对数ln公式三角函数公式地推导及公式大全

标准
诱导公式

目录·诱导公式
·诱导公式记忆口诀
·同角三角函数基本关系
·同角三角函数关系六角形记忆法
·两角和差公式
·倍角公式
·半角公式
·万能公式
·万能公式推导
·三倍角公式
·三倍角公式推导
·三倍角公式联想记忆
·和差化积公式
·积化和差公式
·和差化积公式推导

诱导公式

★诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组：

公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
文案
标准

公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα

sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα

sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα

(以上k∈z)
诱导公式记忆口诀

※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π2±α(k∈z)的个三角函数值，
文案
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①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
② 当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan .
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）

例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈z ），-α、180°±α，360°-α所在象限
的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．



其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法

文案
标准
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数 值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是
两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得 商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于 下面顶点上
的三角函数值的平方。
两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2c os^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα
sin^2(α2)＝—————
2

1＋cosα
cos^2(α2)＝—————
2
文案
标准

1－cosα
tan^2(α2)＝—————
1＋cosα
万能公式

⒌万能公式
2tan(α2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α2)

1－tan^2(α2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α2)

2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)
万能公式推导

附推导：
sin2α=2si nαcosα=2sinαcosα(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α(1＋tan^2(α))
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)
三倍角公式推导

附推导：
tan3α＝sin3αcos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α)－ cosαsin^2(α)－
2sin^2(α)cosα)
文案
标准
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2

α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2

α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2

α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2
积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式
文案
标准
sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
和差化积公式推导

附推导：
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=s ina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四 个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述
四个公式中的a+b设为 x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)
利用变角思想.

A=(A+B)2+(A-B)2 B=(A+B)2-(A-B)2

sinA +sinB=sin[(A+B)2+(A-B)2]+sin[(A+B)2-(A-B)2]
= sin[(A+B)2]*cos[(A-B)2]+cos[(A+B)2]*sin[(A-B)2]+si n[(A+B)2]*cos[(A-B)2]-cos[(A+B)2]*
sin[(A-B)2]
=2sin[(A+B)2]*cos[(A-B)2]

其它的同理可得
回答：2008-09-21 15:32
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文案
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SBB55
[学长]
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb两式求和得
sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb此式从右往左即为积化和差
令a+b=x.a-b=y,则a=(x+y)2,b=(x-y)2得
sinx+siny=12*[sin(x+y)2cos(x-y)2]这就是和差化积
仿此可得其余6个公式
三角函数相关公式大全
关键词：
三角公式

三角函数

最近复习微积分,几个三角函数的转换弄得我晕头转向,本来高中的时候就没记熟,现在又得记一遍了= .=
好郁闷,进度太慢了...
1 三角函数的定义
1.1 三角形中的定义

图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：
?
正弦函数

文案
标准
?
余弦函数

?
正切函数

?
余切函数

?
正割函数

?
余割函数

1.2 直角坐标系中的定义



文案
标准

图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：
?
正弦函数

?
余弦函数

?
正切函数

?
余切函数

?
正割函数

?
余割函数

2 转化关系
2.1 倒数关系



文案
标准
2.2 平方关系



2 和角公式




3 倍角公式、半角公式
3.1 倍角公式




文案
标准

3.2 半角公式



3.3 万能公式



文案
标准
4 积化和差、和差化积
4.1 积化和差公式




4.2 和差化积公式






文案
标准









三角函数公式大全
三角函数
1. ①与
?
（0°≤
?
＜360°）终边相同的角的集合（角
?
与角
?
的终边重合）：
?
?
|
?
?k?360
?
?
?
,k?Z

?
▲
y
2
sinx1
cosx
cosx
②终边在
x
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
,k?Z

③终 边在
y
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180?90,k? Z

④终边在坐标轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k ?90,k?Z
?

?
??
3
sinx
4
?
??
?
cosx
cosx
1
sinx
2
sinx
3
x
4
⑤终边在
y
=
x
轴上的 角的集合：
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z

⑥终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
|< br>?
?k?180
?
?45
?
,k?Z

??
SINCOS
三角函数值大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象 限一半所在区域
??
⑦若角
?
与角
?
的终边关于
x
轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?

