
x?y
是定值
s
,则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
2
s
.
4
2
2
2
4. 一元二次不等式
ax?bx?c?0(或? 0)
(a?0,??b?4ac?0)
,如果
a

ax?bx?c< br>同号,则其解集在两
2
根之外;如果
a

ax?bx?c异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
5. 含有绝对值的不等式
当a> 0时,有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a

x??a
.
6. 无理不等式
(1)
?
f(x)?0
?
f(x )?g(x)?
?
g(x)?0
. (2)
?
f(x)?g( x)
?
?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?[g(x)]
2
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0

?
.
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?
(3)
7. 指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,


a
f(x)
?ag(x)
?
f(x)?0
?
?f(x)?g(x)
;
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x )?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?
f(x)?0
?
?f (x)?g(x)
;
log
a
f(x)?log
a< br>g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?
§08. 立体几何与空间向量
1.三视图 正视图、侧视图、俯视图(长对正、高平齐、宽相等)
''
2.直观图 斜二测画法
?X
'
OY
=45
0
平行X轴的线段,保平行和长度 平行Y轴的线段,保平行,长度变原来一半
3.体积与侧面积
V

=S

h V
锥 =
1
4
3
S

h V
球=
πR
3
3
2
S
圆锥侧
=
?
rl
S
圆台侧
=
?
(R?r)l
S
球表
=
4
?
R

4.公理与推论 确定一个平面的条件:
①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点
③两相交直线 ④两平行直线
公理:平行于同一条直线的两条直线平行
定理:如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
5. 平行的判定与性质
线面平行:
a

b

b?
?
,a?
?
?
a

?

a

?

a?
?
,
?
?
?
?b?
a

b

面面平行:
?
a
b
?
A B

?

AC

?
?
平面
ABC

?

?

?

a?
?
?
a

?

6.垂直的判定与性质
线面垂直:
p?AB,p?AC?p?面ABC

面面垂直:
a?
?
,a?
?
?
?
?
?


如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直;
若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三垂线定理:
O
P
PO?
?
,AO?a?PA?a

PO?
?
,PA?a?AO?a

A
?
a
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直逆定理?
7.空间角、距离的计算
异面直线所成的角 范围(0°,90°] 平移法:转化到一个三角形中,用余弦定理
直线和平面所成的角 范围[0°,90°] 定义法:找直线在平面内射影,转为解三角形
二面角 范围[0°,180°]
定义法:作出二面角的平面角,转为解三角形
点到平面的距离
体积法--用三棱锥体积公式
注:计算过程,“一作二证三求”,都要写出
8.立体几何中的空间向量解法
r
法向量求法:设平面ABC的法向量
n
=(x,y)
??
n?AB,n?AC

??
n?AB?0,n?AC?0
r
解方程组,得一个法向量
n


A

B


?

异面直线所成角
C

rr
rr
|a?b|
cos
?
?|cosa,b|
=rr
?
|a|?|b|
oo
|x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
|
x? y?z?x
2
?y
2
?z
2
2
1
2
1
2
1
222

rr
b
所成角,
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方向向量)线面角: (其中
?

0?
?
?90
)为异面直线
a,
AB?n
AB?n

直线与面的夹角
sin
?
?cos?n,AB??
r(其中
n
是平面
?
的法向量,
AB
是平面
?< br>的一条斜线,
AB
与平面
?
所成的角为
?

uruur

二面角:设
n
1
,n
2
是面
?
,
?
的法向量,二面角
?
?l?
?
的大小为< br>?
,则
cos
?
?cos?n
1
,n
2?

?cos?n
1
,n
2
?

ru ur
即二面角大小等于
?n
1
,n
2
?

?
??n
1
,n
2
?

点到面距离:

< p>
r

n
是平面
?
的法向量,
AB
是平 面
?
的一条斜线段,且
B?
?

9.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距
离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边 形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的
比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于 顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
10. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的
直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
a
的正四面体的内切球的 半径为
66
a
,外接球的半径为
a
.

124
§09. 直线与圆
1. 倾斜角 范围
?
0,
?
?

注:直线向上方向与
x
轴正方向所成的最小正角,倾斜角为
90?
时,斜率不存在
2. 斜率公式

k?tan
?
?
y
2
?y
1

P
1
(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)
).
x
2
?x
1
3. 直线的五种方程
(1)点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
,且斜率为
k
).
(2)斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
(3)两点式 < br>y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2< br>)(
P
?
1
(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距,
a、b?0
)
ab
(4)截距式
(5)一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
4. 两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k
2
x?b
2


l
1
||l
2
?k
1
?k
2< br>,b
1
?b
2
;

l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.


