机动战队公式浙教版七年级数学下册用乘法公式分解因式教案

4.3 用乘法公式分解因式
学习目标
1．能说出平方差公式和完全平方公式的特点．
2．能较熟练地应用公式分解因式．
学习重、难点
学习重点：应用公式分解因式．
学习难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
学习过程
(一)知识链接
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
问题3：你能将
a
2-
b
2
分解因式吗？你是如何思考的？
(二)探索平方差公式分解因式
观察平方差公式：
a
-
b
=(
a
+
b)(
a
-
b
)的项、指数、符号有什么特点？
(1)左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
(2)右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
(3)在乘 法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式
的多项式．
由此 可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这
个多项式可以运用平方 差公式分解因式．
填空：
(1)4
a
2
=( )
2
；(2)
22
4
2
b
=( )
2
；
9
(3)0．16
a
4
=( )
2
；(4)1．21
a
2
b
2
=( )
2
；
(5)2
1
4
4
x
=( )
2
；(6)5
x
4
y
2
=( )
2
．
49
(三)运用平方差公式分解因式
1、分解因式 (1)4
x
2
-9(2)(
x
+
p
)
2
-(
x
+
q
)
2、分解因式
(1)
x
4
-
y
4
(2)
a
3
b
-ab

3、计算758
2
-258
2
注：(1)多项式分解因式的结果要化简．

(2)在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项．


(四) 在前面我们不仅学习了平方差公式(
a
+
b
)(
a
－
b
)=
a
2
－
b
2
，而且还学习了完全平方公< br>式(
a
±
b
)=
a
±2
ab
+b
．
(五) 探索完全平方公式分解因式
1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．
由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
将完全平 方公式倒写：
a
2
+2
ab
+
b
2
=(< br>a
+
b
)
2
；
a
2
－2
a b
+
b
2
=(
a
－
b
)
2
．便得到用完全平方公式
分解因式的公式．
从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项， 其中两项符号为“+”，是一个整式的
平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍． 凡具备这些特点的三项式，
就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解．
左边的特点有：
(1)多项式是三项式；
(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍．
右边的特点：这两数或两式和(差)的平方． < br>用语言叙述为：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的乘积的2倍，等于这两个数的
和(或差 )的平方．形如
a
2
+2
ab
+
b
2
或< br>a
2
－2
ab
+
b
2
的式子称为完全平方式 ．
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某
些多 项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
练一练
下列各式是不是完全平方式？
(1)
a
2
－4
a
+4；
(2)
x
+4
x
+4
y
；
(3)4a
2
+2
ab
+
22
222
1
2b
；
4
(4)
a
2
－
ab
+
b
2
；
(5)
x
2
－6
x
－9；
(6)
a
2
+
a
+0．25．
判断一个多项式是 否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且
能写成两个数或式的平方；另一项是 这两数或式乘积的2倍．
2．例题讲解
1、把下列完全平方式分解因式：
(1)
x
2
+14
x
+49；
(2)(
m
+
n
)
2
－6(
m
+
n
)+9 ．

先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a
，
b
可以是单项式，也可以是多项式．
解：(1)
x
+14
x
+49=
x
+2×7
x
+7=(
x+7)
(2)(
m
+
n
)－6(
m
+
n
)+9=(
m
+
n
)－2·(
m
+
n
)×3+3=［(
m
+
n
)－3］=(
m
+
n
－3)．
2、把下列各式分解因式：
(1)3
ax
2
+6
axy
+3
ay
2
；
(2)－
x
2
－4
y
2
+4
xy
．
如果三项中有两项能写成 两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”
号，然后再用完全平方公式分解因式．
解：(1)3
ax
+6
axy
+3
ay

=3
a
(
x
+2
xy
+
y
)
=3
a
(
x
+
y
)
2
．
(2)－
x
2
－4
y
2
+4
xy

=－(
x
－4
xy
+4
y
)
=－［x
－2·
x
·2
y
+(2
y
)］
=－(
x
－2
y
)
2
．
如果把乘法公式 反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做
运用公式法.
（六）课堂小结
要掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式，有时候某些单项式化为平方形 式，再用
平方差公式分解因式
22
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