高中数学公式(精简)

高中数学常用公式及常用结论



1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
.
5．集合
{a
1
,a
2
,L,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1
个；非空的真子集有
2
n
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)零点式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
12.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
13.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论
是 不是 至少有一个
都是 不都是 至多有一个
大于 不大于 至少有
n
个
小于 不小于 至多有
n
个
对所有
x
， 存在某
x
，
成立 不成立
p
或
q

对任何
x
，
不成立
存在某
x
，
成立
p
且
q

2
2
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有（
n?1
）个
至少有（
n?1
）个

?p
且
?q


?p
或
?q


14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

15.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
??
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f( x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b< br>?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)? 0
，则
f(x)
为减函数.
17.如果函数
f(x)
和< br>g(x)
都是减函数,则在公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减< br>函数; 如果函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都 是减函数,则复合函数
y?f[g(x)]
是增函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的 图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图
象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数 的图象关于y轴对称，那么这个函
数是偶函数．
30.分数指数幂
(1)
a
(2)
a
m
n
?
?
1
n
?< br>m
n
a
m
1
m
n
（
a?0,m,n ?N
，且
n?1
）.
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
?
a
31．根式的性质
n
（1）
(
n
a)?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； < br>当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
32．有理指数幂的运算性质
(1)
a?a?a
rs
r
rs
rr
rsr?s
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
(a?0,r,s?Q)
.
(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
p
注： 若 a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都 适用.
33.指数式与对数式的互化式

log
a
N?b?a< br>b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.

34.对数的换底公式
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
n
推论 log
a
m
b?log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1,

N?0
).
m
log
a
N?
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;

M
?log
a
M?log
a
N
;
N
n
(3)
log
a
M?nlog
a
M( n?R)
.
(2)
log
a
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值y
，有
y?N(1?p)
x
.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?L ?a
n
).
a
n
?
?
?
s
n< br>?s
n?1
,n?2
40.等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N
*
)< br>；
其前n项和公式为
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d

22
d1
?n
2
?(a
1
?d)n
.
22
s
n
?
41.等比数列的通项公式
a
n?a
1
q
n?1
?
a
1
n
?q(n? N
*
)
；
q
其前n项的和公式为
?
a
1
(1?q
n
)
,q?1
?
s
n
?
?
1?q

?
na,q?1
?
1
?
a< br>1
?a
n
q
,q?1
?
或
s
n?
?
1?q
.
?
na,q?1
?
1
45.同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan< br>?
=
46.正弦、余弦的诱导公式
sin
?
，
ta n
?
?cot
?
?1
.
cos
?
(n为偶数)

(n为奇数)
(n为偶数)

(n为奇数)
n
?
n
?
?
(?1)< br>2
sin
?
,
sin(?
?
)?
?

n?1
2
?
(?1)
2
cos
?
,
?

?
n
?
?
(?1)cos
?
,

cos(?
?
)?
?
n?1
2
?
(?1)
2
sin
?
,
?
n
2
47.和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
c os
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
;

tan
?
?tan
?
.
1mtan
?
tan
?
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
?sin
2
?(平方正弦公式);
tan(
?
?
?
)?
cos(< br>?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.
asin
?
?b cos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象 限决
b
定,
tan
?
?
).
a
48.二倍角公式
sin2
?
?2sin
?
cos
?
.
c os2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2 cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
2tan
?
.
tan2
?
?
2
1?ta n
?
50.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x ?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，
ω＞0)的周期
T ?
2
?
?
；函数
y?tan(
?
x?
?< br>)
，
x?k
?
?
?
2
,k?Z
(A ,ω,
?
为常数，且A
≠0，ω＞0)的周期
T?
51.正弦定理
?
.
?
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
52.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
53.面积定理
111
ah
a
?bh
b
?ch< br>c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a 、b、c边上的高）.
222
111
（2）
S?absinC?bcsin A?casinB
.
222
（1）
S?
54.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)< br>
?
C
?
A?B
?2C?2
?
?2(A?B )
.
??
222
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任一向量，有且
只有一对实数λ
1
、λ
2
，使得a=λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．

不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b?
0，则a
P
b(b
?
0)
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
53.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ．
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
uuuruuuruuur
(3)设A
(x
1
,y< br>1
)
，B
(x
2
,y
2
)
,则AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x,y),
?
?R
，则< br>?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5) 设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2,y
2
)
，则a·b=
(x
1
x
2
? y
1
y
2
)
.
63.两向量的夹角公式
(2) 设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2,y
2
)
，则a-b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
cos
?
?x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
64.平面两点间的距离公式
uuuruuuruuur

d
A,B
=
|AB|?AB?AB

?(x
2?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
65.向量的平行与垂直
设a=< br>(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
A||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x< br>2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0
.
67.三角形的重心坐标公式
△ ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐
标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3,)
.
33
22
71.常用不等式：
（1）
a,b ?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
333
（3）
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

（2）
a,b?R
?
?
（4）柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
72.极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值< br>2p
；
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
推广 已知
x,y?R
，则有
(x?y)?(x?y)?2xy

（1）若 积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大；
22
1
2
s
.
4

当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
（2）若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小；
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
73.一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)(a ?0,??b?4ac?0)
，如果
a
与
22
ax
2
?bx?c
同号，则其解集在两根之外；如果
a
与
ax
2
?bx?c
异号，则其解集在两根之
间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
；
x?x
1
,或 x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a ?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
77.斜率公式
k?
y
2
?y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
78.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
79.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
? k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1< br>.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B< br>1
、B
2
都不为零,
A
1
B
1
C
1
；
??
A
2
B
2
C
2
②
l
1
?l
2?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
①
l
1
||l
2
?
83.点到直线的距离
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).