⑧若角
?
与角
?
的终边关于
y
轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?3 60
?
k?180
?
?
?

⑨若角
?与角
?
的终边在一条直线上，则角
?
与角
?
的关系：< br>?
?180
?
k?
?

⑩角
?
与角
?
的终边互相垂直，则角
?
与角
?
的关系：
??360
?
k?
?
?90
?

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝
180
°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
?
≈0.01745
?
180
（rad）
文案
标准
3、弧长公式：
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式：
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2
< br>y
a
的终边
P（x,y)
r
1
2
1
2
4、三角函数：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则
sin
?
?
y
；
r
y
x
cos
?
?
；
tan
?
?
x
r
；
cot
?
?
x
；
sec
?
?
r
；.
csc
?
?
r
.
y
x
y
ox
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
y
-+
o
x
- +
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、余切
O
y
y
P
T
M
A
x

6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：
三角函数
f(x)?
sin
x

f(x)?
cos
x

f(x)?
tan
x

f(x)?
cot
x

f(x)?
sec
x

f(x)?
csc
x

定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k ?Z
?

1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且 x?k
?
,k?Z
?

cos
?
sin
?
?cot
?
8、同角三角函数的基本关系式：
sin
?
?tan
?

cos
?
tan
?
?cot
?
?1

csc??sin??1

sec??cos??1

sin
2
?
?cos
2
?
?1

sec
2
?
?tan
2
?
?1

csc
2
?
?cot
2
?
?1

16. 几个重要结论
:
(1)
y
(2)
y
9、诱导公式：
k
?

把?
?
的三角函数化为
?
的三角函 数，概括为：
2
|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
O
x
|cosx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x
“ 奇变偶不变，符号看象限”



三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一

sin
x
·
csc
x
=1tan
x
=x
=
cosx>sinx
|sinx|>|cosx|
?
(3) 若 o2
文案
cos
x
·sec
x
=1
tan
x
·
cot
x
= 1
sinx
cosx
cosx
sinx
sin
2
x
+cos
2
x
=1
1+tan
2
x
=se c
2
x
1+cot
2
x
=csc
2
x
标准





公式组二
sin(2k
?< br>?x)?sinx
cos(2k
?
?x)?cosx
tan(2k?
?x)?tanx

cot(2k
?
?x)?cotx

公式组三
sin(? x)??sinx
cos(?x)?cosx
tan(?x)??tanx

cot(?x)??cotx


公式组四
sin(
?
?x)??sinx
cos(
?
?x)??co sx
tan(
?
?x)?tanx

cot(
?
?x)?cotx
公式组五
sin(2
??x)??sinx
cos(2
?
?x)?cosx
tan(2
?
?x)??tanx

cot(2
?
?x)??cotx
公式组六
sin(
?< br>?x)?sinx
cos(
?
?x)??cosx
tan(
?
?x)??tanx

cot(
?
?x)??cotx



（二）角与角之间的互换
公式组一
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
文案
公式组二
sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
tan2
??
2tan
?
1?tan
2
?




标准
sin(
?
?
?
) ?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin
?
2
??
1?cos
?

2
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?
1?cos
?

cos??

1?tan
?
tan
?
22
tan
?
?t an
?
?
1?cos
?
sin
?
1?cos
?

tan????
1?tan
?
tan
?
21?cos
?
1?cos
?
sin
?
tan(
?
?
?
)?
公式组三 公式组四 公式组五
1
1
?
sin
?
cos
?
?
?
si n
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?< br>?
?
?
cos(
?
?
?
)?sin
?
2tan
2
2
2
sin
?
?

