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简谐运动位移公式推导
简谐运动位移公式推导
问题:质量为m的系于一端固定的轻弹簧(弹簧质量可不计)的自由端。如图
(a)所示, < br>将物体略向右移,在弹簧力作用下,若接触面光滑,m物体将作往复运动,试求
位移x与时间t的 函数关系式。
图(a)
分析:m物体在弹力F的作用下运动,显然位移X与弹力F有关,进而由弹簧联
想起胡克定律,但结果只 有位移与时间,故要把弹力F替换成关于X与t的量,
再求解该微分方程。
推导:取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴,向右为正。设弹力
为F,
由胡克定律 ,K为劲度系数,负号表示力与位移方向相反。
根据牛顿第二定律,m物体加速度
a=
可令
===-x
(1)
=
(2)
代入(a),得
=X
或
X=0
(3)
简谐运动位移公式推导
显然,想求出位移X与时间t的函数关系式,须解出此微分方程
求解:对于
X=0
,即
X’’+
(4)
(4)式属可将阶的二阶微分方程,
若设X’=u,消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数,那么
X=0
X’’=
==u
,
u
+X=0, uX
下面分离变量再求解微分方程,然后两边积分,得
=
得
=+C
,即
+C1
(5)
u=x’,x’==
(6)
再次分离变量,
=dt
(7)
两边积分,右边=t,但左边较为复杂,
经过仔细思考,笔者给出一种求解方法:
运用三角代换,令
X=
简谐运动位移公式推导
(7)式左边化为
两边积分,得
-–
==-,
=t+C2
由此可得,
X=
即
其中
t+
X=A
),
t+)
(8)
A, Ψ
皆为常数
此方程即为简谐运动方程
若Ψ=0,X-t为余弦曲线,如图(b)所示
图(b)
验证:通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐曲线,与
X=A
(c)所示。
t+)
图像基本吻合,故可判断
X=At+)
即为所求,如图
简谐运动位移公式推导
图(c)
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本文更新与2020-09-14 10:53,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/393817.html