84.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l: Ax?By?C?0
，则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区 域是：
若
B?0
，当
B
与
Ax?By?C
同号时 ，表示直线
l
的上方的区域；当
B
与
Ax?By?C
异号时 ，表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若
B?0，当
A
与
Ax?By?C
同号时，表示直线
l
的右方的 区域；当
A
与
Ax?By?C
异号时，表示直线
l
的左方的 区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85.
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2)?0
或
?0
所表示的平面区域

设曲线
C:( A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B< br>2
y?C
2
)?0
（
A
1
A
2B
1
B
2
?0
），则
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C2
)?0
或
?0
所表示的平面区域是：
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y ?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分；
(A
1
x? B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C< br>2
)?0
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
＞0).
22
222
?
x?a?rcos
?
.
?
y?b?rsin
?
（4）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
（3）圆的参数方程
?
88.点与圆的位置关系
点
P(x
0
,y
0< br>)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
222
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点< br>P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a )?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
Aa?Bb?C
其中
d?
.
22
A?B
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
．
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上，则切线只有一条， 其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
? ?F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点
22

x
0
x?y
0
y?
的切点弦方程．
②过圆外一点 的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
，再利用相切 条件求k，这时必
有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆
x?y?r
．
2
①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x< br>0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k< br>的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
2
.
?
x?acos
?
x
2
y
2
92.椭圆
2
?
2< br>?1(a?b?0)
的参数方程是
?
.
ab
?
y? bsin
?
x
2
y
2
93.椭圆
2
?2
?1(a?b?0)
焦半径公式
ab
a
2
a< br>2
PF
1
?e(x?)
，
PF
2
?e(?x )
.
cc
94．椭圆的的内外部
x
2
y
2（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
ab
97.双曲线的内外部
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
x
2
y
2
(1)点P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2< br>?1(a?0,b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
ab
98 .双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
. ab
ab
a
x
2
y
2
xy
b
(2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2< br>y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
? ?
（
??0
，焦点在x
abab
轴上，
??0
，焦 点在y轴上）.
2
100. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
p
2
抛物线
y?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?
.
2
pp
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
2y
?
2
101.抛物线
y?2px
上的动点可设为P
( ,y
?
)
或
P(2pt
2
,2pt)或
P
(x
o
,y
o
)
，其中
2p
2
y
o
?2px
o
.
b
2
4ac?b
2
)?
(a?0)
的图象是抛物线：102.二次函数< br>y?ax?bx?c?a(x?
（1）顶
2a4a
b4ac?b
2b4ac?b
2
?1
,)
；
,)
；点坐标为
( ?
（2）焦点的坐标为
(?
（3）准线方程是
2a4a2a4a
4a c?b
2
?1
y?
.
4a
2
109．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
146.球的半径是R，则
4
3
?
R
,
3
2
其表面积
S?4
?
R
．
其体积
V?
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线
长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
148．柱体、锥体的体积
66
a
,外接球的半径为
a
.
124
1
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高 ）.
3
1
V
锥体
?Sh
（
S
是锥体的底 面积、
h
是锥体的高）.
3
178.回归直线方程

< br>nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
?
b?
i?1
n
?
i?1
n
$$
2
.
y?a?bx
，其中
?
x
i
?x
?
x
i
2
?nx
2
?
??
?
i?1 i?1
?
?
a?y?bx
179.相关系数

r??
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
?
(x?x)
?
(y?y)
2
ii
i?1i?1
nn

?
2
?
?
x?x
??
y? y
?
ii
i?1
n
(
?
x
i
2< br>?nx
2
)(
?
y
i
2
?ny
2< br>)
i?1i?1
nn
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
191. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f (x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
192.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数）.
'n?1
(2)
(x
n
)?nx(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5)
(l nx)
?
?
11
e
x
；
(loga)
?< br>?log
a
.
xx
xxxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
（1）
(u?v)?u?v
.
（2）
(uv)?uv?uv
.
'''
'''
193.导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （3 ）
()?
2
vv
196.判别
f(x
0
)
是极大（小）值的方法
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时，
（1）如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是极大值； （2）如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
，右侧
f
?
(x)?0
，则
f(x
0
)
是 极小值.
197.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
198.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
|z|
=
| a?bi|
=
a
2
?b
2
.
199.复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bdbc?ad
?
2
i (c?di?0)
.
222
c?dc?d
200.复数的乘法的运算律 < /p>

对于任何
z
1
,z
2
,z
3
?C
，有
交换律:
z
1
?z
2
?z
2< br>?z
1
.
结合律:
(z
1
?z
2
)?z
3
?z
1
?(z
2
?z
3
)
.
分配律:
z
1
?(z
2
?z
3
)? z
1
?z
2
?z
1
?z
3
.
201.复平面上的两点间的距离公式
d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2
（
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i）.
202.向量的垂直
uuuuruuuur
非零复数
z
1
?a?bi
，
z
2
?c?di
对应的向量分别 是
OZ
1
，
OZ
2
，则
uuuuruuuur
z
222

OZ
1
?O Z
2
?
z
1
?z
2
的实部为零
?
2
为纯虚数
?
|z
1
?z
2
|?|z
1< br>|?|z
2
|

z
1
?
|z
1?z
2
|
2
?|z
1
|
2
?|z2
|
2
?
|z
1
?z
2
|?|z1
?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz
2

(λ为非
零实数).
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0
，
2
?b?b
2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;
2a
b
2
②若
??b?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
;
2a
2
③若
??b?4ac?0
，它在实数集
R
内没有实数根；在复数集
C
内 有且仅有两个共轭
2
?b??(b
2
?4ac)i
2
复数根
x?(b?4ac?0)
.
2a