1
2
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
cos
?
sin
?
?
1
1?tan
sin(
?
?
?
)?cos
?
2
2
2
1
cos
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?cos
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?
?
?
?
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1< br>2
2
?
tan(
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)?cot
?
1?tan
2
1
2

cos
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sin
?
sin
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?
cos
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?
?
?
?
?cos
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?
?
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?
?
?
2
1
1?tan
2
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?
??
?
?
cos(
?
?
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)??sin
?2
sin
?
?sin
?
?2sincos
2
2 2
?
?
??
?
?
1
?
sin
?< br>?sin
?
?2cossin
tan(
?
?
?
)??cot
?
2tan
22
2
2

?
?
??
?
?
tan
?
?
cos
?
?cos
?
?2coscos
2
?
1
22
1?tan
sin(
?
?
?
)?cos
?
2?
?
??
?
?
2
cos
?
?cos< br>?
??2sinsin
22
6?2
, ,
tan15
?
?cot75
?
?2?3
,.
tan75
?
?cot15
?
?2?3

??sin15?cos75?
4
sin75
?
?cos15
??
6?2

4


10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域
值域
周期性
奇偶性

y?sinx
R
[?1,?1]


y?cosx
R
[?1,?1]


y?tanx
1
?

?
?
x|x?R且x?k?
?
?
,k?Z
?
2
??

y?cotx

?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

（A、
?
＞0）
R
R
?

?
?A,A
?


?
当
?
?0,
非奇非偶
当
?
?0,
奇函数
2
?

2
?

奇函数
2
?

偶函数 奇函数 奇函数
文案
标准






单调性
[?
?
2
?2k
?
,
[
?
2k?1
?
?
,
2k
?
]
；
?
?
?
?
?
?
?k
?
,?k
??
2
?
2
?
?
k
?
,
?k?1
?
?
?
上为减函
数（
k?Z
）
?
2
?2k
?
]
上为增函
数；
[?2k
?
,
2
3
?
?2k
?
]
2
上为增 函
数
[2k
?
,

?
2k?1
?
?
]
上为减函
数
（
k?Z
）

上为增函数
（
k?Z
）
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
?
?
?
2
(?A)?
?
?
??
?
?
?
上为增函数；
?
?
2k
?
??
?
?
上为减函
数（
k?Z
）
?
?
2
(A),
??
?
??< br>??
3
?
2k
?
?
2
?
?
?
?
(?A)
??
?
??
上为减函数
（
k ?Z
）

注意：①
y??sinx
与
y?sinx
的单调性正好相反；
y??cosx
与
y?cosx
的单调性也同样相反.一般地，若
y?f(x)
在
[a,b]
上递增（减），则
y ??f(x)
在
[a,b]
上递减（增）.
▲
②
y?si nx
与
y?cosx
的周期是
?
.
③
y?sin (
?
x?
?
)
或
y?cos(
?
x??
)
（
?
?0
）的周期
T?
2
?y
?
.
O
x
x
y?tan
的周期为2
?
（
T?
?
?T?2
?
，如图，翻折无效）.
2
?
④
y?sin(
?
x?
?
)
的对称 轴方程是
x?k
?
?
?
2
（
k?Z
），对 称中心（
k
?
,0
）；
y?(osc
?
x?
?
)
的
对称轴方程是
x?k
?
（
k?Z
），对称中心（
k
?
?
1
?
,0
）；
y? an(t
2
（
?
x?
?
)
的对称中心
k< br>?
.
,0
）
2
y?cos2x?????y??cos(? 2x)??cos2x

原点对称
⑤当
tan
?
·
tan
?
?1,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
；
tan
?
·
tan
?< br>??1,
?
?
?
?k
?
?
?
2(k?Z)
.
?
?
⑥
y?cosx
与
y?s in
?
?
x??2k
?
?
是同一函数,而
y?(< br>?
x?
?
)
是偶函数，则
2
??
1
y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
?
?
)??cos(
?
x)
.
2
⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
y?tanx
为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对 称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是
定义域关于原 点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f(?x)?f(x)
，奇函数：
f(?x)??f(x)
）
1
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：
y? tanx
是奇函数，
y?tan(x?
?
)
是非奇非偶.（定
3
义域不关于原点对称）
文案
标准
奇函数特有性质：若
0? x
的定义域，则
f(x)
一定有
f(0)?0
.（
0?x< br>的定义域，则无此性
质）
▲
⑨
y?sinx
不是周期函数；
y?sinx
为周期函数（
T?
?
）；
；
y?cosx
为周期函数（
T?
?
）；
y?c osx
是周期函数（如图）
y
▲
y
x
12
x
y=cos|x|图象
1
，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
y?co s2x?
的周期为
?
（如图）
2
y=|cos2x+12|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
⑩
y?acos
?
?bsin
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)?cos
?
?

