关键词不能为空

当前您在: 主页 > 高中公式大全 >

退休金公式(完整word版)[初一数学]乘法公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-13 13:08
tags:乘法公式

动词不定式-宠的像个孩子暖心句子


乘法公式
一、平方差公式:(a+b)(a-b)=a
2
-b
2

要注意等式的特点:
(1)等式的左边是两个二项式的乘积,且这两个二项式中,有一项相同,
另一项互为相反数;
(2)等式的右边是一个二项式,且为两个因式中相同项的平方减去互为相
反数的项的平方.
值得注意的是,这个公式中的字母a,b可以表示数,也可以是单项式或多
项式.平方差公 式可以作为多项式乘以多项式的简便公式,也可以逆用做为快速
计算的工具.
例1 下列各式中不能用平方差公式计算的是( ).
A.(a-b)(-a-b) B.(a
2
-b
2
)(a
2
+b
2

C.(a+b)(-a-b) D.(b
2
-a
2
)(-a
2
-b
2

解:C.根据上面平方差公式的结构特点,A中,-b是相同的项,a与-a
是性质符号相 反的项,故可使用;B中a
2
是相同项,-b
2
与b
2
是互 为相反数符
合公式特点;同样D也符合.而C中的两个二项式互为相反数,不符合上述的等
式的 特征,因此不可使用平方差公式计算.
例2 运用平方差公式计算:
(1)( x
2
-y)(-y- x
2
);
(2)(a-3)(a
2
+9)(a+3).
解:(1)( x
2
-y)(-y- x
2

=(-y + x
2
)(-y- x
2

=(-y)
2
-( x
2

2

=y
2


x
4

(2)(a-3)(a
2
+9)(a+3)
=(a-3)(a+3)(a
2
+9)
=(a
2
-3
2
)(a
2
+9)
=(a
2
-9)(a
2
+9)
=a
4
-81 .

例3 计算:
(1)54.5
2
-45.5
2

(2)(2x
2
+3x+1)(2x
2
-3x+1).

分析:(1)中的式子具有平方差公式的右边的形式,可以逆用平方差公式;
(2)虽然没 有明显的符合平方差公式的特点,值得注意的是,平方差公式中的
字母a,b可以表示数,也可以是单项 式或多项式,我们可以把2x
2
+1看做公式
中字母a,以便能够利用公式.正如前文 所述,利用平方差可以简化整式的计算.

解:(1)54.5
2
-45.5
2

=(54.5+45.5)(54.5-45.5)
=100×9
=900 ;

(2)(2x
2
+3x+1)(2x
2
-3x+1)
=(2x
2
+1)
2
-(3x)
2

=4x
4
+4x
2
+1-9x
2
=4x
4
-5x
2
+1

二、完全平方公式: (a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2

(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2


二项式的平方,等于其中每一项(连同它们前面的符号)的平方,加上这两
项积的两倍.

完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式,在有关代数式的变形和
求值 中应用广泛.正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点,通过与平方
差公式的类比加深理解和记忆 .运用中要防止出现(a±b)
2
=a
2
±b
2
,或(a- b)
2
=a
2
-2ab-b
2
等错误.

需要指出的是,如同前面的平方差公式一样,这里的字母a,b可以表示数,
也可以是单项式或多项式.

例1 利用完全平方公式计算:
(1)(-3a-5)
2
; (2)(a-b+c)
2


分析:有关三项式的平方可以看作是二项式的平方,如(a-b+c)
2
=[(a
-b)+c]
2
或[a-(b-c)]
2
,通过两次应用完全平方公 式来计算.

解:(1)(-3a-5)
2

=(-3a)
2
-2×(-3a)×5 + 5
2

=9a
2
+ 30a + 25

(2)(a-b+c)
2

=[(a-b)+c]
2

=(a-b)
2
+ 2(a-b)c + c
2

=a
2
-2ab+b
2
+2ac-2bc + c
2

=a
2
+b
2
+ c
2
+2ac-2ab-2bc .

例2利用完全平方公式进行速算.
(1)101
2
(2)99
2


解: (1)101
2

分析:将101变形为(100+1)原式可
22
=(100+1)
2
利用完全平方公式来速算.
=100
2
+2×100×1+1
2

=10201

解: (2)99
2

分析:将99
2
变形为(100-1)
2
原式可
=(100-1)
2
利用完全平方公式来速算.
=100
2
-2×100×1+1
2

=9801

例3 计算:
(1) 99
2
-98×100 ;(2)49×51-2 499 .

