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年份公式高中数学和高等数学公式大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 17:03
tags:微积分公式

西南交通大学录取线-分离定律和自由组合定律




高中数学公式

1. ,.
2..
3.
4.集合
个.
的子集个数共有 个;真子集有个;非空子集有个;非空的真子集有
5.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式
(3)零点式;当已知抛物线与轴的交点坐标为时,设为此式
4切线式:
设为此式
6.解连不等式
。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时,
常有以下转化形式
.
7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。
8.闭区间上的二次函数的最值

二次函数
得,具体如下:
在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取
(1)当a>0时,若,则;
,,.
(2)当a<0时,若,则,
若,则,.
9.一元二次方程=0的实根分布
1方程在区间内有根的充要条件为或;
2方程在区间内有根的充要条件为
或或;
3方程在区间内有根的充要条件为或 .
10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据
(1)在给定区间的子区间形如

,,不同上含参数的不等式(为参
数)恒成立的充要条件是

(2)在给定区间

的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是
(3) 在给定区间

的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是
(4) 在给定区间
。 < br>的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是
对于参数及函数

若函 数
11.真值表










12.常见结论的否定形式
原结论

都是
大于
小于
反设词
不是
不都是
不大于
不小于





非p




p或q




有解,则
.若
;若
恒成立,则
有解,则; 若
;若恒成立,则
有解,则

.
无最大值或最小值的情况,可以仿此 推出相应结论
p且q







原结论 反设词
至少有一个 一个也没有
至多有一个 至少有两个
至少有个
至多有个
至多有个
至少有个

对所有,成立
对任何,不成立
存在某,不成立
存在某,成立






13.四种命题的相互关系(右图):
14.充要条件记表示条件,表示结论
1充分条件:若,则是充分条件.
2必要条件:若,则是必要条件.
3充要条件:若,且,则是充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
15.函数的单调性的等价关系
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数
函数.
16.如果函数

在 某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减
和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函 数; 如果函数



是减函数.
都是增函数,则在公共定义域 内,和函数
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
在其对应的定义域上都是增函数,则复 合函数
也是增函数; 如果函数
是增函数; 如果函数
是增函数;如果函数
在 其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数

17.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
18.常见函数的图像:

19.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是;两个函数
与 的图象关于直线对称.
20.若,则函数的图象关于点对称;
若,则函数为周期为的周期函数.
21.多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
22.函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称.
(2)函数的图象关于直线对称
.

23.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
24.若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图象;若将曲线
的图象. 的图象右移、上移个单位,得到曲线
25.几个常见的函数方程
(1)正比例函数.
(2)指数函数.
(3)对数函数.
(4)幂函数.
(5)余弦函数,正弦函数,,
.
26.几个函数方程的周期(约定a>0)
1,则的周期T=a;
2,或,则的周期T=2a;
(3),则的周期T=3a;

(4)
27.分数指数幂
且,则的周期T=4a;
(1),且.
(2),且.
28.根式的性质
1.
2当为奇数时,;
当为偶数时,
29.有理指数幂的运算性质
(1) .
.
(2) .
(3).
注:若a>0,p是一 个无理数,则a
p
表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指
数 幂都适用.
30.指数式与对数式的互化式:


.
31.对数的换底公式 : (,且,,且,

).
对数恒等式:(,且,

).

推论 (,且,

).
32.对数的四则运算法则:若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1); (2) ;
(3); (4) 。
33.设函数
的值域为,则,且。
,记.若的定义域为,则且;若
34. 对数换底不等式及其推广:设,,,且,则
1. 2.
35. 平均增长率的问题负增长时
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有.
36.数列的通项公式与前n项的和的关系:
).
( 数列的前n项的和为
37.等差数列的通项公式:;
其前n项和公式为:.
38.等比数列的通项公式:;

其前n项的和公式为
39.等比差数列:

的通项公式为
.

其前n项和公式为:.
40.分期付款(按揭贷款) :每次还款
41.常见三角不等式
元(贷款元,次还清,每期利率为).
1若,则.
(2) 若,则.
(3) .
42.同角三角函数的基本关系式 :,=,.
43.正弦、余弦的诱导公式奇变偶不变,符号看象限

44.和角与差角公式


;

.
(平方正弦公式);
.
=
45.二倍角公式及降幂公式
(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
.
.
.


46.三角函数的周期公式
函数,x∈R及函数,x∈R(A,ω,为常数,且A≠0)的周期;函数

三角函数的图像 :
(A,ω,为常数,且A≠0)的周期.


五点法作图列表:




0


π2


π


3π2





47.正弦定理 :R为外接圆的半径.

48.余弦定理
;
53.面积定理
;.
1分别表示a、b、c边上的高.
2.
3.


49.三角形内角和定理
在△ABC中,有
.
50. 简单的三角方程的通解

.
.
.
特别地,有
.
.
.
51.最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
52.实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么
(1) 结合律:λ(μ)=(λμ)
(2)第一分配律:(λ+μ) =λ+μ;

(3)第二分配律:λ(+)=λ
53.向量的数量积的运算律:
(1)

·= · 交换律;
+λ.
(2)·= ·=·=·;
(3)+·=

· +·.
54.平面向量基本定理
如果、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ
1
、< br>λ
2
,使得=λ
1

2

不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
三点A、B、C共线的充要条件:
55.向量平行的坐标表示
设=,=,且,则 (
(M为任意点)
).
56. 与的数量积(或内积):·=||||。
57. ·的几何意义:
数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||的乘积.
向量在向量上的投影:||
58.平面向量的坐标运算
(1)设=,=
=.
,则+=.