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的 振幅|A|，周期
T?
2
?
，频率
f?
1
?
|
?
|
，相位
?
x?
?
;
初相
|
?
|
b
有
a
2
?b
2
?y
.
a
T2
?
．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
?
（即当x＝0时的相位）
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当| A|＞1）或缩短（当0＜
|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换 或叫沿y轴的伸缩变换．（用
yA替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变， 横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|
＞1）到原来的
|
1
|
倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用
?
ωx替换x)
由y＝si nx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单
位，得到y＝sin（ x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换
x)
由y＝sin x的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，
得到y＝sinx＋ b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函 数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的
图象，要特别注意：当周期变换和相位变 换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区
别。




高中数学三角函数常见习题类型及解法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1） 常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos
2
θ+sin
2
θ
=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：
?
?
?
sin
2
x+2cos
2
x=(sin
2< br>x+cos
2
x)+cos
2
x=1+cos
2
x； 配凑角：α=（α+β）－β，β=
2
文案
标准
－
?
?
?
等。
2
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bc osθ=
a
2
?b
2
sin(θ+
?
)，这里辅助 角
?
所
b
在象限由a、b的符号确定，
?
角的值由tan< br>?
=确定。
a
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化
为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不 等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的
单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用 单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
四、例题分析
cos
?
?sin
?
例1．已知
tan
?
?2
，求（1 ）；（2）
sin
2
?
?sin
?
.cos
??2cos
2
?
cos
?
?sin
?
的值.
sin
?
1?
cos
?
?sin
?
cos
?
?
1?tan
?
?
1?2
??3?22
；
?
解：（1）
sin
?
1?tan
?
1?2< br>cos
?
?sin
?
1?
cos
?
sin< br>2
??sin?cos??2cos
2
?
22
(2)
sin??sin?cos??2cos??

sin
2
??cos
2
?
sin
2
?sin?
??2
22?2?24?2
??

?
cos?
2
cos?
.
sin?
2?13?1
cos
2
?
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的 办法得到），进行
弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求函数
y?1?sin x?cosx?(sinx?cosx)
2
的值域。
π
解：设
t? sinx?cosx?2sin(x?)?[?2，2]
，则原函数可化为
4
13< br>y?t
2
?t?1?(t?)
2
?
，因为
t?[?2 ，2]
，所以
24
13
当
t?2
时，
y
max
?3?2
，当
t??
时，
y
min
?
，
24
3
所以，函数的值域为
y?[，3?2]
。
4
文案
标准
例3．已知函数
f(x)?4sin
2x?2sin2x?2，x?R
。
（1）求
f(x)
的最小正周期、< br>f(x)
的最大值及此时
x
的集合；
（2）证明：函数
f(x)
的图像关于直线
x??
π
对称。
8
解：
f(x)?4sin
2
x?2sin2x?2?2sinx? 2(1?2sin
2
x)

π

?2sin2x?2cos2x?22sin(2x?)