解:(1)99
2
-98×100
=(100-1)
2
-98×100
=100
2
-2×100+1-9800
=10000 - 200-9800+1
=1;

(2)49×51-2499
=(50-1)(50+1)-2499
=2500-1-2499
=0.

例4 已知a+b=8,ab=10,求a
2
+b
2
,(a-b)
2
的值.

分析:由前面的公式变形可以知道:a
2
+ b
2
=(a+b)
2
-2ab,(a-b)
2
=(a
+b)
2
-4ab.

解:由于a
2
+ b
2
=(a+b)
2
-2ab,(a-b)
2
=(a+b)
2
-4ab.而a+b=8,
ab=10

所以
a
2
+ b
2
=(a+b)
2
-2ab= 8
2
- 2× 10= 44
(a-b)
2
=(a+b)
2
-4ab=8
2
- 4× 10= 24 .

三:练习

1.利用乘法公式进行计算:
(1) (x-1)(x+1)(x
2
+1)(x
4
+1) (2) (3x+2)
2
-(3x-5)
2
(3)
(x-2y+1)(x+2y-1)

(4) (2x+3y)
2
(2x-3y)
2
(5) (2x+3)
2
-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)
2


(6) (x+x+1)(x-x+1)

解:(1) 原式=(x
2
-1)(x
2
+1)(x
4
+1)
=(x
4
-1)(x
4
+1)
=x
8
-1.

(2)解法1:原式=(9x
2
+12x+4) -(9x
2
-30x+25)
=9x
2
+12x+4-9x
2
+30x-25
=42x-21

解法2:原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)]
=(6x-3)×7
=42x-21.

(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]
=x
2
-(2y-1)
2

=x
2
-(4y
2
-4y+1)
=x
2
-4y
2
+4y-1

(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]
=(4x
2
-9y
2
)
2

=16x
4
-72x
2
y
2
+81y
4

2
22

(5) 原式=[(2x+3) -(3x-2)]
2

=(-x+5)
2

=x
2
-10x+25

(6) 原式=[(x
2
+1)+x][(x
2
+1) -x]
=(x
2
+1)
2
-x
2

=(x
4
+2x
2
+1) -x
2

=x
4
+x
2
+1

2.已知:a+b=5, ab=3,求:(1) (a-b)
2


解:(1) (a-b)
2
=(a+b)
2
-4ab
=5
2
-4×3
=13

(2) a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab
=5
2
-2×3
=19.
在线测试
2
+b
2
;(2) a
选择题

1.在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是( )
A、(x+1)(1+x) B、( a+b)(b- a)
C、(-a+b)(a-b) D、(x
2
-y)(x+y
2
)
2.下列各式计算正确的是( )
A、(a+4)(a-4)=a
2
-4 B、(2a+3)(2a-3)=2a
2
-9
C、(5ab+1)(5ab-1)=25a
2
b
2
-1 D、(a+2)(a-4)=a
2
-8
3.(- x+2y)(- x-2y)的计算结果是( )
A、 x-4y B、4y-
222
x
2
C、 x
2
+4y
2
D、- x
2
-4y
2

4.(abc+1)(-abc+1)(a< br>2
b
2
c
2
+1)的结果是( )。
A、a
4
b
4
c
4
-1 B、1-a
4
b
4
c
4

C、-1-a
4
b
4
c
4
D、1+a
4
b
4
c
4

5.下列各式计算中,结果错误的是( )
A、a(4a+1)+(2a+b)(b-2a)=a+b
2
.
B、
C、m-(5m+3n)(5m-3n)+6(2m-n)(n+2m)=3n
22
D、
答案与解析
答案:1、B 2、C 3、A 4、B 5、D

解析:
1.B. (
B。

a+b)(b- )=(b+ a)(b- a).符合平方差公式的特点,故选
2.C. (a+4)(a-4)=a
2
-4
2
=a
2
-16, 故A错;
(2a+3)(2a-3)=(2a)
2
-3
2=4a
2
-9,故B错。
(5ab+1)(5ab-1)=(5a b)
2
-1
2
=25a
2
b
2
-1,故C 正确;
(a+2)(a-4)=a
2
+(2-4)a+2?(-4)= a
2
-2a-8,故D错。

3.A.原式=(-

x)
2
-(2y)
2
= x
2
-4y
2
.
4.B.原式=(1+abc)(1-ab c)(1+a
2
b
2
c
2
)
= [1
2
-(abc)
2
](1+a
2
b
2
c
2
)
=(1-a
2
b
2
c< br>2
)(1+a
2
b
2
c
2
)
=1-a
4
b
4
c
4
.

