收支比公式三角函数相关所有公式

两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanα·tanβ)
二倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2tan^2(α)[1+tan^2(α)]
cos (2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=(1- tan^2(α))(1+tan^2(α))
tan(2α)=2tanα[1-tan^2(α)]
三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))
sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)
cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)
tan3α=4tanα×tan(60-α)tan(60+α)
半角公式：
sin^2(α2)=(1-cosα)2
cos^2(α2)=(1+cosα)2
tan^2(α2)=(1-cosα)(1+cosα)
tan(α2)=sinα(1+cosα)=(1-cosα)sinα
万能代换公式：
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]
积化和差公式：
sinα·cosβ=(12)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(12)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(12)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(12)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]cos[(α-β)2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)2]sin[(α-β)2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]cos[(α-β)2]
cosα- cosβ=-2sin[(α+β)2]sin[(α-β)2]
三角恒等变换的证明方法
首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形
ABC 中,过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证
明 正弦定理：asinA=bsinB=csinC于是有：AD+BD=c AD=acosA,BD=acos BAD+BD=c
代入正弦定理，可得sinC=sin(180-C)=sin(A+B)=sinA cosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角
的情况下，可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的 定义及周期性，可证明该公式对任意角
成立。于是有 cos(A+B)=sin(90-A-B)=s in(90-A)cos(-B)+cos(90-A)sin（-B）
=cosAcosB- sinAsinB
由此易得以上全部公式

诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
弧度制下的角的表示：
sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）
cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）
cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）
sec（2kπ＋α）＝secα （k∈Z）
csc（2kπ＋α）＝cscα （k∈Z）
角度制下的角的表示：
sin (α+k·360°)＝sinα（k∈Z）
cos(α+k·360°)＝cosα（k∈Z）
tan (α+k·360°)＝tanα（k∈Z）
cot（α+k·360°）＝cotα （k∈Z）
sec（α+k·360°）＝secα （k∈Z）
csc（α+k·360°）＝cscα （k∈Z）
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
弧度制下的角的表示：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
sec（π＋α）＝－secα
csc（π＋α）＝－cscα
角度制下的角的表示：
sin（180°+α）＝－sinα
cos（180°+α）＝－cosα
tan（180°+α）＝tanα
cot（180°+α）＝cotα
sec（180°+α）＝－secα
csc（180°+α）＝－cscα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
sec（－α）＝secα
csc(－α）＝－cscα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系：
弧度制下的角的表示：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
sec（π－α）＝－secα
csc（π－α）＝cscα
角度制下的角的表示：
sin（180°－α）＝sinα
cos（180°－α）＝－cosα
tan（180°－α）＝－tanα
cot（180°－α）＝－cotα
sec（180°－α）＝－secα
csc（180°－α）＝cscα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
弧度制下的角的表示：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
sec（2π－α）＝secα
csc（2π－α）＝－cscα
角度制下的角的表示：
sin（360°－α）＝－sinα
cos（360°－α）＝cosα
tan（360°－α）＝－tanα
cot（360°－α）＝－cotα
sec（360°－α）＝secα
csc（360°－α）＝－cscα
小结：以上五组公式可简记为：函数名不变，符号看象限.
即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名 三角函
数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
公式六：
π2±α 及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：（⒈～⒋）
⒈ π2＋α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝—sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα
sec（π2＋α）＝－cscα
csc（π2＋α）＝secα
角度制下的角的表示：
sin（90°＋α）＝cosα
cos（90°＋α）＝－sinα
tan（90°＋α）＝－cotα
cot（90°＋α）＝－tanα
sec（90°＋α）＝－cscα
csc（90°＋α）＝secα
⒉ π2－α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示：
sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα
sec（π2－α）＝cscα
csc（π2－α）＝secα
角度制下的角的表示：
sin (90°－α)＝cosα
cos (90°－α)＝sinα
tan (90°－α)＝cotα
cot (90°－α)＝tanα
sec (90°－α)＝cscα
csc (90°－α)＝secα
⒊ 3π2＋α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示：
sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα
sec（3π2＋α）＝cscα
csc（3π2＋α）＝－secα
角度制下的角的表示：
sin（270°＋α）＝－cosα
cos（270°＋α）＝sinα
tan（270°＋α）＝－cotα
cot（270°＋α）＝－tanα
sec（270°＋α）＝cscα
csc（270°＋α）＝－secα
⒋ 3π2－α与α的三角函数值之间的关系
弧度制下的角的表示：
sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα
sec（3π2－α）＝－cscα
csc（3π2－α）＝－secα
角度制下的角的表示：
sin（270°－α）＝－cosα
cos（270°－α）＝－sinα
tan（270°－α）＝cotα
cot（270°－α）＝tanα
sec（270°－α）＝－cscα
csc（270°－α）＝－secα
温馨提示：1.在做题目的时候，最好将α看成是锐角。 2.k∈Z
总结记忆：奇变偶不变，符号看象限。奇偶是针对k而言的，变与不变是针对三角函
数名而言。
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于kπ2±α(k∈Z)的三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数 值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
＃
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦
＃
还有一种按照函数类型分象限定正负：
函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 ...........＋............＋............—... .........—........
余弦 ...........＋.......... ..—............—............＋........
正切 ... ........＋............—............＋............—.. ......
余切 ...........＋............—......... ...＋............—........
奇变偶不变，符号看象限

辅助角公式
对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形
acosx+ bsinx=√(a^2+b^2)(acosx√(a^2+b^2)+bsinx√(a^2+b^2))，
令点(b,a)为某一角φ终边上的点，则sinφ=a√(a^2+b^2),cosφ=b√
(a^2+b^2)
∴acosx＋bsinx＝√(a^2+b^2)sin(x+arctan(ab))