4
(1)所以f(x)
的最小正周期
T?π
，因为
x?R
，
ππ< br>3
π
?2kπ?
，即
x?kπ?
时，
f(x)
最大值为
22
；
428
π
(2)证明：欲证明函数
f( x)
的图像关于直线
x??
对称，只要证明对任意
x?R
，
8
ππ
有
f(??x)?f(??x)
成立，
88
πππ π
因为
f(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22co s2x
，
8842
ππππ
f(??x)?22sin[2(??x)?] ?22sin(??2x)??22cos2x
，
8842
πππ
所以f(??x)?f(??x)
成立，从而函数
f(x)
的图像关于直线
x ??
对称。
8
88
3
1
例4． 已知函数y=cos
2
x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
2
2
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得
到？
33
111
解：（1）y=cos
2
x+sinx·cosx+1= (2cos
2
x－1)+ +（2sinx·cosx）
2
244
4
+1
3
151< br>??
5
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
4
4424
66
1
?
5
=sin(2x+)+
24
6
???
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
626
?
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
6
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
?
?
（i）把函 数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
66
所以，当
2x?
文案
标准
（ii）把得到的图像上 各点横坐标缩短到原来的
函数y=sin(2x+
1
倍（纵坐标不变），得到
2
?
)的图像；
6
1
倍（横坐标不变），得到
2
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的
函数y=
1
?
sin(2 x+)的图像；
2
6
（iv）把得到的图像向上平移
的图像。
51
?
5
个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+
424
6< br>3
1
cos
2
x+sinxcosx+1的图像。
2
2
说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数
的图像和性质 。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降
综上得到y=
幂后最 终化成y=
a
2
?b
2
sin (ωx+
?
)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的
二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y= 1；当cosx≠0时，
1313
cos
2
x?sinxcosx?tanx
2
y=
2
+1=
22
2
+1
22
sinx?cosx1?tanx
化简得：2(y－1)tan
2
x－
3< br>tanx+2y－3=0
37
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
44
7
?
∴y
max
=，此时对应 自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}
4
6
xxx
例5．已知函数
f(x)?sincos?3cos
2
.

333
（ Ⅰ）将
f(x)
写成
Asin(
?
x?
?
)
的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b
2
=ac，且边b所对的角为x，试求x
的范围及此时函数
f(x)
的值域 .
解：
f(x)?
1
sin
2x
?
3
( 1?cos
2x
)?
1
sin
2x
?
3
c os
2x
?
3
?sin(
2x
?
?
)?< br>3

232323232332
2x
?
2x
?3k?1
?)
=0即
??k
?
(k?z)得x?
?k?z

33332
3k?1
即对称中心的横坐标为
?
，k?z

2
2
（Ⅱ）由已知b=
a
c
a
2
?c< br>2
?b
2
a
2
?c
2
?ac2ac?ac1
cosx????，
2ac2ac2ac2
1
??
2x
?< br>5
?
??cosx?1，0?x?，???
233339
??
5
???
2x
?
2x
?
3
?
|?|?|? |，?sin?sin(?)?1，?3?sin(?)?1?，
3292333332
（Ⅰ） 由
sin(
文案
标准
即
f(x)
的值域为
(3,1?
3
]
.
2
3
?
]
. 综上所述，
x?(0,]
，
f(x)
值域为
(3,1?
2
3
说 明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数
形结合的思想来解决函数值 域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行
整合的能力。
cosC3a?c
例6．在
ABC
中，
a、b、c
分别是角
A、B、C
的对边 ，且，
?
cosBb
(1)求
sinB
的值；
(2)若
b?42
，且
a=c
，求
ABC
的面积。
解：(1)由正弦定理及
cosC3a?ccosC3sinA?sinC
，有， < br>??
cosBbcosBsinB
即
sinBcosC?3sinAcosB? sinCcosB
，所以
sin(B?C)?3sinAcosB
，
又因为
A?B?C?π
，
sin(B?C)?sinA
，所以
sinA?3 sinAcosB
，因为
sinA?0
，
22
1
所以
cosB?
，又
0?B?π
，所以
sinB?1?cos
2
B?
。
3
3
2
(2)在
ABC
中，由余弦定理 可得
a
2
?c
2
?ac?32
，又
a?c
，
3
4
所以有
a
2
?32，即a
2
?2 4
，所以
ABC
的面积为
3
11
S?acsinB?a
2
sinB?82
。
22











三角函数
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知点
P
（tan
α
，cos
α
）在第三象限 ，则角
α
的终边在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
文案
标准
2．集合
M
＝{
x
|
x＝
kπ
2
±
π
4
，
k
∈Z}与< br>N
＝{
x
|
x
＝
kπ
4
，
k
∈Z}之间的关系是
（ ）
A.
MN
B.
NM
C.
M
＝
N
D.
M
∩
N
＝
?