5.D.
符号。
才正确,差一个
中考解析:
乘法公式
平方差公式
考点扫描:

熟练掌握平方差公式,灵活运用平方差公式进行计算.

名师精讲:

1.平方差公式:(a+b)(a–b)=a
2
–b
2
.即两个 数的和与这两个数的差的积
等于这两个数的平方差.平方差公式的左边是两个数的和与这两个数的差相乘 ,
而右边正好是这两个数的平方差.

2.平方差公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.

中考典例:

1.(湖北武汉)观察下列各式(x–1)(x+1)=x
2< br>–1,(x–1)(x
2
+x+1)=x
3
–1,(x
–1) (x
3
+x
2
+x+1)=x
4
–1,根据前面各式的规律 可得(x–1)(x
n
+x
n

1
+…
+x+1) =___________.

考点:平方差公式的延伸

评析:该题是一个探索规律性的试题,要通过观察把握住给出的等式中的不
变量和变量与变量间的变化规 律.不难发现其结果为x
n+1
–1.

真题专练:

1.(广东省)化简:(x+y)(x–y)–x
2
= .

2.(德阳市)化简:x
2
–(x+y)(x–y)

答案:1、原式=x
2
–y
2
–x
2
=–y
2 2、原式=x
2
–(x
2
–y
2
)=x
2
–x
2
+y
2
=y
2

完全平方公式
考点扫描:

熟练掌握完全平方公式,灵活运用完全平方公式进行计算

名师精讲:

1.完全平方公式:(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2
,即:两数和(或差)的平方,等
于它们的平方和,加上(或者减去)它们的积的2倍.

2.公式中的字母a、b,可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.公式
可 推广:(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2+2ab+2ac+2bc.即三个数的和的平方,等于各个数的
平方和加上每两个数的积的2倍.

3.如果一个多项式能化成另一个多项式的平方,就把这个多项式叫做完全
平方 式.如,a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2
;a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)
2
,则a
2
±2ab+b
2
和a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式.

中考典例:

1.(北京西城区)下列各式计算正确的是( )
A、(x–1)
2
=x
2
–2x+1 B、(x–1)
2
=x
2
–1
C、x
3
+x
3
=x
6
D、x
6
÷x
3
=x
2


考点:完全平方公式及幂的运算性质

评析:该题是考查学生对公式及幂的运算法则掌 握的情况,所以解决此题就
要对公式特别是完全平方公式及幂的运算法则掌握熟练,由完全平方公式(a ±
b)
2
=a
2
±2ab+b
2
可以判定A对,B 不对,由整式的加减可判定C不对,再根据同
底数幂除法的法则确定D也不对,因此只有选A.

说明:当该题确定A选项后,其他选项也可以不考虑,因为数学试题中一般
不会出现多选题.

真题专练:

1.(上海市)下列计算中,正确的是( )
A、a
3
·a
2
=a
6
B、(a+b)(a–b)=a
2
–b
2

C、(a+b)
2
=a
2
+b
2
D、(a+b)(a–2b)=a
2
–ab–4b
2


2.(湖南长沙)下列关系式中,正确的是( )
A、(a–b)
2
=a
2
–b
2
B、(a+b)(a–b)=a
2
–b
2

C、(a+b)
2
=a
2
+b
2
D、(a+b)
2
=a
2
–2ab+b
2


3.(德阳市)已知x(x–1)–(x
2
–y)=–3求:

答案:

1、B 2、B
的值.

3、由x(x–1)–(x
2
–y)=–3得x–y=3,
= = .当x–y=3时,原式= .
课外拓展:
乘法公式漫谈
初一要学习两个乘 法公式,即平方差公式和完全平方公式,初学者对于各乘
法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义往 往不易掌握,运用时容易混淆,
因此要学习好乘法公式,必须注意以下几点.

一、注意乘法公式的推导

乘法公式是直接计算特殊的多项式乘法得来的,即:

平方差公式:(a+b)(a-b)=a
2
-ab+ab-b
2
=a
2
-b
2


完全平方公式:(a +b)
2
=(a+b)(a+b)=a
2
+ab+ab+b
2
=a
2
+2ab+b
2

(a-b)
2
=(a-b)(a-b)=a
2
-ab- ab+b
2
=a
2
-2ab+b
2


由此可见,理解乘法公式要与多项式乘法联系起来,这样对公式才理解的深、
记得准、记得牢,一旦把公 式忘记了,自己也可以把公式推导出来.