(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1< br>?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、 B
2
都不为零,

l
1
||l
2
?A
1
B
1
C
1
; ②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0

??
A
2
B
2
C
25.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程:经过定点
P
0(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),其中
k
是待定的
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数. 系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
(2)共点直线系方程:经过两直线l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0< br>,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2< br>?0
的交点的直线系方程为
(A
1
x?B
1
y?C< br>1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
),其中λ是待定的系数.
(3)平行直 线系方程:直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(< br>?
?0
),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线
Ax?By?C?0
(A≠0,B≠0)垂直的直线 系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是
参变量.
6. 距离公式
两点间距离:|AB|=
(x
1
?x
2
)?( y
1
?y
2
)
22

d?
点到直线距离:
7. 圆的四种方程
|Ax
0
?B y
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l

Ax?By?C?0
).
(1)圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
22
(2)圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
>0).
22
D
2
?E
2
?4F
?
DE
?
圆心
?
?,?
?
半径
r?

2
2
??
2
(3)圆的直径式方程
(x?x
1< br>)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0< br>(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)

B (x
2
,y
2
)
).
8. 圆系方程
22(1)过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程是
x
2
?y
2?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数.
2222
(2) 过圆
C
1
:
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点的 圆系方程是
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1< br>y?F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D< br>2
x?E
2
y?F
2
)?0
,λ是待定的系数.


222
9. 点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种

d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
,则
22
d?r?

P
在圆外;
d?r?

P
在圆上;
d?r?

P
在圆内.
10. 直线与圆的位置关系
222
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r< br>的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
11. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
,O
2
,半径分别 为r
1
,r
2

O
1
O
2
?d< br>
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
12. 圆的切线方程
已知圆
x
2
?y
2
?r
2

2
①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
.
13. 直线截圆所得弦长(垂径定理)

2
AB?2r
2
?d
2

备注:其中d表示圆心到弦AB的距离,r表示圆的半径。

§10. 圆锥曲线方程

x
2
y
2
1. 椭圆 |PF
1
|+|PF< br>2
|=2a(2a>|F
1
F
2
|) 标准方程:
2
?
2
?1(a?b?0)
.
ab
a
2
a
2
焦半径:
PF
1
?e(x?)

PF
2
?e(?x)
.
c
c
中心原点 对称轴? 焦点F
1
(c,0)、F
2
(-c,0)
顶点: (±a,0),(0, ±b) 范围: -a?x?a,-b?y?b
其中2a、2b表示长轴、短轴长


xxyy
x
2
y
2
椭圆的切线方程
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2< br>?1
.
ab
ab
x
2
y
2
2. 双曲线:|PF
1
|-|PF
2
|=±2a(0<2a<|F
1F
2
|) 标准方程:
2
?
2
?1(a?0,b?0)

ab
a
2
a
2
焦半径:
PF
1?|e(x?)|

PF
2
?|e(?x)|
.
c
c
中心原点 对称轴? 焦点F
1
(c,0)、F
2
(-c,0)
顶点: 双曲线(±a,0) 范围:|x| ? a,y?R
其中2a、2b双表示实轴、虚轴长
双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1)若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程:
2
?
2
?0?
y??x
.
a
ab
ab
xy
xy
b
(2)若渐近线方 程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
a
ab
22
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2?
2
?1
有公共渐近线,可设为
2
?
2
??< br>(
??0
,焦点在x轴上,
??0
,焦点在y
abab
轴上).
x
2
y
2
xxyy
双曲线的切线方程
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0< br>,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
3. 抛物线
y
2
?2px
的焦半径公式
顶点(原点) 对称轴(x轴) 开口(向右) 范围x?0 离心率e=1
pp
,0)
准线
x??

22

p
焦半径
CF?x
0
?
.
2
pp
焦点弦长
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
焦点
F(
抛物线的切线方程
y
2
?2p x
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)

4. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y< br>2
|1?cot
2
?
(弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,由方

?
?
y?kx?b
2
消去y得到
ax?bx?c?0

??0
,
?
为直线
AB
的倾斜角,
k
为直 线的斜率).

?
F(x,y)?0
§11. 排列组合、二项定理


1. 分类计数原理(加法原理)
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.
分步计数原理(乘法原理)
N?m
1
?m
2
?L?m
n
.
2. 排列数公式
m
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
A
n
n!
*
.(
n

m
∈N,且
m?n
).
(n?m)!
注:规定
0!?1
.
3. 组合数公式
C
m
n
=
m
A
n
n(n?1)?(n?m ?1)
n!
*
n
==(∈N,
m?N
,且
m?n< br>).
m
1?2???m
m!?(n?m)!
A
m
组 合数的几个性质
012rnn
mm
n?mm?1
m
(1)
C
n
=
C
n
(2)
C
n
+
C
n
=
C
n?1
. (3)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n???C
n
?2
.
0
注:规定
C
n
?1
.
4.排列组合应用题
原则:分类后分步,先选后排,先特殊后一般
解法:相邻问题“捆绑法”,不相邻“插空法”,特殊元素“定位法”,复杂问题“排除法”
n0n1n?12n?22rn?rrnn
5. 二项式定理
(a?b)? C
n
a?C
n
ab?C
n
ab???C
n
ab???C
n
b

rn?rr
1,2?,n)
. 通项公式
T
r?1
?C
n
ab
(r?0,
备注:
C
n
---第
r?1
项二项式系数
r
性质:所有二项式系数和为
2

