工时公式浙教版初中数学七年级下册《5.4乘法公式》2课时教案设计

5.4 乘法公式（1）
【教学目标】
知识目标：1、观察总结平方差公式的特 点和结果。并能判断多项式相乘是否能运用平方
差公式计算。
2、掌握平方差公式，并能从广泛意义上理解公式中字母的含义。
3、会运用平方差公式进行多项式的乘法运算。
4、会用平方差公式进行简便计算。
过程与方法：通过运用多项式乘以多项式法则，观察、猜想、验证 、平方差公式应用的条
件和结论，并初步学会运用平方差公式。
情感态度与价值观：通过“合 作学习”，使学生体验数学有关结论的形成过程，养成良好
的数学学习思考的习惯。
【教学重点、难点】
重点：掌握平方差公式
难点：构造图形来解释平方差公式，需要较强的综合运用数学的能力，是本节的教学难点。
【教学准备】
电脑、投影
【教学过程】
一、设情景，引出课题：
昨天我们学习了多项式相乘的法则。（学生回忆）。今天老师在一本参考书上看到这
样一些多项式相乘 和相乘的结果，请同学们观察他们的特点，并猜想下面的多项式相乘的结
果。
２２
（1）（x+2）（x-2）=x－４ （２）（3-a）（3+a）=9-a
２２
（3）（5m+2n）（5m-2n）=25m- 4n
小组合作：
1、 这些多项式相乘有特点吗？有什么特殊？
2、 他们的结果有什么特点？和等式左边的多项式有什么联系？
3、 运用你观察的结论，猜想下列多项式相乘的结果。并用所学的知识进行验证。
（a）（a+2）（a-2）=
（b）（3-x）（3+x）=
（c）（2m+n）（2m-n）=
（d）（a+b）（a-b）=
二、交流对话，探索新知：
1、 请学习小组的代表根据所观察的结论进行总结：
（1） 等式的左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差。
（2） 等式的右边是这两个数（字母）的平方差。
2、以（a+b）（a-b）为例，师生共同猜想结论，并共同验证：
２２２２
（a+b）（a-b）= a

- ab +ab-b =a-b

教师揭示，这就是代数中重要的乘法公式之一：平方差公式。并结合投影片讲清公式
与特征的对应关系及用语言叙述此公式。
平方差公式


（a + b） × （a - b） = a
２
- b
２

两数和 两数差 两数平方差




两数和与这两数差的积等于这两数的平方差

做一做： 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系直观地说
明平方差公式 吗？


a-b
a+b
a+b
a-b
a

a
b




图甲 图乙
想一想：要把图乙的面积算出来，我们可以用小学的什么知识完成。（用割补法）
对照公式说出下列各题中的数（字母）与公式中的字母的对应关系并计算，教师以
适当点评。
计算：
(a+b)（a-b）
（y+3）（y-3）
（a+3b）
（a-3b）
（1–5b）
（1+5b）
（-x+2）（-x-2）



a

3b
b
a-b
y- 3

２２
２２
b
最后结果
y- 9
２２
1

例1、用平方差公式计算：
（1）（3x+5y）（3x-5y）
（2）
例2、（1）103×97 （2）59.5×60.2
分析：把相乘的两个数写成两数和与两数差的形式，这样就可以使用平方差
公式。
三、课堂练习：p127 1、2、3、4、 p127 5、6、7（注意引导学生 观察相乘
两个式子的特点，能否使用今天所学的平方差公式，平方差公式公式中的a、b表示的
是什么数字（字母）
四、 归纳小结，反思提高：
1 通过本课的探讨学习，你获得了哪些新知识，你认为有哪些方面的进步。
（让学生进行总结，通过学生个人回顾、合作交流）
2、平方差公式及语言叙述
3、公式中的字母一定是数字吗？
4、公式中的字母a和字母b如何区分？特点是什么？是否是前面的一定是a ，后面的
一定是b？
五、布置作业：作业本


5.4 乘法公式（2）

【教学目标】
1、掌握完全平方公式。
2、会用完全平方公式进行多行式的乘法运算。
【重点和难点】
1、重点是完全平方公式。
2、从两数和的完全平方公式到两数差的完全平方公式的推理方法 ，学生不容易理解，
是本节教学的难点。
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
1、让学生运用多项式与多项式相乘的法则，完成下列的运算：
b
① (a+b)
2
② (2+x)
2
③ (2a+x)
2