(2)设=,=,则-=.
(3)设A,B,则.
(4)设=,则=.
(5)设=,=,则·=.
59.两向量的夹角公式
(=
60.平面两点间的距离公式
,=).
=(A,B).
61.向量的平行与垂直 :设=,=,且,则
||=λ .
() ·=0.
62.线段的定比分公式 :设,,是线段的分点,是实数,且,

63.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、
.
,则△ABC的重心的坐标是
.
64.点的平移公式

.
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形
65.“按向量平移”的几个结论
1点按向量=平移后得到点
上的对应点为,且的坐标为.
.
(2) 函数的图象按向量=平移后得到图象,则的函数解析式为.
(3) 图象按向量=
.
平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为
(4)曲线:按向量=平移后得到图象,则的方程为 .
(5) 向量=按向量=平移后得到的向量仍然为=.
66. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则
1为的外心.
2为的重心.
3为的垂心.
4为的内心.
5为的的旁心.
67.常用不等式:
1(当且仅当a=b时取“=”号).

2(当且仅当a=b时取“=”号).
3
4
5.
6
68.最值定理:已知
(当且仅当a=b时取“=”号)。
都是正数,则有
1若积是定值,则当时和有最小值;
2若和是定值,则当时积有最大值.
3已知,若则有

4已知,若则有

69.一元二次不等式
在两根之外;如果与
,如果与同号,则其解集
异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.


.
70.含有绝对值的不等式 :当a> 0时,有
.

71.无理不等式
.
1 .
2.
3
72.指数不等式与对数不等式
(1)当时,
.
;
(2)当时,
.
;
73.斜率公式



74.直线的五种方程
1点斜式
.
(直线过点,且斜率为).
2斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
3两点式 ()(、 ()).
两点式的推广:无任何限制条件!
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距,)
5一般式 (其中A、B不同时为0).
直线的法向量:,方向向量:
75.两条直线的平行和垂直
(1)若,

;
②. (2)若,,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2都不为零,
①;②;
,,,
此时直线

76.四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交:
(1)定点直线系方程:经过定点
定的系数; 经过定点
的直线系方程为
,其中
(除直线),其中是待
的直线系方程为是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线,
(除),其中λ是待定的系数.
的交点的直线 系方程为
(3)平行直线系方程:直线
平行的直线系方程是
中当斜率k一定而b变动时 ,表示平行直线系方程.与直线
(),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线
变量.
(5)直线系与线段
(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参
相交。
77.点到直线的距离 :(点,直线:).
78. 或所表示的平面区域
设直线,则或所表示的平面区域是: < br>若,当与同号时,表示直线的上方的区域;当与异号时,表示直线的
下方的区域.简言之,同号在 上,异号在下.
若,当与同号时,表示直线的右方的区域;当与异号时,表示直线的
左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左。
79. 或所表示的平面区域
或所表示的平面区域是两直线和所
成的对顶角区域上下或左右两部分。

80. 圆的四种方程
1圆的标准方程 .
2圆的一般方程 (>0).
3圆的参数方程 .
4圆的直径式方程
81. 圆系方程
(1)过点,的圆系方程是
(圆的直径的端点是、).

,其中
系数.
(2)过直线:与圆:
是直线的方程,λ是待定的
的 交点的圆系方程是
,λ是待定的系数.
(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是
,λ是待定的系数.
特别地,当时,就是
表示:
①当两圆相交时,为公共弦所在的直线方程;
②向两圆所引切线长相等的点的轨迹直线方程
82.点与圆的位置关系:点与圆的位置关系有三种


83.直线与圆的位置关系
,则点在圆外;点在圆上;点在圆内.
直线与圆的位置关系有三种():
;;.
84.两圆位置关系的判定方法:设两圆 圆心分别为O
1
,O
2
,半径分别为r
1
,r
2< br>,
;
;
;
;
.
85.圆的切线方程及切线长公式
(1)已知圆.
①若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程.求切点弦方
程,还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。
②过圆外一点的切线方程可设为
漏掉平行于y轴的切线.
,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要

③斜率为k的切线方程可设为,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆.
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
(3) 过圆外一点的切线长为
86.椭圆的离心率,
过焦点且垂直于长轴的弦长为:.
87.椭圆

88.椭圆的的内外部
;。
1点在椭圆的内部.
2点在椭圆的外部.
89. 椭圆的切线方程
(1)椭圆上一点处的切线方程是.
2过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.

3椭圆与直线相切的条件是.
90.双曲线的离心率,过焦点且垂直于实轴的弦长为:.

91.双曲线的内外部
,。
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.
92.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1若双曲线方程为渐近线方程:.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线,可设为
,焦点在x轴上,,焦点在y轴上.
(4) 焦点到渐近线的距离总是。
93. 双曲线的切线方程
(1)双曲线上一点处的切线方程是.

2过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
3双曲线与直线相切的条件是.
94. 抛物线的焦半径公式
抛物线, .
(其中θ为x轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到FC的角)
过焦点弦长.
(其中α为倾斜角)
95.抛物线上的动点可设为P或 P,其中 .
95.二次函数的图象是抛物线:
1顶点坐标为;2焦点的坐标为;
3准线方程是.
97.以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切;以抛物线焦 点弦为直径的圆,必与准线
相切;以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
98. 抛物线的切线方程
(1)抛物线上一点处的切线方程是.

2过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
3抛物线
99.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线,
与直线相切的条件是.
的交点的曲线系方程是(为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.
当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.
100.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或

弦端点A
角,为直线的斜率,
,由方程 消去y得到
.
,,为直线的倾斜
101.圆锥曲线的两类对称问题
1曲线关于点成中心对称的曲线是.
2曲线关于直线成轴对称的曲线是
.
特别地,曲线关于原点成中心对称的曲线是.
曲线关于直线轴对称的曲线是.
曲线关于直线轴对称的曲线是.