中间项二项式系数最大
n
§12 概率与统计
1.古典概型:
P(A)?
m
A包含的基本事件个数
()
总的基本事件个数
n
求基本事件个数:列举法、图表法
2.几何概型:P
?
A
?
?
A的区域长度(面积或体积)

区域总长度(面积或体积)
注:试验出现的结果无限个
3.常用抽样(不放回)
简单随机抽样:逐个抽取(个数少) 系统抽样:总体均分,按规则抽取(个数多)
分层抽样:总体分成几层,各层按比例抽取(总体差异明显)


4.用样本估计总体
众数: 出现次数最多的数据
中位数:按从小到大,处在中间的一个数据(或中间两个数的平均数)
1
n
1
n
2
平均数:
x?
?
x
i
方差
S?
?
(x
i
?x)
标准差
s
极差S=最大数-最小数

n
i?1

n
i?1
5.频率分布直方图
小长方形面积=组距×
频率
=频率 各小长方形面积之和为1
组距
众数—最高矩形中点的横坐标 中位数—垂直于
x
轴且平分直方图面积的直线与
x
轴交点的横坐标
6. 茎叶图:由茎叶图可得到所有的数据信息如
众数、中位数、平均数等

7. 互斥事件A,B分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B).
n
个互斥事件分别发生的概率的和 P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A< br>n
).
8. 独立事件A,B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率 P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
).

9.常用分布
两点分布
B(1,P)

E(?)?p

D(?)?p(1?P)

kkn?k
二项分布
B(n,P)

E(?)?np

D(?)?np(1?P)

P(??k)?
C
n
pq

超几何分布
H(N,M,n)

E(?)?n?
10. 数学期望
MMN?n
M
(1?)?

D(?)?n?

P(??k)?

N
NNN?1
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?L?x
n
P
n
?L

11. 方差
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?L?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?L

标准差
??
=
D
?
.
12.方差与期望的关系
222
D
?
?E
?
2
?
?
E?
?
.
?
1
12. 正态分布密度函数
f(x)?e
2
??
(x?
?
)
2
2
?
22
,x?(??,??)

性质:曲线在
x
轴上方、关于
x?
?
对称,曲线与
x
轴围成面积为1



频率组距
总体密度曲线
变量在区间
?
a,b
?
内取值的概 率等于
密度曲线与
x
轴、直线
x?a

x?b

所围成曲边梯形的面积

单位
O
a
b


y
标准正态分布曲线
f?x? =
??
1
-
?e
2??
??
x
2
图中阴影部分面积
2
表示概率
P(x?x
0
)



x
13.标准正态分布
N(0,1)


x
E
(?)?0,
D
(
X
)?1

P(??a)?
?
(a)
可查表
P(a???b)?
?
(b)?
?
(a)

a?0,
?
(a)?1?
?
(?a)

a?0,
?
(0)?0.5

正态分布
N(
?
,
?
2
)

E
(?)?
?
,
D
(
X
)?
?
2

P(??a)?F(a)?
?
(
a?
?
)

?
P(a???b)?F(b)?F(a)


P(X?a)?1?P(X?a)
.

14. 回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?i?1i?1
?
b??
nn
$$
2
.

y?a?bx
,其中
?
x
i
?x
?
x
i< br>2
?nx
2
?
??
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx


§13复数与推理证明
1.复数概念
复数:
z?a?bi
(a,b
?R)
,实部a、虚部b
分类:实数(
b?0
),虚数(
b?0
),复数集C
注:
z
是纯虚数
?a?0

b?0

共轭复数:
z?a?bi

模:
z?a
2
?b
2

z?z?z

2
复平面:复数z对应的点
(a,b)

2. 复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.(
a,b,c,d?R

3.复数运算
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
n
ac?bdbc?ad
?
2
i(c?di?0)
.
222
c?dc?d
4k?r
2
乘方:
i??1

i?
i?i
r

4. 合情推理
类比:特殊推出特殊 归纳:特殊推出一般
演绎:一般导出特殊(大前题→小前题→结论)
5.直接与间接证明
综合法:由因导果
比较法:作差—变形—判断—结论
反证法:反设—推理—矛盾—结论
分析法:执果索因

分析法书写格式:
要证A为真,只要证B为真,即证……,
这只要证C为真,而已知C为真,故A必为真
注:常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程


5.数学归纳法:
(1)验证当n=1时命题成立,
(2)假设当n=k(k?N* ,k?1)时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立
注:用数学归纳法证题时,两步缺一不可,归纳假设必须使用









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