生态资源的特性包括-河谷
第3课时
两角和与差的正切
1.能够根据 两角和与差的正弦公式和余弦公式导出两角和与差的正切公式,了解各个公式
之间的内在联系.
2.能够利用和差角的三角函数公式进行简单的三角恒等变换.
同学们好,上节课我们学习了两角差的余弦公式,并知道将公式进行适当的变形或变换后,
可得到两 角和与差的正弦、余弦公式.这节课我们将继续学习这种技巧,并由此推导出两角和与
差的正切公式,以 及正切公式的变形和有关的角度变换.
问题1:在下列空白处填写适当的式子:
cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β,
①
sin(α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β.
②
当
时,得tan(α+β)==,
当
时,分子分母同时除以
,得:tan(α+β)=
;
在上式中,以
代换
得:tan(α-β)=
.
中,α、β、α+β均不等于
;
中,α、β、α-β均不等于
.
问题2:在公式tan(α+β)=
在公式tan(α-β)=
问题3 :你能写出两角和与差的三角函数的6个公式的逻辑联系框图吗?
问题4:由公式tan(α-β)=、tan(α+β)=可得下列变形公式:
(1)tan α+tan β=tan(α+β)·
;
(2)tan α-tan β=tan(α-β) ·
;
(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=
;
(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=
.
1.不查表,求 的值为(
).
A.1
B.
C.
D.
θ=2,则tan(θ-)的值是(
).
A. B.8-5 C.5-8 D.
3.若tan(α+)=,则tan α=
.
4.求tan 15°,tan 75°的值.
直接利用两角和与差的正切公式进行化简或求值
求tan(-θ)+tan(+θ)+
已知角的某种三角函数值求角
已知tan(+α)=2,tan β=.
(1)求tan α的值;
(2)求
两角和与差的正切公式的综合运用
方程x
2
+3ax+3a+1=0(a>2)的两根为tan A,tan B,且A,B∈(-,),则A+B=
.
求值:(1+tan 1°)(1+tan 2°)(1+tan 3°)…(1+tan 45°).
的值.
tan(-θ)tan(+θ)的值.
已知0<α<<β<π,tan α=,cos(β-α)=
(1)求sin α的值;
(2)求β的值.
.
已知角A是△ABC的一个内角,若sin A+cos A=
A.-
,则tan(A+)等于(
).
D.
B.
C.-
1.已知sin x=,x∈(,),则tan(x-)的值为(
).
A.0
B.
C.-3
D.-
2.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β=(
).
A. B.- C. D.-
3.已知tan(α+β)=,tan(β-)=,那么tan(α+)=
.
4.求下列各式的值:
(1);
(2)tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°.
(2010年·新课标全国
Ⅰ
卷)已知α为第三象限的角,cos 2α=-,则tan(+2α)=
.
考题变式(我来改编):
答案
第3课时
两角和与差的正切
知识体系梳理
问题1:cos(α+β)≠0
cos αcos β≠0
cos αcos β
-β
β
问题2:kπ+,k∈Z
kπ+,k∈Z
问题3:-β
β
诱导公式
-β
β
诱导公式
相除
-β
β
相除
问题4:(1-tan αtan β)
(1+tan αtan β)
tan(α+β)tan αtan β
-tan(α-β)tan αtan β
基础学习交流
1.A
==tan(60°-15°)=tan 45°=1.
2.C
∵
tan θ=2,
∴
tan(θ-)=
3.-
tan(α+)=
==5-8,故选C.
=,
∴
5tan α+5=2-2tan α,
∴
7tan α=-3,
∴
tan α=-.
4.解:tan 15°=tan(45°-30°)====2-.
tan 75°=tan(45°+30°)=
重点难点探究
===2+.
探究一:【解析 】原式=tan[(-θ)+(+θ)][1-tan(-θ)·tan(+θ)]+tan(-θ)tan(+ θ)=.
【小结】在三角函数求值的问题中,要注意“三看”口诀,即(1)看角,把角尽量转化为特 殊角或
可计算的角,合理拆角,化异为同;(2)看名称,把算式尽量化成同一名称或相近的名称,例如 把所
有的切都转化为弦,或把所有的弦都转化为切;(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如 果
满足则直接使用,如果不满足则需转化一下角或转换一下名称.
探究二:【解 析】(1)由tan(+α)=2,得
(2)
=
=
=-tan(α-β)=-
=
=2,即1+tan α=2-2tan α,
∴
tan α=.
=-=.
【小结】对于给值求值问题,即由给出的 某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数
值,关键在于“变角”,使“所求角”变为“已知角” ,若角所在象限没有确定,则应分类讨论.注意公式
的灵活运用,掌握其结构特征,学会拆角、拼角等技 巧.