曲线关于直线轴对称的曲线是.
曲线关于直线轴对称的曲线是. 102.动点M到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数,若
的轨迹为抛物线;若,M的轨迹为 双曲线。
,M的轨迹为椭圆;若,M
103.证明直线与直线的平行的思考途径
1转化为判定共面二直线无交点;
2转化为二直线同与第三条直线平行;
3转化为线面平行;
4转化为线面垂直;
5转化为面面平行.
104.证明直线与平面的平行的思考途径
1转化为直线与平面无公共点;
2转化为线线平行;
3转化为面面平行.
105.证明平面与平面平行的思考途径
1转化为判定二平面无公共点;
2转化为线面平行;
3转化为线面垂直.
106.证明直线与直线的垂直的思考途径
1转化为相交垂直;
2转化为线面垂直;
3转化为线与另一线的射影垂直;
4转化为线与形成射影的斜线垂直.
107.证明直线与平面垂直的思考途径

1转化为该直线与平面内任一直线垂直;
2转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
3转化为该直线与平面的一条垂线平行;
4转化为该直线垂直于另一个平行平面。
108.证明平面与平面的垂直的思考途径
1转化为判断二面角是直二面角;
2转化为线面垂直;
(3) 转化为两平面的法向量平行。
109.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律:+=+.
(2)加法结合律:(+)+=+(+).
(3)数乘分配律:λ(+)=λ+λ.
110.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向 量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始
点的对角线所表示的向量.
111.共线向量定理
对空间任意两个向量、 (≠ ),∥存在实数λ使=λ.
三点共线.

112.共面向量定理
向量
共线且不共线且不共线.
与两个不共线的向量、共面的存在实数对,使.
推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使,

或对空间任一定点O,有序实数对,使.
113.对空间任一点
对于空间任一点
和不共线的三点A、B、C,满足
,总有P、A、B、C四点共面;当时,若
, 则当时,
平面ABC,则P、A、B、C四点共面;
平面ABC,则P、A、B、C四点不共面 .
四点共面与、共面
平面ABC.
114.空间向量基本定理
如 果三个向量、、不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使=
x+y+z .
推论 设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使
.
115.射影公式
已知向量

=和轴,是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影,作B点在上的射影,

116.向量的直角坐标运算
设=,=则
(1) +=;
(2) -=;
(3)λ= (λ∈R);

(4) ·=;
117.设A,B,则
=
118.空间的线线平行或垂直
设,,则
.

.
119.夹角公式
设=,=,则.
推论 ,此即三维柯西不等式.
120. 正棱锥的侧面与底面所成的角为,则。
特别地,对于正四面体每两个面所成的角为,有
121.异面直线所成角

=
其中
122.直线
为异面直线
与平面所成角
所成角,分别表示异面直线的方向向量

(为平面的法向量).
123.二面角的平面角根据具体图形确定是锐角或是钝角

124折叠角定理
,为平面,的法向量.
设AC是α内的任一条直线,AD是α的一条斜线AB在α内的射影, 且BD⊥AD,垂足为D,设AB与α(AD)
所成的角为, AD与AC所成的角为




125.空间两点间的距离公式
, AB与AC所成的角为.则.
若A
126.点
,B
到直线距离
,则=.
(点
127.异面直线间的距离
在直线上,为直线的方向向量, =).
(
128.点
是两异面直线,其公垂向量为,分别是上任一点,为间的距离).
到平面的距离
为平面的法向量,,是的一条斜线段.

129.异面直线上两点距离公式
.
.
.
(两条异面直线a、b所成的角为θ,其公垂线段
,,).
的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F,
130.三个向量和的平方公式


131.作截面的依据
三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行.
132.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相 似,截面面积与底面面积的比等于顶点到
截面距离与棱锥高的平方比对应角相等,对应边对应成比例的多 边形是相似多边形,相似多边形面积的
比等于对应边的比的平方;相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的立方
比;相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的平方比.
133.球的半径是R,则其体积
134.球的组合体
,其表面积.
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方
体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为(正四面体高 的
),外接球的半径为
135.柱体、锥体的体积
(正四面体高的).
是柱体的底面积、是柱体的高.
是锥体的底面积、是锥体的高.
136.分类计数原理加法原理:.
137.分步计数原理乘法原理:.
138.排列数公式 :==.(,∈N
*
,且).规定.
139.排列恒等式 :(1;2;
3; 4; 5.
(6) .
140.组合数公式:===(∈N
*
,,且).
141.组合数的两个性质:(1)
142.组合恒等式
= (2) +=.规定.
1;2;

3; 4=;
5.
(6).
(7).
(8).
(9).
(10).
143.排列数与组合数的关系: .
个元素的排列 144.单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取
1“在位”与“不在位”
①某特元必在某位有种;②某特元不在某位有补集思想着眼位置
着眼元素种.
2紧贴与插空即相邻与不相邻
①定位紧贴:个元在固定位的排列有种.
②浮动紧贴:个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
注:此类问题常用捆绑法;
③插空:两组元素分别有k、h个
排列数有种.
种.
,把它们合在一起来作全排列,k个的一组互不能挨近的所有
3两组元素各相同的插空

个大球个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
当时,无解;当时,有种排法.
4两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个,各组元素分 别相同的排列数为
145.分配问题
1(平均分组有归属问题)将相异的个物件等分给
.
个人,各得件,其分配方法数共有
.
2(平均分组无归属问题)将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆,其分配方法数共有
.
3(非平均分组有归属问题)将相异的
,,…,件,且,,…,这
个物体分给个人,物 件必须被分完,分别得到
个数彼此不相等,则其分配方法数共有
.
4(非完全平均分 组有归属问题)将相异的
得到,,…,件,且,,…,这
个物体分给个人,物件必须被分完,分 别
个数中分别有a、b、c、…个相等,则其分配方法数
有 .
5(非平均分组无归 属问题)将相异的个物体分为任意的,,…,件无记号的堆,
且,,…,这个数彼此不相等,则其分配方 法数有.
6(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的,,…,件无记号
的堆 ,且,,…,这个数中分别有a、b、c、…个相等,则其分配方法数有.