3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）
A.60° B.－60° C.30° D.－30°
4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4) 1711°，其中在第一
象限的角是
( )
A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（2）（4）
5．设
a
＜0，角
α
的终边经过点
P
（－3
a
，4
a
），那么sin
α
＋2cos< br>α
的值等于 （ ）
2
A.
5

21
B.－ C.
55
1
D.－
5
13
6．若cos(
π
＋
α
)＝－ ，
π
＜
α
＜2
π
，则sin(2
π
－
α< br>)等于
22
（ ）
3313
B. C. D.±
2222
7．若
α
是第四象限角，则
π
－
α
是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A.－
A.2
2
B. C.2sin1
sin1
2
1
9．如果sin
x
＋cos
x
＝ ，且0＜
x
＜
π
，那么cot
x
的值是 （ ）
5
4
A.－
3

433
B.－ 或－ C.－
344
43
D. 或－
34
10．若实数
x
满足log
2
x＝2＋sin
θ
，则|
x
＋1|＋|
x
－10|的值等 于
（ ）
A.2
x
－9 B.9－2
x
C.11 D.9
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．tan300°＋cot765°的值是_____________.
sin
α
＋cos
α
12．若 ＝2，则sin
α
cos
α
的值是_____________.
sin
α
－cos
α
13．不等式（lg20)
2cos< br>x
＞1，(
x
∈(0，
π
))的解集为__________ ___.
1
14．若
θ
满足cos
θ
＞－ ，则角
θ
的取值集合是_____________.
2
15．若cos1 30°＝
a
，则tan50°＝_____________. －
16．已知
f
(
x
)＝
1－
xπ
，若
α
∈( ，
π
)，则
f
(cos
α
) ＋
f
(－cos
α
)可化简为
1＋
x
2
___________.

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
文案
标准
17．（本小题满分12分）设一扇形的周长为
C
(
C
＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面
积？最大面积是多少？




18．(本小题满分14分）设90°＜
α
＜180°，角
α的终边上一点为
α
＝
2
x
，求sin
α
与tan
α
的值.
4



P
（
x
，5 )，且cos
πm
－34－2
m
19．(本小题满分14分)已知 ≤
θ
≤
π
，sin
θ
＝ ，cos
θ
＝ ，求
m
的值.
2
m
＋5
m
＋5





20．(本小题满分15分)已知0°＜
α
＜45°，且lg(tan
α
)－lg(sin
α
)＝lg(cos
α
)－lg(cot
α
)＋2lg3
3
33
－ lg2，求cos
α
－sin
α
的值.
2




7
21．(本小题满分15分)已知sin(5
π
－< br>α
)＝2 cos(
π
＋
β
)和3 cos(－
α
)＝－2
2
cos(
π
＋
β
)，且0＜
α
＜
π
，0＜
β
＜
π
，求< br>α
和
β
的值.













文案
标准

三角函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．下列函数中，最小正周期为
π
的偶函数是 （ ）
A.
y
＝sin2
x

C.
y
＝sin2
x
＋cos2
x
B.
y
＝cos
2
x

1－tan
x
D.
y
＝
2
< br>1＋tan
x
2
2．设函数
y
＝cos(sin
x< br>)，则
（ ）
A.它的定义域是［－1，1］ B.它是偶函数
C.它的值域是［－cos1，cos1］ D.它不是周期函数
3．把函数
y
＝cos
x
的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一 半，纵坐标扩大到原来的两
倍，然后把图象向左平移
（ ）
A.
y
＝2sin2
x
π
4
个单位.则所得图象表示的函数的解析式为
C.
y
＝2cos(2
x
＋ )
4
4．函数
y
＝2sin(3
x
－
（ ）
A.
3