2、让学生观察右边的图形，然后能否发现有什么规律？
能写出(a+b)
2
的结果吗？
a

即 (a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2

让学生用文字语言叙述上面的关系式：两数和的平方，等于这两数
的平方和，加上这两数积的2倍。
a b


3、做做P.128
二、动手交流，探讨公式
1、提问：能否用两数和的完全平方公式，推出两数差的完全平方公式？
(a-b)
2
可看成哪二数和的完全平方？让学生动手运用两数和的完全平方公式算出结果，
即(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
。让学生通过交流，自己用文字语 言概括出两数差的完全平方公式，即
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。然后与 两数和的完全平方公
式作比较，让学生自己找出它们的相同之处和区别。
公式
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2

(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2


2、强调指出公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是单项式，甚至可以是一个
更复杂的 代数式。
三、师生互动，运用公式
例1：用完全平方公式计算
① (x+2y)
2
； ② (2a-5)
2
；

③ (-2s+t)
2
； ④ (-3x-4y)
2
分析： 第①、②两题可直接用和、差平方公式计算；第③题可先把它变成(t-2s)
2
，然
后再计算，也可以把-2s看成一项，用和平方公式计算；第④题可看成-3x与4y差的平方，
也可 以看成-3x与-4y和的平方。
解：（1）（x+2y）
2
= x
2
+2·x·2y+(2y )
2

相同点
1、 结果都是3项
2、 结果都有a
2
+b
2

区别
和平方中间一项是2ab，
差平方中间一项是-2ab。
= x
2
+4xy+4y
2
.
(2 ) (2a–5 )
2
= (2a)
2
–2·2a·5+5
2

= 4a
2
–20a+25.
(3 ) (–2s+t )
2
= ( t–2s)
2

= t
2
–2·t·2s + (2s)
2

= t
2
–4ts + 4s
2
.


(4 ) (–3x–4y)
2
= (–3x)
2
–2·(–3x)·4y + (4y )
2
= 9x
2
+24xy+16y
2

例2：一花农有4块正方形茶花 苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m，现将
这4块苗圃的边长都增加1.5m， 求各苗圃的面积分别增加了多少m
2
？
分析：本题如直接计算，比较麻烦。可设原正 方形苗圃的边长为am，边长增加1.5m
后，新正方形的边长为(a+1.5)m，则面积增加了(a +1.5)
2
-a
2
，注意应该先把式子化简，再代
入求值。 解：设原正方形苗圃的边长为am，边长增加1.5m后，新正方形的边长为（a+1.5）
m..
（a+1.5）
2
–a
2
= a
2
+3a+2.25–a
2
= 3a+2.25.
当a = 30.1时， 3a+2.25 = 3×30.1+2.25 = 92.55；
当a = 29.5时， 3a+2.25 = 3×29.5+2.25 = 90.75.
类似地，当a = 30，a = 27时，3a+2.25的值分别为92.25，83.25.
所以4块茶花苗圃的面积分别增加了92.55m
2
，90.75m
2
，92 .25m
2
，83.25m
2
.
例3：计算：（2x＋y–3z）
2
分析：可把2x＋y看成一项，用差平方公式计 算，然后再用和平方公式计算，也可
以把它看成2x与y–3z的和平方，再用差平方公式计算。
解：（2x＋y–3z）
2
＝（2x）
2
＋2×2x (y–3z) + (y–3z)
2
= 4x
2
+ 4xy–12xz +y
2
–2×y×3z + (3z)
2

= 4x
2
+y
2
+ 9z
2
+ 4xy–12xz–6 yz
四、练习反馈，巩固新知
1、课内练习：P.130， 1、2
① 第1题中的第①小题错在与平方差公式混淆。第②小题中间一项漏乘2。
② 第2题叫6个学生上来板演。
2、计算：①(2x-1)(-1+2x)；②(-2x-y)(2x-y) ；③(ab-1)(-ab+1)，让三个学生上来做，
发现错误，教师及时指正。
五、梳理知识，归纳小结
① 两数和平方公式：(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2

② 两数差平方公式：(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2

③ 特别要注意公式乘开以后都有三项及怎样确定中间一项的符号。
六、布置作业，体验成功
P130：1、3、4、5、6