7(限定分组有 归属问题)将相异的
被分完,如果指定甲得件,乙得件,丙得
个物体分给甲、乙、丙,……等< br>件,…时,则无论,,…,等
个人,物体必须
个数是否全相
异或不全相异其分配 方法数恒有
.
146.“错位问题”
2封信与2个信封全部错位排列数:1;
3封信与3个信封全部错位排列数:2;
4封信与4个信封全部错位排列数:9;
5封信与5个信封全部错位排列数:44;
一般记着上面的就够了
推广
贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为
.
推广: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为

.
147.不定方程的解的个数
(1)方程的正整数解有个.
(2) 方程的非负整数解有 个.

(3) 方程满足条件(,)的非负整数解有个.
148.二项式定理
二项展开式的通项公式.
的展开式的系数关系:
;;。
149.等可能性事件的概率:.
150.互斥事件A,B分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B).
151.个互斥事件分别发生的概率的和:
P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A< br>n
).
152.独立事件A,B同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B).
153.n个独立事件同时发生的概率:
P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
) · P(A
2
)·…· P(A
n
)
154.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率:
155.离散型随机变量的分布列的两个性质
1;2.

156.数学期望:
157.数学期望的性质
1.

2若~,则.

(3) 若服从几何分布,且,则.
158.方差:
159.标准差:
160.方差的性质
(1)
=.

(2若~,则.
(3) 若服从几何分布,且,则.
161.方差与期望的关系:.
162.正态分布密度函数:
式中的实数μ,

>0是参数,分别表示个体的平均数与标准差.
163.标准正态分布密度函数:.
164.对于,取值小于x的概率:.

.
165.回归直线方程

,其中.
166.相关系数 : .
|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.
167.特殊数列的极限
1.
2.
3无穷等比数列 ()的和.
168. 函数的极限定理:.
169.函数的夹逼性定理 如果函数f(x),g(x),h(x)在点x
0
的附近满足:
1;2常数,
则.本定理对于单侧极限和的情况仍然成立.
170.几个常用极限
1,;2,.

171.两个重要的极限
1;2(e=2.718281845…).
172.函数极限的四则运算法则
若,,则
(1);(2); (3).
173.数列极限的四则运算法则
若,则
(1);(2);(3)
(4)( c是常数).
174.在处的导数或变化率或微商
.
175.瞬时速度:.
176.瞬时加速度:.
177.在的导数:.
178. 函数在点处的导数的几何意义

函数在点处的导数是曲线
.
在处的切线的斜率,相应的切线方程是
179.几种常见函数的导数
(1) C为常数.(2) .(3) .
(4) . (5) ;.
(6) .
180.导数的运算法则
1.2.3.
181.复合函数的求导法则
设函数
合函数
在点处有导数
在点处有导数,且
,函数在点处的对应点U处有 导数
,或写作.
,则复
182.常用的近似计算公式当充分小时
(1);;(2); ;
(3);(4);(5)为弧度;
(6)为弧度;(7)为弧度
183.判别是极大小值的方法
当函数在点处连续时,

1如果在附近的左侧,右侧,则是极大值;
2如果在附近的左侧,右侧,则是极小值.
184.复数的相等:.
185.复数的模或绝对值==.
186.复数的四则运算法则
(1);
(2);
(3);
(4)
187.复数的乘法的运算律
对于任何,有
.
交换律:.
结合律:.
分配律: .
188.复平面上的两点间的距离公式

189.向量的垂直
非零复数,对应的向量分别是,
.
,则

的实部为零为纯虚数


(λ为非零实数).
190.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程,
①若,则;
②若,则;
③若,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数根
.
191.三角形的内角平分线性质:在中,的
平分线交边BC于D,则

三角形的外角平分线也有同样的性质
192. 数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:
(1)证明:当
n
取第一个值
n
0
结论正确;
( 2)假设当
n
=
k
(
k
∈N
*
,且
k

n
0
)时结论正确,证明当
n
=
k
+1时结论也正确.
由(1),(2)可知,命题对于从
n
0
开始的所有正 整数
n
都正确
193.有理不等式解集的端点,恰好就是其对应的“零点”就是对应方程的解和使分母为零的值.
高等数学公式

导数公式:
1
(tgx)
?
? sec
2
x
(arcsinx)
?
?
(ctgx)
?
??csc
2
x
1?x
2
(secx)
?
?secx?tgx
(arccosx)
?
??
1
(cscx)< br>?
??cscx?ctgx
1?x
2
(a
x
)
?
?a
x
lna
(arctgx)
?
?
1
1?x
2
(log
1
a
x)
?
?
xln a
(arcctgx)
?
??
1
1?x
2
基本积分 表:
?
tgxdx??lncosx?C
?
dx
?
ctg xdx?lnsinx?C
cos
2
x
?
?
sec
2
xdx?tgx?C
?
secxdx?lnsecx?tgx?C
?
dx
sin
2
x
?
?
csc
2
xdx? ?ctgx?C
?
cscxdx?lncscx?ctgx?C
?
secx? tgxdx?secx?C
?
dx
?
cscx?ctgxdx??cscx? C
a
2
?x
2
?
1
a
arctg
x
a
?C
?
dx
?
a
x
dx?
a
x
lna
?C
x
2
?a
2
?
1< br>2a
ln
x?a
x?a
?C
?
shxdx?chx? C
?
dx1a
a
2
?x
2
?
?x
2a
ln
a?x
?C
?
chxdx?shx?C
?
dx
a
2
?x
2
?arcsin
x
a
?C
?
dx
x
2
?a
2
?ln(x?x
2?a
2
)?C
??
22
I
n
1
n?
?
sinxdx?
?
cos
n
xdx?
n?
00
n
I
n?2
?
2
a
2
dx?
x
2
x?
2
x
2
?a
2
?
a
2
ln(x?x
2
?a
2
)?C
?
x
2
?a
2
dx?
x
x
2
?a
2< br>?
a
2
lnx?x
2
22
?a
2
? C
?
a
2
?x
2
dx?
x
2
a< br>2
?x
2
?
a
2
x
2
arcsin
a
?C
三角函数的有理式积分:
e
x
?e
?x< br>双曲正弦:shx?
2
lim
sinx
x?0
x
?1
双曲余弦:chx?
e
x
?e
?x
2
lim
x??
(1?
1
x
)
x
?e?2.7045...
双曲正切:thx?
shxe
x
?e
?x
chx
?
e
x
?e
?x
arshx?ln(x?x
2
?1)
archx??ln(x?x
2
?1)
arthx?
1
2
ln
1?x
1?x
sinx?
2u1?u
2
1?u
2
, cosx?
1?u
2


