悬臂梁的挠度计算公式可化为等差等比数列的通项公式的常见求法

可化为等差等比数列的通项公式的常见求法
求数列的通项公式是数学高考一个重要内容，可在 小题考也可在
大题来考，是高中数学教学的一个重要内容。而可化为等差等比数
列的数列通项公 式的求法，是这一内容一个难点，也是高考常考点。
现总结如下：
类型一、形如an=an+1+λ+1（ λ≠0）
解法：两边同时除以+1可转化为等差数列11an 。
例1.已知数列{an}满足，a1=3 ，an=an+1++1，nn·求an。
解：将等式an=an+1++1两边同时除以λ+1得：
11an+1=11an+5。
即，对n1，都有11an+1-11an=5。
所以数列11an是以11a1=113为首项，5为公差的等差数列。
11a1=113+5（n-1），an=115n-1413（n1）。
巩固训练：已知数 列{an}满足a1=1，n2时，an-1-an=2an-1an，
求an.（答案an=112n -1）
类型二、形如an+1=pan+r（p，r为常数，且pr（p-1）≠0）
解法：把原递推公式转化为： an+1+λ=p（an+λ），an+1=pan+p
λ-λ对照原递推公式得pλ- λ所以λ=r1p-1从而数列{an+λ}是
等比数列。
例2..已知数列{an}中，a1=2，an+1=112an+112求通项an.
解： an+1+λ=112（an+λ），an+λ=2（an-1+λ），即，
an+1=112an-1 12λ
又∵an+1=112an+112，∴λ=-1，∴ an+1-1=112（an-1），
∴ {an-1}是等比数列，首项为a1-1=1，公比为2。
∴ a1-1=112n-1， ∴an=（112）n-1+1
巩固训练：a1=1，an=3an-1+2已知 ，求an（答案an=2.3n-1-1）.
类型三、形如an=an-11kan-1+b
解法：取倒数后转化为类型二来解。
例3、若数列{an}满足a1=2 an+1=an1an+3求an.
解：∵an+1= an1an+3，取倒数：11an+1=an+31an=1+31an即
11an+1=1+31a n
设11an+1+k=3（11an+1+k）得11an+1=31an+2k与11an+1= 1+31an
比较得k=112
原递推公式化为：11an+1+ 112=3（11an+112）所以11an+112 是
以11a1+112=1为首项，3为公比的等比数列。∴11an+112=3n-1∴
11an==3n-1-112∴an=212.3n-1-1
巩固训练：已知数列{an} 满足a1=4，an+1=an12an+1，求an（答
案an=112n-714）.
类型四、形如an+1=parn
解法：（1）若p>0，an>0，用对数法得一新数列变 为等比数列或
形如类型二，再用此类方法来解即可。
例4.若数列{an}满足a1=3，且an+1=3a2n，求an
解：∵an+1=3a2n，∴an>0，两边取对数，得1gan+1=21gan+1g3，
∴（1gan+1+1g3）=2（1gan+1g3）
∴ {1gan+1g3}是以1ga1+1g3=21g3为首项，以2为公比的等比
数列，
∴ 1gan+1g3=（21g3）.2n-1=2n1g3，∴1gan=（2n-1）1g3=1g32n-1
∴an=32n-1。
巩固训练：数列{an}中，a1=1，an=2an-1（n≥2） ，求数列{an}
的通项公式. （答案：an=22-22-n）
（2）p例6、在数列{ an}中a1=1，a2=2，且an+2=4an+1-3an，
求an。
解：∵ak+2 =4ak+1-3ak，∴an+2=[1-（-3）]an+1-3an即
ak+2-ak+1=3（ ak+1-ak），
∴{ak+1-ak}为首项a2-a1=1等比数列。
∴ak+1-ak=（a2-a1）.3k-1。∴ a2-a1=1=30，a3-a2=31，…，
an-an-1=3n-2。
以上各式相加 得an-a1=1+3+32+…+3n-2=3n-1-113-1=112
（3n-1），∴an= 3n-1+112。
（2）若p+q≠1且p2+4q0时，用待定系数法。设存在x1，x2满足an+1-x1an=x2（an-x1an-1），整理得
an+1=（x1+x2）an- x1x2an-1，有x1+x2=p，x1x2=-q，从而{an+1-xan}
是等比数列，对此 类型五的方法即可。
例7、在数列{an}已知a1=a2=1，an+2=an+1+an（nn· ）求数列{an}
的通项公式.
解析：设an+2-x1an+1=x2（an+1-x1a n）∴an+2=（x2+x1）
an+1-x1x2an对照已给递推式，有x2+x1=1，x1x 2=-1即x1，x2是
x2-x-1=0的两个实根.从而x1=1-512，x2=1+512或x 1=1+512，
x2=1-512
∴ an+2-1-512an+1=1+512（an+1-1-512an） ①
或an+2-1+512an+1=1-512（an+1-1+512an） ②
由式①得 an+1-1-512an=（1+512）n；由式②得an+1-1+512an=
（1-512） n.
