量学选股公式简谐运动位移公式推导资料讲解

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简谐运动位移公式推导


问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图
（a）所示， < br>将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求
位移x与时间t的 函数关系式。



图（a）



分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联
想起胡克定律，但结果只 有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，
再求解该微分方程。



推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。设弹力
为F,
由胡克定律 ,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。
根据牛顿第二定律，m物体加速度
(1)

a====-x

可令
=
(2)

代入（a）,得

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=X
或
X=0
(3)

显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程

求解：对于
X=0
，即
X’’+X=0

(4)
(4)式属可将阶的二阶微分方程，
若设X’=u，消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数，那么

X’’=

==u
,
u

+X=0, uX
下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得

=
得



=+C
，即
+C1
(5)

u=x’,x’==

(6)

再
(7)

次分离变量，
=dt

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两边积分，右边=t，但左边较为复杂，
经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：

运用三角代换，令
X=


(7)式左边化为

两边积分，得
-–
==-,
=t+C2

由此可得，
X=

即

其中

t+
X=A
),
t+)
(8)
A, Ψ
皆为常数
此方程即为简谐运动方程
若Ψ=0,X-t为余弦曲线，如图（b）所示



图（b）



验证：通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐曲线，与
X=At+)
图像基本吻合，故可判断
X=At+)
即为所求,如图
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（c）所示。



图（c）
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