探究三:【解析】由题意知tan A+tan B=-3a,tan A·tan B=3a+1,
∴
tan(A+B)=
[问题]A+B=成立吗?
==1,
∵
A,B∈(-,),
∴
A+B∈(-π,π),
∴
A+B=或-.
[结论]
∵
tan A+tan B=-3a<-6,tan A·tan B=3a+1>7,
∴
tan A<0,tan B<0,又
∵
A,B∈(-,),
∴
A,B∈(-,0),
∴
A+B∈(-π,0).
于是,正确解答如下:
由题意知tan A+tan B=-3a<-6,tan A·tan B=3a+1>7,
∴
tan
=
A<0,tan
B<0,
∵
A,B∈(-,),
∴A,B∈(-,0),
∴
A+B∈(-π,0),tan(A+B)==1.
∵
A+B∈(-π,0),
∴
A+B=-
【答案】-
.
【小结】涉及三角函数值是二次方程的根,除了要考虑二次方程有根的条件,还要注意根据
根的 符号和三角函数的意义确定角的范围.
思维拓展应用
应用一:若α+β=45°,则1=tan 45°=tan(α+β)=,
∴
tan α+tan β+tan α·tan β=1,
即(1+tan α)(1+tan β)=2,
∴
(1+tan 1°)(1+tan 44°)=(1+tan 2°)(1+tan 43°)
=…
=(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,
∴
原式=2
22
(1+tan 45°)=2
22
×2=2
23
.
应用二:(1)
∵
0<α<,tan α=,
∴
sin α=.
(2)
∵
0<α<,sin α=,
∴
cos α=.又0<α<<β<π,
∴
0<β-α<π.
由cos(β-α)=,得sin(β-α)=.
∴
sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α=×+×==.
由<β<π,得β=π(或求cos β=-或tan β=-1,得β=π).
应用三:A
由
得或(舍去),
∴
tan A=-,
∴
tan(A+)=
基础智能检测
1.C
==-,故选A.
∵
sin x=,x∈(,),
∴
cos x=-=-,
∴
tan
x=-.
∴
tan(x-)===-3,故选C.
2.A
由已知,得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=,则有cos αcos β=,sin αsin β=,
所以=,即tan αtan β=.
3.
tan(α+)=tan[(α+β)-(β-)]=
=tan(45°+75°)=tan 120°=-
,
=
.
.
4.解:(1)原式=
(2)
∵
tan(17°+28°)=
∴
tan 17°+tan 28°=tan(17°+28°)(1-tan 17°tan 28°)=1-tan 17°tan 28°,
∴
原式=1-tan 17°tan 28°+tan 17°tan 28°=1.
全新视角拓展
-
∵
cos 2α=cos(α+α)=c os
2
α-sin
2
α=-,又cos
2
α+sin
2
α=1且α为第三象限的角,
∴
cos α=-,tan α=2,tan 2α=tan(α+α)==-,
∴
tan(2α+)=
思维导图构建
=-.
tan(α+β)
tan(α-β)
学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练 。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事 儿。每人把胳膊尽
量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天 做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：
每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问， 这回，坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简
单的甩手 运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位 大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个
重要原因，就是，柏拉图有一种持 之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感 动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具
有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但 他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义 都是一样的，它告诉
无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这 句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条< br>慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以 我说：学习贵在坚持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确
很有道理，然而当 读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精 髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归
到当初的原点。这本《学会学习》在一开始 并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第 一部分就是左脑还是右脑思维测试和
视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对 不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具 体学习方法
章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学 习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最
适合 自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书 第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博
文或者PPT课件合集，每 个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强 ，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时
间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉 及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自 己面对学海之中手足无措之时，长
篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了 然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我 提高的有
力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为 ”、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无
疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果， 其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越
走越远，学习也是同 理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的 学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码
在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗 憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本 书归类为学习方法-青年读物，是本
工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增 加学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指 啊。整体来讲
主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧 ，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技
能 的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事 项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分
别有笔记记录，阅读，记忆 ，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高 ，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，
说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是 无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国 家吗，简直比我们中国还要
应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以 他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业 里
做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界……不得不说，美国的教育真不是盖 的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了
一些测试题目 ，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的 分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近
的类型，我就是视觉的，对号入座后就 可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学 习的技能，还有很多其他的道理，对我们
人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将 会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一 个非常好的学习
习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作 中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历
程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的 那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，
游刃有余地攻克自己之 前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是 作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的
表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧， 缓解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所 提到的方法，定能在学习中得到
提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事 ，在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一 样，不
要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学 习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，
对自己的 收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多 词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就
看的比较费力，现在好了，作者也 不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习 惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，
但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介 绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指 导。从而她的有些观点
就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是 比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。
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