消去an+1，得an=115[（1+512）n-（1-512）n]
巩固训练： 已知数列{an}满足a1=1，a2=513，
an+2=513an+1-513an，求数列{a n}的通项公式。（答案：
an=1+2.1-1-213n-1）
类型七：形如an+1=pan+qn+r（其中p、q、r为常数，且pqr≠0）
方法： 设an+1+x（n+1）+y=p[an+xn+y]，则an+1=pan+（px-x）
n+py -x与an+1=pan+qn+r比较有px-x=q
py-x=r从而确定x，y，即得数列{a n+xn+y}是等比数列，用等比
数列通项公式可求得an。
例8. 在数列{an}中，a1=312，2an-an-1=6n-3求通项an.
解：原递推式可化为2（an+xn+y）=an-1+x（n-1）+y
比较系数可得：x=-6，y=9，上式即为2bn=bn-1
所以{bn}是一个等比数列，首项b1=a1-6n+9=912，公比为112.
∴bn=912（112）n-1 即：an-6n+9=9.（112）n故an=9.（112）
n+6n-9。
巩固训练： ：在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n求通项an。（答
案an=512.3n-1 -n-112）
类型八、形如an+1+an=f（n）型
解法：可用类型八来解，但也可 用以下办法：若f（n）为n的函
数（非常数）时，可通过构造转化为an+1-an=f（n）型，通 过累加
来求出通项；或用逐差法（两式相减）得an+1-an-1=f（n）-f（n-1），
分奇偶项来分求通项.
例1. 数列{an}满足a1=0， an+1+an=2n，求数列{an}的通项公
式.
解：∵an+1+an=2n
∴n2时，an+an-1=2（n-1），
两式相减得：an+1-an-1=2 .
∴a1，a3a5，…，构成以a1，为首项，以2为公差的等差数列；
∴a2，a3a5，…，构成以a2，为首项，以2为公差的等差数列
∴a2k-1=a1+（k-1）d=2k-2
∴an=n-1，n为奇数
n，n魏偶数
评注：结果要还原成n的表达式.
特别地：若an+1+an=d（ d为常数），则数列{an}为“等和数列”，
它是一个周期数列，周期为2，方法如下：an+an+ 1=d，则
an+2+an+1=d，将上两式相减得an+2=an，其通项分奇数项和偶数项
来讨论即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等
巩固训练：已知数列{an}的前n项和sn满足
sn- sn-2=3（-112）n-1（n3）且s1=1，s2=-312求数列{an}的通
项公式.
（答案an=4-3.（112）n-1，n为奇数，
-4+3.（112）n-1，n魏偶数）
类型九、形如an+1 .an=f（n）型 < br>（1）解法：若f（n）为n的函数（非常数）时，可通过逐差法
得-1=f（n-1），两式相 除后，分奇偶项来分求通项.该数列的
所有的奇数项成等比，所有的偶数项也成等比
例1. 已知数列{an}满足a1=3，+1=（112）n（nn），求此
数列的通项公式.
解：∵+1=（112）n，（nn）
∴=（112）n-1
两式相除得：an+11an-1=112，
∴a1，a3a5，…，构成以a1，为首项，以112为公比的等比数列；
∴a2，a4a6，…，构成以a2，为首项，以112为公比的等比数列；
∴a2k-1=a1.（112）k-1=312k-1
.a2k=a2.（112）k-1=113.112k
∴an312n-112，n为奇数
113.112n12，n为偶数
特别地：若+1=q，则数列{an}为“等积数列”，它 是一个周
期数列，周期为2.解法如下：+1=q，则an++1，将上两
式相除得an+21 an=1，其通项分奇数项和偶数项来讨论即该数列的
所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等 巩固训练：数列{an}中相邻两项an、an+1是方程x2+3nx+bn=0
的两根，已知a 10=-17
求b51的值。（答案：an=-312n-712（n是奇数）
，b51=5840）
-312n+5，（n是偶数）
以上为可化为等差等比数列的通项公式的常见求法，但不是一成
不变的，比如在例2 中还可用以下方法来解：
方法二：相减法：
由an+1=112an+112
∴n2时，an=112an-1+112
两式相减得an+1-an=112（an- an-1）
∴an+1-an1an-an-1=112
数列{an+1-an}是以a2 -a1=112a1+112-a1=-112为首项，以112
为公比的等比数列.
∴an+1-an=-112.112n-1
an-an+1=-112112n-2
an-1-an-2=-112（112）n--3
……
a3-a2=-112（112）1
a2-a1=-112（112）0
an-a1=-112[（112）n-2+（112）n-1+…+（112）1+（112）0]
=-112[（112）0+（112）1+…+（112）n-1+112n-2 ]
=-112.1.（1-112n-1）11-112=-1+112n+1
∴an=-1+112n-1+a1=1+112n-1
方法三：迭代法
由递推式an+1=112an+112
直接迭代得an=112an-1+112=112 （112an-2++112）+112=（112）
2an-2+112（112+1）
= （112）3an-3+112（1+112+（112）2）=…=（112）n-1a1+112
（ 1+112+（112）2+…+（112）n-2）
=（112）n-1.2+112+（112） 2+（112）3+…+（112）n-1=（112）
n-1. 2+112（1-112n-1）11-112=1+112n-1
因此在解数学题时在把握好通性通法外应灵活所学知识，以快速
准确为原则。