π








B.
y
＝－2sin2
x

D.
y
＝2cos( ＋ )
24
xπ
π
4
)图象的两条相邻对称轴之间的距离是
π

2
π
B. C.
π
3

4
π
D.
3
5．若sin
α
＋cos
α
＝
m
，且－2 ≤
m
＜－1，则
α
角所在象限是 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6．函数
（ ）
y＝|cot
x
|·sin
x
（0＜
x
≤
3π
且
2
x
≠
π
）的图象是
cos
x
7．设
y
＝ ，则下列结论中正确的是 （ ）
1＋sin
x
A.
y
有最大值也有最小值 B.
y
有最大值但无最小值
C.
y
有最小值但无最大值 D.
y
既无最大值又无最小值
8．函数
2
y
＝sin（
π
4
－2
x
)的单调增区间是
（ ）
文案
标准
A.［
kπ
－
∈Z)
3
πππ
5
π
，
kπ
＋ ］(
k
∈Z) B.［
kπ
＋ ，
kπ
＋ ］(
k
8888
π
3
π
3π
7
π
C.［
kπ
－ ，
kπ
＋ ］(
k
∈Z) D.［
kπ
＋ ，
kπ
＋ ］(
k
8888
∈Z)
1
2
9．已知0≤
x
≤
π
，且－ ＜
a< br>＜0，那么函数
f
(
x
)＝cos
x
－2
a
sin
x
－1的最小值是
2
（ ）
A.2
a
＋1 B.2
a
－1 C.－2
a
－1 D.2
a

10．求使函数
y
＝sin(2
x
＋
θ
)＋3 cos(2
x
＋
θ
)为奇函数，且在［0， ］上是增函数的
4
π
θ
（ ）
5
π
A.

3
的一个值为

B.
4
π
2
π
C.
33
D.
3
π
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
cos
x
11．函数
y
＝ 的值域是_____________.
1＋2cos
x
cos
x

12．函数
y
＝ 的定义域是_____________.
lg（1＋t an
x
）
13．如果
x
，
y
∈［0，
π< br>］，且满足|sin
x
|＝2cos
y
－2，则
x
＝ ___________，
y
＝___________.
14．已知函数
y
＝2cos
x
，
x
∈［0，2
π
］和
y
＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图
形的面积是_____________
15．函数
y
＝sin
x
＋cos
x
＋sin2< br>x
的值域是_____________.
16．关于函数
f
(
x
)＝4sin(2
x
＋ )(
x
∈R)有下列命题：
3
①由
f
(
x
1
)＝
f
(
x
2
)＝0可得
x
1
－
x
2
必是
π
的整数倍；
②
y
＝f
(
x
)的表达式可改为
y
＝4cos(2
x
－ )；
6
③
y
＝
f
(
x
)的图象关于点（－ ，0)对称；
6
④
y
＝
f
(
x
)的图象 关于直线
x
＝－ 对称.
6
其中正确的命题的序号是_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 ．（本小题满分12分）如图为函数
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)(
A
＞0，
ω
＞0)的图象的一部分，试
求该 函数的一个解析式.






文案
π
π
π
π
标准


22
18． （本小题满分14分）已知函数
y
＝(sin
x
＋cos
x
)＋2cos
x
.(
x
∈R)
(1)当
y
取得最大值时，求自变量
x
的取值集合.
(2 )该函数图象可由
y
＝sin
x
(
x
∈R)的图象经过怎样 的平移和伸缩变换得到？


19．（本小题满分14分）已知函数
f(
x
)＝
log
1
(sin
x
－cos
x
)
2
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.





20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯 形的水渠（如图），为降低成本，必
须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 < br>m
，渠深3米，则水渠侧
壁的倾斜角
α
应为多少时，方能使修建的成本 最低？









21． (本小题满分15分）已知函数
f
(
x
)＝sin(
ωx
＋
φ
)(
ω
＞0，0≤
φ
≤
π)是R上的偶函
3
ππ
数，其图象关于点
M
（ ，0)对称，且在区间［0， ］上是单调函数，求
φ
和
ω
的
42
值.




文案