一些初等函数:
两个重要极限:














三角函数公式:
·诱导公式:
函数
角A

90°-α
90°+α
180°-α
180°+α
270°-α
270°+α
360°-α
360°+α
sin cos tg
-tgα
ctgα
ctg
-ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
-sinα cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-sinα -ctgα -tgα
-cosα -tgα
-sinα -cosα tgα
-cosα -sinα ctgα
-cosα sinα
-sinα cosα
sinα cosα
-tgα
tgα
-ctgα -tgα

·和差角公式: ·和差化积公式:
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?
sin
?< br>sin
?
tg(
?
?
?
)?
tg
?
?tg
?
1
?
tg
?
?tg
?
c tg
?
?ctg
?
?
1
ctg(
?
??
)?
ctg
?
?ctg
?
sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
22
?
?< br>??
?
?
sin
?
?sin
?
?2coss in
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
?2coscos
22
?
?
??
??
cos
?
?cos
?
?2sinsin
22
cos
?
?
?


·倍角公式:
sin2
?
?2sin
?
cos
?
cos2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
ctg
2
?
?1
ctg2
?
?
2ctg
?
2tg
?
tg2
?
?
1?tg
2
?

·半角公式:
sin3
?< br>?3sin
?
?4sin
3
?
cos3
?
? 4cos
3
?
?3cos
?
3tg
?
?tg
3
?
tg3
?
?
1?3tg
2
?
sin
tg
?
2
??
??
1?cos
??
1?c os
?
            cos??
222
1?cos
?< br>1?cos
?
sin
??
1?cos
?
1?cos< br>?
sin
?
??  ctg????
1?cos
?
s in
?
1?cos
?
21?cos
?
sin
?1?cos
?
abc
???2R
·余弦定理:
c2
?a
2
?b
2
?2abcosC

sinAsinBsinC
?
2

·正弦定理:

·反三角函数性质:
arcsinx?
?
2
?arccosx   arct gx?
?
2
?arcctgx


高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
(uv)
(n)k(n?k) (k)
?
?
C
n
uv
k?0
n
?u
(n)
v?nu
(n?1)
v
?
?
n(n?1)
(n?2)
n(n?1)
?
(n?k?1)
(n?k)(k)
uv< br>??
?
?
?uv?
?
?uv
(n)
2!k!

中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:f(b)?f(a)?f
?< br>(
?
)(b?a)
f(b)?f(a)f
?
(
?)
柯西中值定理:?
F(b)?F(a)F
?
(
?
)< br>曲率:

当F(x)?x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公 式:ds?1?y
?
2
dx,其中y
?
?tg
?
平 均曲率:K?
?
?
.?
?
:从M点到M
?
点,切线 斜率的倾角变化量;?s:MM
?
弧长。
?s
y
??
??
d
?
M点的曲率:K?lim??.

23
?s?0
?sds
(1?y
?
)
直线:K?0;
1
半径为a 的圆:K?.
a
定积分的近似计算:

b
矩形法:
?f(x)?
a
b
b?a
(y
0
?y
1
?
?
?y
n?1
)
n
b?a1
[(y
0< br>?y
n
)?y
1
?
?
?y
n?1
]
n2
b?a
[(y
0
?y
n
)?2(y
2
?y
4
?
?
?y
n?2
)?4(y
1?y
3
?
?
?y
n?1
)]
3n
< br>梯形法:
?
f(x)?
a
b
抛物线法:
?
f (x)?
a
定积分应用相关公式:
功:W?F?s
水压力:F?p?Amm
引力:F?k
1
2
2
,k为引力系数

r
b
1
函数的平均值:y?f(x)dx
?
b?a
a
1
2
均方根:f(t)dt
?
b?a
a
空间解析几何和向量 代数:
b
空间2点的距离:d?M
1
M
2
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
向量在轴上的投影 :Prj
u
AB?AB?cos
?
,
?
是AB与u轴的夹角 。
????
Prj
u
(a
1
?a
2
)?P rja
1
?Prja
2
?
?
?
?
a?b? a?bcos
?
?a
x
b
x
?a
y
by
?a
z
b
z
,是一个数量,
两向量之间的夹角:co s
?
?
i
?
??
c?a?b?a
x
bx
j
a
y
b
y
a
x
b
x?a
y
b
y
?a
z
b
z
a
x
?a
y
?a
z
?b
x
?b
y
?b
z
222222
k
??
?
???
a
z,c?a?bsin
?
.例:线速度:v?w?r.
b
z
ay
b
y
c
y
a
z
?
?
?b
z
?a?b?ccos
?
,
?
为锐角时,

c
z
a
x
??
????
向量的混合积:[abc] ?(a?b)?c?b
x
c
x
代表平行六面体的体积。

平 面的方程:
?
1、点法式:A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?C(z?z
0
)?0,其中n?{A,B,C},M
0
(x
0< br>,y
0
,z
0
)
2、一般方程:Ax?By?Cz?D?0< br>xyz
3、截距世方程:???1
abc
平面外任意一点到该平面的距离:d?
Ax
0
?By
0
?Cz
0
?D
A
2
?B
2
?C
2
?
x?x
0
?mt
x?xy?y
0
z?z
0
?
?
空间直线的方程:
0
???t,其中s?{m,n,p};参数方程:
?
y?y
0
?n t
mnp
?
z?z?pt
0
?
二次曲面:
x
2
y
2
z
2
1、椭球面:
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
2、抛物面: ??z(,p,q同号)
2p2q
3、双曲面:
x
2
y
2< br>z
2
单叶双曲面:
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
z
2
双叶双曲面:
2
?
2
?
2
?(马鞍面)1
abc