二、注意掌握乘法公式的结构特征

乘法公式的结构特征是各公式的本质所在.在学习时,应仔细观察其结构特
征,并会用语言加以表述.

平方差公式:(a+b)(a-b)=a
2
-b
2


结构特征:公式的左边是两个数和与这两个数差的积,而右边是这两个数的
平方差.

完全平方公式:(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2
.

结构特征:公式的左边是两个数的和(或差)的平方,而右边是这两个数的平
方 和加上(或减去)这两个数的积的2倍.

三、注意弄清乘法公式中的字母含义

公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式、多项式,只要符合
公式 的结构特征,就可以利用公式.例如:
(2m+5n)(2m-5n)=(2m)
2< br>-(5n)
2
=4m
2
-25n
2
.
(4x+3y)
2
=(4x)
2
+2·4x·3y+(3y)
2=16x
2
+24xy+9y
2
.

四、注意运用公式容易出现的错误

在学习中不少同学经常出现如下错误:
(1)(a+b)(a+b)=a
2
+b
2

(2)(a+b)
2
=a
2
+b
2
;(a-b)
2
=a
2
-b
2


错误(1)的原因是模 仿平方差公式所至,切记只有平方差公式,没有平方和
公式;错误(2)的原因是与积的平方(ab)< br>2
=a
2
b
2
相混淆.对于这些错误,同学们只
要利 用多项式的乘法计算一下,即可得到验证.

五、注意掌握公式的形式变形

平方差公式的常见变形:

(1)位置变化:(a+b)(-b+a)=_________;

(2)符号变化:(-a-b)(a-b)=_________;

(3)系数变化:(3a+2b)(3a-2b)=_________;

(4)指 数变化:(a
3
+b
2
)(a
3
-b
2
) =_________;

(5)项数变化:(a+2b-c)(a-2b+c)=_________;

(6 )连用变化:(a+b)(a-b)(a
2
+b
2
)=_________.

只要掌握了平方差公式的结构特征,这些变形即可得解。

完全平方公式的常见变形:

(1)a
2
+b
2
= (a+b)
2
-2ab=(a-b)
2
+2ab;

(2)(a+b)
2
+(a-b)
2
=2(a
2
+b
2
);

(3)(a+b)
2
-(a-b)
2
=4ab.

这些变形应用十分广泛,因而要熟记这些变形公式.

六、注意公式的灵活运用

1.连续运用乘法公式.

例1计算(x+3)(x-3)(x
2
+9).

解:原式=(x
2
-9)(x
2
+9)=x
4
-81.

例2计算(m+n)(m-n)(m
2
-n
2
).

解:原式=(m
2
-n
2
)(m
2
-n
2
)=(m
2
-n
2
)
2
=m
4
-2m
2
n
2
+n
4


说明:例1是两次运用平方差公式;例2是先运用平方差公式,再运用完全
平方公式.

2.灵活选用乘法公式.

例3计算[(x+3y)(x-3y)]
2


分析:本题若先根据 积的乘方性质,再用完全平方公式计算比较复杂,而先
用平方差公式,再运用完全平方公式,简捷明快, 富有较强的灵活性.

解:原式=(x
2
-9y
2
)
2
=x
4
-18x
2
y
2
+81y4
.

3.逆用乘法公式.

例4计算(1-y)
2
-(1+y)
2


分析: 本题的常规解法是先用完全平方公式将(1-y)
2
和(1+y)
2
展开,再 合并
同类项,若能想到平方差公式逆用,其解法非常简便。

解:原式=[(1-y)+(1+y)][(1-y)-(1+y)]=-4y.

4.变形运用乘法公式

例5.已知x+y=4,且x-y=10,则2xy=________.(天津市中考题)

分析:本题的常规解法是解二元一次方程组,而运用完全平方公式的变形公
式求解,会更巧妙、灵活。

解:∵ 4xy=(x+y)
2
-(x-y)
2
=16-100=-84.
∴ 2xy=-42.

choice可数吗-单摆测重力加速度实验报告


白色沉淀-熬夜后第二天如何补救


广东招生-姑且的拼音


地球一共有多少个国家-湖南公安高等专科学校


地中海气候的成因-目前太阳系有几大行星


免疫系统的三大功能-河南招生网


全国高考分数线排名-高薪职业排行


经纬度距离-健康饮食



本文更新与2020-09-13 13:08,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/393444.html

(完整word版)[初一数学]乘法公式的相关文章