数学公式大全高中关于抛物线焦点的公式

北 京 四 中

撰 稿：安东明 编 审：安东明 责 编：辛文升
本周重点：圆锥曲线的定义及应用
本周难点：圆锥曲线的综合应用
本周内容：
一、圆锥曲线的定义
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长 （定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫
做椭圆。即：{P| |PF
1
|+|PF
2
|=2a, (2a>|F
1
F
2
|)}。
2. 双曲线：到两个定点的 距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨
迹叫做双曲线。即{P|||PF
1
|-|PF
2
||=2a, (2a<|F
1
F
2
|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义： 到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆
锥曲线。当01时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。
1. 椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a
2
=b
2
+ c
2
）
2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c
2
=a
2
+b
2
）
3.抛物线：y
2
=±2px（p>0），x
2
=±2py（p>0）

三、圆锥曲线的性质
1.椭圆：+=1（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a，|y|≤b
（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(0,1)
（5）准线：x=±


2.双曲线：-=1（a>0, b>0）
（1）范围：|x|≥a, y∈R
（2）顶点：(±a,0)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(1,+∞)
（5）准线：x=±
（6）渐近线：y=±

x
3.抛物线：y
2
=2px(p>0)
（1）范围：x≥0, y∈R
（2）顶点：（0,0）
（3）焦点：（,0）
（4）离心率：e=1
（5）准线：x=-

四、例题选讲：

例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的
位置的影响。

例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。
解 ：（1）椭圆的焦点在x轴上，a
2
=m，b
2
=4，c
2
=m-4，e
2
===m=8。
（2）椭圆的焦点在y轴上，a
2< br>=4，b
2
=m，c
2
=4-m，e
2
===m=2 。
注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主
观丢掉一解。

例3.如图：椭圆+=1（a>b>0），F
1
为左焦点，A、B是两 个顶点，P为椭圆上一点，
PF
1
⊥x轴，且POAB，求椭圆的离心率e。

解：设椭圆的右焦点为F
2
，由第一定义：|PF
1
|+|PF
2
|=2a,
∵ PF
1
⊥x轴，∴ |PF< br>1
|
2
+|F
1
F
2
|
2
=|PF
2
|
2
，
即(|PF
2
|+|P F
1
|)(|PF
2
|-|PF
1
|)=4c
2< br>,
∴ |PF
1
|=。
∵ POAB，∴ ΔPF
1
O∽ΔBOA,
∴ = c=ba=c, ∴ e==。
又解，∵ PF
1
⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。
由第二定义：=e|PF
1
|=e(x
0
+)=(-c+)=,
由上解中ΔPF
1
O∽ΔBOA，得到b=ce=。
例4.已知F
1
，F
2
为椭圆
的面积。
+=1的焦点， P为椭圆上一点，且∠F
1
PF
2
=，求ΔF
1
PF
2
分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。
解法一：S
Δ
=|PF
1
|·|PF
2
|·sin
|PF
1
|+|PF
2
|=2a=20，
4×3 6=4c
2
=|F
1
F
2
|
2
=|PF< br>1
|
2
+|PF
2
|
2
-2|PF
1
||PF
2
|cos
即(|PF
1
|+|PF
2
|)
2
-3|PF
1
||PF
2
|=4×36 ，
|PF
1
|·|PF
2
|=
∴ S
Δ
=×

×=。
，
解法二：S
Δ< br>=|F
1
F
2
|·|y
P
|=×12×y
P
=6|y
P
|，
由第二定义：=e|PF
1
|=a+ex
P
=10+x
P
，
由第一定义：|PF
2
|=2a-|PF
1
|=10-x
P
，
4c
2
=|F
1
F
2
|2
=(10+x
P
)
2
+(10-x
P
)2
-2(10+x
P
)(10-x
P
)cos，
144=100+=， =64(1-)=64×，
S
Δ
=6|y
P
|=6×

=。
注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法
都试试。

例5.椭圆
|PF
1
|，|PF
2
|。

+=1 的焦点为F
1
和F
2
，点P在椭圆上，若线段P F
1
的中点在y轴上，求：
分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关 于|PF
1
|，|PF
2
|的表达式写出来，再求
解。
解：如图，∵O为F
1
F
2
中点，PF
1
中点在y轴上，∴ PF
2
y轴，∴PF
2
⊥x轴，
由第一定义：|PF
1
|+|PF
2
|=2a=4
|PF
1
|
2
-|PF
2
|
2
=|F
1
F
2
|
2
，
(|PF
1
|-|PF2
|)(|PF
1
|+|PF
2
|)=4×9=36，
，
。
例6.椭圆：
的最值。

解：
+=1内一点A（2，2），F
1
，F
2
为焦点，P为椭圆上一 点，求|PA|+|PF
1
|
|PA|+|PF
1
|=|PA|+2 a-|PF
2
|=10+|PA|-|PF
2
|≤|AF
2
|+10=2+10，
。 |PA|+|PF
1
|=|PA|+10-|P F
2
|=10-(|PF
2
|-|PA|)≥10-|AF
2
|=10-2
注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边。

例7.已知：P为双曲线-=1（a>0, b>0）上一点，F
1
，F
2
为焦点，A
1
，A
2
为其顶点。
求证：以PF
1
为直径的圆与以A
1
，A
2
为直径的圆相切。

证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF
1
中点为O＇, A
1
A
2
中点为O，
|OO＇|=|PF
2
|，圆O半径为|A
1
A
2
|，圆O＇半径为|PF
1
|
由双曲线定义：|PF
1
|-|PF
2
|=|A
1A
2
|
|PF
1
|-|A
1
A
2
|=|PF
2
|=|OO'|
∴ 两个圆相内切。
注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。

例8.已知：过抛物线y
2
=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P，
Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准 线相切。
证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|, |QQ＇|=|QF|
|PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|)，
故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。


五、课后练习
1. 椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直，则ΔPF
1
F
2
的面积为（ ）
A、20 B、22 C、28 D、24

2. 若点P (a,b)是双曲线x
2
-y
2
=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a +b=( )
A、-

B、 C、-2 D、2
3. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是（ ）
A、y
2
=16x或x
2
=16y B、y
2
=16x或x
2
=-16y
C、x
2
=-12y或y
2
=16x D、x
2
=16y或y
2
=-12x

4. 已知：椭圆
为定值。

+=1（a>b>0）上两点P、Q，O为原点，OP⊥OQ，求证：+
六、练习答案：
1. D 2. B 3. C

4. 设P(|OP|cosα, |OP|sinα), Q(|OQ|cos(α+90°), |OQ|sin(α+90°))，利用两点距离公式及三角公
式，+=。