多元函数微分法及应用

全微分:dz?
?z?z?u?u?u
d x?dy   du?dx?dy?dz
?x?y?x?y?z
全微分的近似计算:?z?dz ?f
x
(x,y)?x?f
y
(x,y)?y
多元复合函数的求导法 :
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t)]   ???? 
dt?u? t?v?t
?z?z?u?z?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]   ? ???< br>?x?u?x?v?x
当u?u(x,y),v?v(x,y)时,
du?
?u ?u?v?v
dx?dy   dv?dx?dy 
?x?y?x?y
隐函数的求导公 式:
F
x
FF
dydyd
2
y??
隐函数F(x, y)?0,  ??,  
2
?(?
x
)+(?
x
)?dxF
y
?xF
y
?yF
y
dx
dx
F
y
F
?z?z
隐函数F(x,y,z)?0, ??
x
,   ??
?xF
z
?yF
z


?F
?< br>F(x,y,u,v)?0
?(F,G)
?u
隐函数方程组:   J???
?G
?(u,v)
?
G(x,y,u,v)?0
?u
?u1?(F,G)?v1?(F,G)
???    ???
?xJ?(x,v)?xJ?( u,x)
?u1?(F,G)?v1?(F,G)
???    ???
?yJ?(y ,v)?yJ?(u,y)
微分法在几何上的应用:
?F
?v
?
F
u
?G
G
u
?v
F
v
G
v

?
x?
?
(t)
x?xy?y
0
z?z
0
?
空间曲线
?
y?
?
(t)在点M(x
0,y
0
,z
0
)处的切线方程:
0
??
??< br>?
(t
0
)
?
(t
0
)
?
?
(t
0
)
?
z?
?
(t)
?
在 点M处的法平面方程:
?
?
(t
0
)(x?x
0
) ?
?
?
(t
0
)(y?y
0
)?
?
?
(t
0
)(z?z
0
)?0
?
?
F< br>y
F
z
F
z
F
x
F
x
?< br>F(x,y,z)?0
若空间曲线方程为:,则切向量T?{,,
?
GGGx
GG
G(x,y,z)?0
?
yz
zx
?
曲 面F(x,y,z)?0上一点M(x
0
,y
0
,z
0
), 则:
?
1、过此点的法向量:n?{F
x
(x
0
,y
0
,z
0
),F
y
(x
0
,y
0
,z
0
),F
z
(x
0
,y
0
,z0
)}
x?x
0
y?y
0
z?z
0
3 、过此点的法线方程:??
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0< br>)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)度:
F
y
}
G
y
方向导数与梯
2、过此点的 切平面方程:F
x
(x
0
,y
0
,z
0
) (x?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
,z< br>0
)(y?y
0
)?F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)(z?z
0
)?0
?f?f?f
函数 z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:?cos
?
?sin
?
?l?x?y
其中
?
为x轴到方向l的转角。
?f
?< br>?f
?
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf(x,y)?i? j
?x?y

??
?f
??
它与方向导数的关系是:?gr adf(x,y)?e,其中e?cos
?
?i?sin
?
?j,为l方向上 的
?l
单位向量。
?f
?是gradf(x,y)在l上的投影。
? l
多元函数的极值及其求法:
设f
x
(x
0
,y
0
)?f
y
(x
0
,y
0
)?0,令:f
xx
(x
0
,y
0
)?A, f
xy
(x
0
,y
0
)?B, f
yy
(x
0
,y
0
)?C
?
?
A?0,(x
0
,y
0
)为极 大值
2
AC?B?0时,
?
?
?
A?0,(x
0< br>,y
0
)为极小值
?
?
2
则:值
?
AC?B?0时,      无极
?
AC?B
2
?0时,       不 确定
?
?
?
重积分及其应用:


??
f(x,y)dxdy?
??
f(rcos
?
,rsin
?
)rdrd
?
DD
?
曲面z?f(x,y)的面积A?
??
D
?
?z
?
?
?z
?
1?
??
?
?
?
?y
?
?
dxdy
?x
??
??
2
2
M
平面薄片的重心:x?
x
?
M
??
x
?
(x,y)d
?
D
??
?
(x, y)d
?
D
D
,  y?
M
y
M
?
??
y
?
(x,y)d
?
D
??
?
(x ,y)d
?
D
D

平面薄片的转动惯量:对于x轴I
x?
??
y
2
?
(x,y)d
?
,  对于y轴 I
y
?
??
x
2
?
(x,y)d
?
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力:F?{F
x
,F
y
,F
z
},其中:
F
x
?f
??
D
?
(x,y)xd
?
(x
2
?y
2?a
2
)
2
,  F
y
?f
??
3< br>D
?
(x,y)yd
?
(x
2
?y
2
?a
2
)
2
,  F
z
??fa
??
3
D
?
(x,y)xd
?
(x
2
?y
2?a)
3
2
2
柱面坐标和球面坐标:
?
x?rcos
?
?
柱面坐标:f(x,y,z)dxdydz?
???
F(r,< br>?
,z)rdrd
?
dz,
?
y?rsin
?
,   
???
??
?
z?z
?
其中:F(r,
?
,z)?f(rcos
?
,rsin
?
,z)
?
x?rsin
?
cos
?
?
2
球面坐标:
?
y?rsin
?
sin
?
,  dv?rd
?
?rsin
?
?d
?
?dr?rsin
?
drd
?
d
?
?
z?rcos
?
?
2
?

?
r(
?
,
?
)
???
f(x,y,z)dxdyd z?
???
F(r,
?
,
?
)r
??
2< br>sin
?
drd
?
d
?
?
?
d?
?
d
?
00
?
F(r,
?
,
?
)r
0
2
sin
?
dr
重心:x?
1
M
???
x
?
dv,  y?
?
?
1M
???
y
?
dv,  z?
?
?
1
M
???
z
?
dv,  其中M?x?
???
?
d v
??
?
转动惯量:I
x
?
???
(y
2
?z
2
)
?
dv,  I
y
?
???(x
2
?z
2
)
?
dv,  I
z
?
???
(x
2
?y
2
)
?
dv
曲 线积分:
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
?
x?
?
(t)
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:,  (
?
?t?
?
),则:
?
y?
?
(t)
?
?
L
?
x?t
f(x,y)ds?
?
f[
?
(t),
?
(t)]
?
?
2
(t)?
?
?
2
(t)d t  (
?
?
?
)  特殊情况:
?
?
y?
?
(t)
?
?

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):
?
x?
?
(t)
设L的参数方程为,则:
?
?
y?
?
(t)
?
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
?< br>?
{P[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t)?Q[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t) }dt
L
两类曲线积分之间的关系:
?
Pdx?Qdy?
?
(Pcos
?
?Qcos
?
)ds,其中
?

?< br>分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
?Q?P?Q?P
格林 公式:(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式:(?)dxdy?
?
Pdx?Qdy
?????
?x?y?x?y
DLDL
?Q?P1
当P??y,Q?x,即 :??2时,得到D的面积:A?
??
dxdy?
?
xdy?ydx
?x?y2
LD
·平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域;2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且
减去对此奇点的积分,注意方向相 反!
·二元函数的全微分求积:
?Q?P
在=时,Pdx?Qdy才是二元函数u(x ,y)的全微分,其中:
?x?y
(x,y)
?Q?P
=。注意奇点,如(0 ,0),应
?x?y

u(x,y)?
(x
0
,y
0
)
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy,通常设x
0
?y0
?0。
曲面积分:
22
对面积的曲面积分:
??
f (x,y,z)ds?
??
f[x,y,z(x,y)]1?z
x
(x,y) ?z
y
(x,y)dxdy
?D
xy
对坐标的曲面积分:,其中:< br>??
P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy
?
号;
??
R(x,y,z)dxdy??
??
R[x,y,z( x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正
?D
xy
号;
??
P(x ,y,z)dydz??
??
P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正?D
yz

号。
??
Q(x,y,z)dzdx??
? ?
Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正
?D
zx
两类 曲面积分之间的关系:
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(P cos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
??< br>高斯公式:


???
(
?
?P?Q?R
??)dv?
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(Pcos< br>?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
?x?y?z< br>??
高斯公式的物理意义——通量与散度:
?
?P?Q?R
?
散度:div
?
???,即:单位体积内所产生的流体质量,若div
?
?0 ,则为消失...
斯托克
?x?y?z
?
?
通量:
??A?nds?
??
A
n
ds?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds,
?
因此,高 斯公式又可写成:
???
divAdv?
??
A
n
ds??
???
斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
??
(
?
?R?Q?P?R?Q?P
?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy?
?Pdx?Qdy?Rdz
?y?z?z?x?x?y
?
cos
?
?
?y
Q
cos
?
?
?z
R

d ydzdzdxdxdycos
?
????
上式左端又可写成:?
????< br>?x?y?z?x
??
PQRP
?R?Q?P?R?Q?P
空间曲线积 分与路径无关的条件:?, ?, ?
?y?z?z?x?x?y
ijk
?
? ??
旋度:rotA?
?x?y?z
PQR
??
?
向量场A 沿有向闭曲线?的环流量:
?
Pdx?Qdy?Rdz?
?
A?tds
??
常数项级数:
1?q
n
等比数列:1?q?q?
?
?q?
1?q
(n?1)n
等差数列:1?2?3?
?
?n?

2
111
调和级数:1???
?
?是发散的
23n2n?1
级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法) :
?
?
?1时,级数收敛
?
设:
?
?lim
n
u
n
,则
?
?
?1时,级数发散
n??
?
?
?1时,不确定
?
2、比值审敛法:
?
?
? 1时,级数收敛
U
?
设:
?
?lim
n?1
,则< br>?
?
?1时,级数发散
n??
U
n
?
??1时,不确定
?
3、定义法:
s
n
?u
1
? u
2
?
?
?u
n
;lims
n
存在,则收 敛;否则发散。
n??

交错级数u
1
?u
2
?u
3
?u
4
??(或?u
1
?u
2
?u3
??,u
n
?0)的审敛法——莱布尼兹定理:
?

?
u
n
?u
n?1
如果交错级数满足,那么级数收敛且其和s?u, 其余项r的绝对值r?u。
?
limu?0
1nnn?1
n
?
?
n??
绝对收敛与条件收敛:
(1)u
1
?u
2?
?
?u
n
?
?
,其中u
n
为任意实 数;
(2)u
1
?u
2
?u
3
?
?
?u
n
?
?
如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;< br>如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。

1(?1)
n
调和级数:
?
n
发散,而
?
n
收敛;
1< br>  级数:
?
n
2
收敛;
p?1时发散
1
   p级数:  
?
n
p
p?1时收敛
幂级数:
1
x?1时,收敛于
1?x
1?x?x
2
?x
3
?
?
?x
n
?
?
  
x?1时,发散
对于级数(3)a
0
?a
1
x ?a
2
x
2
?
?< br>?a
n
x
n
?
?
,如果它不是仅在原点收敛,也不是 在全
x?R时收敛
数轴上都收敛,则必存在R,使x?R时发散,其中R称为收敛半径。
x?R时不定
1

?
?0时,R?
求收敛半径的方法:设lim< br>a
n?1
?
?
,其中a
n
,a
n?1
是(3)的系数,则
?
?0时,R???
n??
a
n
?< br>???时,R?0
?
函数展开成幂级数:

f
??
(x
0
)f
(n)
(x
0
)
2
函数展开成 泰勒级数:f(x)?f(x
0
)(x?x
0
)?(x?x
0
)?
?
?(x?x
0
)
n
?
?
2!n!
f
(n?1)
(
?
)

余项:R
n
?(x?x
0
)
n?1
,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:li mR
n
?0
n??
(n?1)!
f
??
(0)2
f
(n)
(0)
n
x
0
?0时即为麦克劳林 公式:f(x)?f(0)?f
?
(0)x?x?
?
?x?
?
2!n!
一些函数展开成幂级数:
m(m?1)
2
m(m?1)
?
(m?n?1)
n
x?
?
?x?
?
   (?1 ?x?1)
2!n!

2n?1
x
3
x
5
x
sinx?x???
?
?(?1)
n?1
?
?
    (???x???)
3!5!(2n?1)!
(1?x)
m
?1?mx?
欧拉公式:
?
e
ix
?e
?ix
cosx??
?
2

e
ix
?cosx?isinx   或?
ix?ix
?
sinx?
e?e
?
2
?三角级数:
a
0
?
f(t)?A
0
?
?A
n
sin(n
?
t?
?
n
)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx)
2
n?1n ?1
其中,a
0
?aA
0
,a
n
?A
n< br>sin
?
n
,b
n
?A
n
cos
?
n

?
t?x。
正交性:1,sin
x
,cos< br>x
,sin2
x
,cos2
x?
sin
nx
,cos
nx?
任意两个不同项的乘积在[?
?
,
?
]上的积分=0。
傅立叶级数:
?

a
0
?
f (x)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx),周期 ?2
?
2
n?1
?
?
1
(n?0,1,2
?
)
?
a
n
?
?
f(x)cosnxdx   < br>?
?
?
?
其中
?
?
?
b?
1
f(x)sinnxdx   (n?1,2,3
?
)
?
n
?
?
?
?
?
11
?
2
1?
2< br>?
2
?
?
?
8
35
 
111
?
2
?
2
?
2
?
?
?
2
24
246
正弦级数:a
n
?0,b
n
?
余弦级 数:b
n
?0,a
n
?
111
?
2
1?< br>2
?
2
?
2
?
?
?(相加)
6234
111
?
2
1?
2
?
2
?2
?
?
?(相减)
12
234
2
?

?
2
?
f(x)sinnxdx  n?1,2,3
?
 f (x)?
?
b
0
n
sinnx是奇函数
?
?
?
0
f(x)cosnxdx  n?0,1,2
?
 f(x)?
a
0
?
?
a
n
cosnx是偶函数
2
周期 为
2l
的周期函数的傅立叶级数:

a
0
?
n< br>?
xn
?
x
f(x)??
?
(a
n
cos?b
n
sin),周期?2l
2
n?1
ll
l
?
1n
?
x
a?f(x)cosdx   (n?0,1,2
?< br>)
?
n
?
ll
?
?l
其中
?
l
?
b?
1
f(x)sin
n
?
x
dx    (n?1,2,3
?
)
?
n
l
?
l
?l
?

微分方程的相关概念:
一阶微分方程:y
?
?f (x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以 化为g(y)dy?f(x)dx的形式,解法:
?
g(y)dy?
?
f(x )dx  得:G(y)?F(x)?C称为隐式通解。
dyy
?f(x,y)?
?< br>(x,y),即写成的函数,解法:

dxx
ydydududxduy
设u?,则?u?x,u??
?
(u),??分离变量,积分后将代替u,
xdxd xdxx
?
(u)?ux
齐次方程:一阶微分方程可以写成
即得齐次方程通解 。
一阶线性微分方程:
dy
1、一阶线性微分方程:?P(x)y?Q(x)
dx
?P(x)dx
当Q(x)?0时,为齐次方程,y?Ce
?
当Q(x )?0时,为非齐次方程,y?(
?
Q(x)e
?
dy
2、贝努力方 程:?P(x)y?Q(x)y
n
,(n?0,1)
dx
全微分方程:
P(x)dx
dx?C)e
?
?P(x)dx

如果P(x ,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程,即:
?u?u
du(x,y )?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,其中:?P(x,y),?Q(x,y)

?x?y
?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程:
f(x)?0时为齐次
d
2
ydy

?P(x)?Q(x) y?f(x),
dx
dx
2
f(x)?0时为非齐次
二阶常系数齐次 线性微分方程及其解法:
(*)y
??
?py
?
?qy?0,其中 p,q为常数;
求解步骤:
1、写出特征方程:(?)r
2
?pr?q?0, 其中r
2
,r的系数及常数项恰好是(*)式中y
??
,y
?
,y的系数;
2、求出(?)式的两个根r
1
,r
2
3、根据r< br>1
,r
2
的不同情况,按下表写出(*)式的通解:

r
1
,r
2
的形式

(*)式的通解

两个不相等实根
(p
2
?4q?0)

两个相等实根
(p
2
?4q?0)

一对共轭复根
(p
2
?4q?0)

y?c
1e
r
1
x
?c
2
e
r
2
x< br>
y?(c
1
?c
2
x)e
r
1
x

y?e
?
x
(c
1
cos
?
x?c
2
sin
?
x)

r
1
?
?
? i
?
,r
2
?
?
?i
?
4q?p
2

p
?
??,
?
?
22
二阶常系数非齐 次线性微分方程
y
??
?py
?
?qy?f(x),p,q为常数
f(x)?e
?
x
P
m
(x)型,
?
为常 数;
f(x)?e
?
x
[P
l
(x)cos
?x?P
n
(x)sin
?
x]型



播音与主持培训-重庆理工大学录取分数线


中国有多少省份-英国留学学费


高中数学必修二-中国最落后三个省份


新闻学专业-重要的在于参与


cos2x等于多少-永州职业学院


没人愿意干的暴利行业-长沙的学校


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